对称点
- 把握概念本质 破解疑难问题
——以《轴对称的再认识》一课为例
的基础上，用“对称点到对称轴的距离”等定量刻画的方法来进一步分析图形的特点。在磨课的过程中我们发现学生有以下两处疑难和困惑点。疑难点1：学生很难判断平行四边形是不是轴对称图形。（这节课所讨论的平行四边形指的是一般的平行四边形，不考虑特殊的平行四边形）我们对全校8 个班级近400名学生进行了前测。从数据分析发现接近的学生认为“平行四边形是轴对称图形”，在和学生的访谈中发现学生是把平分线和对称轴混淆了，误认为平分线就是对称轴。疑难点2：学生很难体验到轴对称也是
小学教学设计(数学) 2023年6期2023-06-30
- 掌握画轴对称图形另一半的方法
学生去寻找其他对称点是否也具有这样的特征。同桌之间互相说一说，得出结论：对称点到对称轴的距离相等，对称点间的线段与对称轴互相垂直。图1二、运用特征，找点连线出示图2，根据对称轴，画出轴对称图形的另一半。学生动手操作，组内交流。思考：在画的过程中，你觉得最重要是找到什么？预设学生发现最重要的是找到相应的对称点。追问：你是怎么找到对称点的？预设学生发现点A 到对称轴的距离为3 小格（图3），那么对称点A＇应该到对称轴的距离也为3 小格，而且在与对称轴保持互相垂
小学教学设计(数学) 2023年5期2023-05-30
- 动手实践，从感知到描述图形运动
——以《轴对称（2）》为例
涵。】二、认识对称点及其性质1.从不对称变为对称师：请你判断一下这棵小树是不是轴对称图形？（出示图2）图2生：我认为是轴对称图形。生：我认为不是轴对称图形，右边树枝感觉没有和左边在一条线上。生：如果有一把尺子就好了。师：（出示方格纸）现在呢，你有什么想说的？生：这个图形不是轴对称图形。师：你能把它变成轴对称图形吗？生：可以把点拉过来一点。师：是这样吗？（出示图3）图3师：（出示图4）为什么他想把这个点拉到这里呢？图4生：这样它们对折以后就能完全重合。师：我
小学教学设计(数学) 2023年4期2023-05-09
- 三角形内接三角形周长最小值及其应用
于AB,AC的对称点P,Q分别作C关于CD,CB的对称点M,N，则PQ=MN.证明：PQ,MN均为则△DEF周长等于PE+EF+QF的最小值，所以PQ=MN.定理3 已知三角形△ABC的三边上的高分别为AH，BK,CR,则AHsin∠BAC=BKsin∠ABC=CRsin∠ACB.图5证明：如图5，由命题1知PQmin=2AHsinθ，同理MNmin=2CRsin∠ACB，由命题2知PQ=MN，∴PQmin=MNmin，∴AHsin∠BAC=CRsin∠A
中学数学研究(江西) 2023年3期2023-03-11
- 帮助学生从描画过渡到对称点作图
生从描画过渡到对称点作图。一、感知轴对称图形点线面联系1.给出等腰三角形、长方形、正方形，辨识轴对称图形。（1）判断它们是否为轴对称图形，指认对称轴。（2）操作验证说理，重点反馈正方形多个方向的对称轴。2.移一移，认识“对称点”。（1）出示小树方格图，判断是否为轴对称图形。图1（2）学生上台移动，把小树变成轴对称图形。3.联一联，体会对称点与轴对称图形的关系。引导学生从整个图形、线段、点来观察，讨论：它们之间有什么联系？小结指出：左右两边，整个图形完全重合
小学教学设计(数学) 2022年6期2022-07-07
- 理解图形特征 发展思辨能力
——《轴对称图形》教学实录
教学片断——用对称点研究轴对称图形。1.明确问题。（1）任务驱动：不对折，你能验证它是轴对称图形吗？如何验证？（2）提供两份学习材料。材料一：空白纸上的图形和三角尺。材料二：方格纸上的图形。师：想一想，你选择哪一个学习材料进行研究？还有困难的，老师这里还有材料三。材料三：有对称点的方格纸上的图形。（学生独立研究，集体交流）2.独立研究。3.集体交流。（1）材料比较。师：你觉得材料发生了什么变化？生：我发现有些是有方格的，有些没有。生：我还发现材料三是有点的
小学教学设计(数学) 2022年6期2022-07-07
- 探究线段和最小值问题的一般解法
出点B关于l的对称点B′,将同侧两点转为异侧,利用轴对称的性质,可以得到CB′=CB.这样,问题转化为: 当C在l的什么位置时,AC与CB′的和最小?图4在连接A,B′两定点的路径中,由线段公理可得,线段AB′最短.因此,线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.【思路】①找出定点: 点A,点B;动点: 点C(在直线l上运动,则l为对称轴).②找出求和中的特殊线段(指由一个定点和一个动点组成的线段):CA,CB.③求和中含有同一个动点(点C)的两条线段CA
中学数学研究(广东) 2022年6期2022-04-24
- 初中数学“将军饮马”问题学习障碍分析及策略
当中需要构造出对称点，寻找饮马的最短距离。部分中学生在求解此类问题时不知如何入手，因此需要教师加以指导，帮助其找到解题思路。1.初中数学“将军饮马”问题学习障碍分析初中生要解决“将军饮马”这类动点问题，需要明确相关概念，包括动点、定点与对称点，其中，动点就是“饮马点”，定点就是题干当中给定的固定点，而对称点就是通过作图而得到的点，也就是解题过程需要连接的点。部分学生在求解此类问题时，可能存在如下困惑：第一，怎么寻找对称点，做哪个点的对称点？简单而言，就是题
读与写 2021年36期2021-12-01
- 关于初中数学“最短路径问题”的归类
）关于直线L的对称点A'（或B'）连接A'B（或B'A）交L于点P，点P即为所求。巩固练习1：如图，在等边△ABC中，边BC上的高AD=5，点P是高AD上的一个动点，E是边AB的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PB的最小值，则这个最小值是（ ）A：4 B：5 C：6 D：10解题思路：显然B、E两定点在AD的同旁，欲在AD上求符合条件的点P，只需作B点关于AD的对称点，而B、C关于AD对称，因此只需连CE交AD于点P，所以CE就是
科技研究 2021年21期2021-10-12
- 探求特殊四边形中线段和的最小值
+ 两定点，对称点在形上，探求线段和的最小值.【解答要领】 确定对称点：根据正方形的对称性，对称点就是对角线的两个顶点;确定线段和取最小值时动点的位置：对称点和另一定点的连线与动点所在直线的交点;确定与线段和相等的最短线段：对称点与另一定点构成的线段.例1 如图1，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD + PE的和最小，则这个最小值为（ ）.A. 2[3] B. 2[6] C.
初中生学习指导·提升版 2021年4期2021-09-10
- 探求矩形中线段和的最小值
一边为对称轴，对称点在形外，确定最值，用一次函数求点的坐标.例1 如图1，矩形ABOC的顶点A的坐标为（- 4，5），D是OB的中点，E是OC上一动点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标为（ ）.A. [0，43] B. [0，53] C. （0，2） D. [0，103]解析：如图2，作点A关于y轴的对称点F，连接DF，交y轴于E，此时△ADE的周长最小.∵A（- 4，5），D是OB的中点，∴F（4，5），D（ - 2，0），设直线DF的解析式为y
初中生学习指导·提升版 2021年5期2021-08-11
- 例说定点与定直线的最短路径问题解决策略
后重合的点叫做对称点;对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，即对称点到对称轴上的任意一点距离都相等。”这是解决这类最短路径问题的关键。下面分别对几种定点与定直线的最短路径问题进行举例说明。一、两定点与一条定直线中的最短路径例1.如图1，已知直径a和直线a外两A、B，A、B在直线a两侧，在直线a上求作一点P，使PA +PB最短。分析：两定点A、B在直线a两侧，过两定点A、B的直线一定与直线a相交，根据两点之间线段最短，知交点到两定点A、B的距离的和最短
学校教育研究 2021年13期2021-08-11
- 初中数学中“含有一个动点的线段和（差）的最值问题”的解题策略
（差）;最值;对称点动点问题是初中数学的重难点，线段和（差）的最值问题一般含有一个或几个动点，是经典的一类题型，也会进一步结合后续的几何、函数等知识考查学生，但学生对这部分知识的学习现状不容乐观.在几何问题中，线段和（差）一般不是简单的数量关系的运算，往往需要构造图形“化曲为直”，最后在点共线的特殊情况下求得最值[1]. 文章从最基本的含一个动点的情形开始探究，归纳此类问题的模型，旨在给出一个细致的思考路径，用这个导火索点燃学生的思维. 我们需要明确，以下
数学教学通讯·初中版 2021年11期2021-03-21
- 对一道圆锥曲线试题的探究与思考
词：圆锥曲线;对称点;定值中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2020）16-0020-03解析 本题显然是例题2的结论的一个应用，虽然没有要求学生记住这些二级结论，但同学们若掌握了上述推理过程，就可以通过一般到特殊的解法很自然地得到答案.对于思维好的学生也可以通过特殊值、特殊点代入的方法得到正确答案. 参考文献：[1]王松岳.对一道高考模拟题的分析与思考[J].中学数学研究，2018（8）：24-26.
数理化解题研究·高中版 2020年6期2020-09-10
- 从将军饮马问题谈利用轴对称求最短距离的几种模型
M关于直线m的对称点M＇，连结M＇N交直线m于点P。点P就是符合条件的点。模型2，已知：如图3，在直线m同侧有两点M、N，在m上找一点P，使｜PM－PN｜最小。图3 图4 作法：如图4，连结MN并延长交直线m于点P。点P就是符合条件的点。模型3，已知：如图5，在直线m同侧有两点M、N和线段a，在直线m上找两点P、Q两点，使PQ=a且MQ+QP+PN最小。图5 图6 作法：如图6，先将点N向左平移至N＇，使N＇N=a，作N＇关于m的对称点N＂，连结MN＂交m
科教导刊 2020年21期2020-08-12
- 依托想象 理解本质
——《图形的运动——轴对称》教学设计
的。（1）发现对称点到对称轴的距离相等。生：我看到A点到对称轴的距离为2小格，所以右边也找一个到对称轴距离为2小格的点。师：这样的两个点沿对称轴对折会怎么样？生：完全重合。（课件演示A点和A'点沿对称轴对折后完全重合的样子）师：像这样沿对称轴对折后能够完全重合的一组点叫做对称点，为了研究方便，我们把这两个点分别记作A点和A'点。那同学们在图上还能找到这样的一组对称点吗？预设：B点到对称轴的距离为3小格，所以右边也找一个到对称轴距离为3小格的点，记为B'点。
小学教学设计(数学) 2020年6期2020-07-08
- 对一个几何结论的深入研究
关于一条直线的对称点的话题是个很重要的话题。笔者的数学老师在课堂教学中对这一问题只针对一般情况下的求法做了详细的解答。已知点P(m，n)，它关于直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称的点P′(x0，y0)。为求P′(x0，y0)，可以通过直线PP′与直线l垂直、及线段PP′的中点在直线l上这两个关系列出方程组；即当A≠0时，方程组就是且+C=0，解出x0、y0就可以了；当A=0时，直线l是平行于x轴的直线，对称点比较显然，是容易求的。不过，老师又
中学生数理化(高中版.高考理化) 2019年11期2019-11-30
- 台球桌上的秘密
点M关于AB的对称点M′，然后连接M′N，与AB的交点即为D点，如图2。例 如图3，点A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，组成三角形，使三角形周长最小。【思路解析】如图4，作点A关于OM的对称点A1、关于ON的对称点A2，连接A1A2。A1A2与OM的交点即为B点，与ON的交点即为C点，此时△ABC的周长最小。【变式训练】如图5，点P、Q是锐角∠MON内部任意两点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，组成四边形
初中生世界·八年级 2019年10期2019-11-25
- 数学文化原创题（二）
2关于直线l的对称点再连结′交直线l于一点P.则点P便是椭圆C与直线l的公共点.详解 将纸张沿直线l折叠，在l的另一侧得F2关于l的对称点.连结交直线l于点M，则过点M且以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l中恰有一个公共点，且M是C与l的唯一公共点.图1依据上述作图过程可知，M是C与l的公共点.下面说明M是C与l的唯一的共公点.假设它们存在异于M的另一公共点，记为M′，则M′在直线l上.所以，点M′不在椭圆C上，这与点M′是C与l的公共点矛盾.所以，过点M且
新世纪智能(数学备考) 2019年10期2019-11-25
- 台球桌上的秘密
——最短路径问题
点M关于AB的对称点M′，然后连接M′N，与AB的交点即为D点，如图2。图2例 如图3，点A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C，组成三角形，使三角形周长最小。图3 图4【思路解析】如图4，作点A关于OM的对称点A1、关于ON的对称点A2，连接A1A2。A1A2与OM的交点即为B点，与ON的交点即为C点，此时△ABC的周长最小。【变式训练】如图5，点P、Q是锐角∠MON内部任意两点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、
初中生世界 2019年38期2019-11-12
- 顺向连接 逆向对称
——二次函数中线段“和”最小问题
，但什么时候作对称点，作哪个点的对称点，以哪条直线为对称轴作对称，这让我们的老师和同学们很困惑.本文针对几种问题情景谈谈自己的观点，与大家共勉．一、缘起问题情景1：已知直线l及两点A，B，在直线l上作一点P，使PA+PB最小．如图1，点A，B在直线l两侧，我们在直线l上任找一点P，连接PA，PB，这时，PA+PB可以看成路径“A到P到B”，这个路径穿过了直线l，我们称这种情形为顺向．显然，要使PA+PB最小，必须使点A，P，B在同一直线上，故连接AB交直线
数理化解题研究 2019年14期2019-06-26
- 线性代数中矩阵特征值的解析方法
、三次多项式的对称点概述对于三次多项式ax3+bx2+cx+d(a=0)如果存在某一实数x0,对任意x 都有a(x0-x)3+b(x0-x)2+c(x0-x)+a(x0+x)3+b(x0+x)2+c(x0+x)=2ax30+2bx20+2cx0成立, 就称x0为此三次多项式的对称点。例如, 三次多项式x3-3x2+2x+1, 实数1 满足(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x) = 2×13+2×(-3)×12
大众投资指南 2019年6期2019-05-15
- 敢于放手 无问西东
词] 线段和;对称点;垂线段;转化在学习完苏科版八年级上册第二章轴对称图形时，一天数学课代表来办公室咨询一个含有三个动点求线段和最小值问题. 从学习新课到讲解习题课，学生遇到的多是含一个动点或者两个动点的线段和最小值问题，像这种含三个动点的线段和最小值问题，对于学生来说难度过大. 但笔者所带的这个班级学生基础较好，能力较强，有好几个对数学十分感兴趣的学生建议将此题拿到班级讲解. 恰逢笔者所在学校的教研组正实施初中数学“综合与实践”教学的校本化研究，需要笔者
数学教学通讯·初中版 2019年11期2019-01-03
- 对称问题的归类探析
间的对称，抓住对称点间的内在联系，可将几何对称（图形语言）转化为代数坐标（相关点）及方程（符号语言）.考慮到同学们刚接触解析几何，我们借助例题的形式来对对称问题进行简单归类，期待能给同学们一些启示.一、点的对称问题点的对称问题主要有点关于点对称和点关于线对称两类.二、直线的对称问题直线的对称问题有直线关于点对称和直线关于直线对称两类.分析 （1）直线关于点对称，显然这两直线是平行关系且已知点到两直线的距离相等，这样，利用待定系数法即可轻松求解;（2）直线关
新高考·高一数学 2018年7期2018-12-03
- 重观察 抓特征 培养学生空间观念
称图形有无数对对称点。2.会在方格纸上补全一个轴对称图形，掌握画图的方法和步骤。3.让学生在探究的过程中，发展空间观念，培养学生学习数学的兴趣。教学重、难点：探索轴对称图形有关对称点的特征，能在方格纸上画出轴对称图形的另一半。教具准备：多媒体课件、松树图案的放大图、磁扣。学具准备：学习单。教学流程：一、课前谈话师：同学们，今天这堂课是老师盼望很久的一堂课，但是老师有点担心，你们猜猜我会担心什么呢？生：担心我们回答不对问题。生：担心自己讲不好课。师：同学们讲
黑龙江教育·小学 2018年7期2018-11-24
- 关于直线y=±x+m（m≠0）对称点的坐标的一种简单求法
m（m≠0）的对称点的坐标.证明如图所示，直线y=x+m（m≠0），方程变形为y-m=x，令y=-y′，x=x′，则将坐标原点移到O′（0，m），直线y=x+m在新坐标系中的方程为y′=x′，则点M（a，b）在新坐标系中的坐标为M′（a，b-m），那么点M′（a，b-m）关于直线y′=x′对称的点N的坐标为（b-m，a），则点N在原坐标系下的坐标N（b-m，a+m），即点M（a，b）关于直线y=x+m（m≠0）对称的点N的坐标为（b-m，a+m）.同样，可
数学学习与研究 2018年11期2018-09-25
- 例谈对称性法
到A关于街道的对称点后，利用两点之间线段最短，连接BA1交街道于P，此时AP+BP最短.同样的方法找B的对称点也是一样的.这种方法我们可以归纳为：对称性法.在我们学习的过程中，这样的问题通常有以下的六种变式拓展：一、直接求这个动点到两个定点的距离的最小值.例1、如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一个定点，且BE=10，EC=14，点P是BD上的一动点，则求：PE+PC的最小值.解：C关于BD的对称点恰好是点A，连接AE交BD于P，连接PC，此时PE+
魅力中国 2018年8期2018-07-30
- 《轴对称》教学设计与思考
词】数学思维 对称点 轴对称图形【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2018）03A-0086-02《轴对称》是人教版数学四年级下册的教学内容，教学时，教师要引导学生认识轴对称图形及其对称轴，掌握轴对称图形的特征和性质，通过观察分析、想象、操作发现等数学活动，指导学生学会在方格纸上补全轴对称图形的另一半，进而体验对称美。一、复习导入，激发兴趣1.大家还记得什么样的图形是轴对称图形吗？找出下列图形中的轴对称图形并在括号里打√，选
广西教育·A版 2018年3期2018-05-29
- 对称点的特殊与一般
坐标轴、原点的对称点的坐标特点，当我们把对称轴、对称中心进行适当平移后，这些对称点的坐标又会有什么样的变化呢？下面，让我们共同来研究.请同学们思考这样一道题目：1.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.（1）△A0B0C0与△ABC关于y轴对称.在图1中画出△A0B0C0，并写出△A0B0C0三个顶点的坐标；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出直角坐标系中任意一点P（a，b）关于y轴的对称点的坐标
初中生世界·八年级 2018年2期2018-02-26
- 巧用轴对称解决最短路线问题
）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.第二，模型应用.1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=
中学生数理化·教与学 2018年1期2018-01-19
- 父亲的帽子
人间的一系列“对称点”：其一是父亲“冲我挥手”与“树冠巨大的浓荫”的对称点；其二是父亲“渔夫帽、礼帽、太阳帽”与“不同盈缺的月亮”对称点；其三是父亲“带着帽子”与“走进了帽子”对称点；其四是父亲“醒目的银发在空中”与“新生的父亲”对称点。很显然，一首怀念诗，有一个个“对称点”，我们就能把诗歌的雏形、情绪的扩张、感情的境像、节奏的铿镪，以及于我们心灵所激发的影响等等，都聚集在这个“点”上。这时，我们把《父亲的帽子》的内容或意旨，把不同的幻象、各种的情绪、智识
江南诗 2017年6期2018-01-15
- 空间直角坐标系学习指导
个坐标。二、求对称点的坐标例2 在空间直角坐标系Oxyz中，点P（—2，l，4）。（l）求点P关于x轴的对称点的坐标。（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标。（3）求点P 关于点M（2，—l，—4）的对称点的坐标。分析：求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点的坐标。解：（l）由于点P关于x轴对称，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以点P关于x轴的对称点为Pl（
中学生数理化·高一版 2017年12期2018-01-11
- 直线方程中的对称问题分类解析
点A关于点P的对称点B（—a，2a—6）在l2上，代入l2的方程得—a—3（2a—6）+l0=0，解得a=4，即得点A（4，0）在直线l上。所以由两点式可得直线l的方程为x+4y—4=0。评注：若点 M（xl，yl）与N（x，y）关于点P（a，b）对称，则点P是线段MN 的中点。二、点关于直线的对称问题例 2 已知直线l：2x—3y+l=0，点A（—l，—2），求点A关于直线l的对称点A′的坐标。解：设A′（x，y）。由已知条件可得方程组：评注：若两点 P
中学生数理化·高一版 2017年12期2018-01-11
- 源于课本的“点关于直线对称”的探究
关于某定直线的对称点问题，比较常规的解法是利用该直线就是这两点所连线段的垂直平分线，借助“互相垂直关系”与“距离相等关系”列方程组解题，而“距离相等关系”又可转化成“中点在直线上”的问题。在求“点关于直线对称”的问题上，还有其他更加简便的方法吗？我们不妨从一个简单的例题出发去剥开“点关于直线的对称点”的内在本质。例如：求点M（2，1）关于直线l：x-y+1=0的对称点N。方法1：（常规法）不妨设N（x1，y1），则M、N中点P（■，■），故■-■+1=0■
中学课程辅导·教学研究 2017年19期2017-09-22
- 三次多项式的对称点及其应用
——从广州一模的一道选择题谈起
芬三次多项式的对称点及其应用 ——从广州一模的一道选择题谈起华南师范大学数学科学学院(510631) 尹淑芬处理这道题的关键一步是要找到这个三次函数所对应的三次多项式的对称点,接着利用三次多项式对称点的定义与性质进行计算.其实三次多项式的对称点在高中解题中有比较大的应用.因此笔者就写下本文了.笔者将在本文先证明三次多项式ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称点的存在性,接着给出三次多项式关于对称点的性质,最后举例说明这些性质在解题中的应用.三次多项式的对
中学数学研究(广东) 2017年9期2017-06-15
- 轴对称研究与解题中的应用
特点，对称轴，对称点，对称图形关于对称轴的关系，本文又提供轴对称必要掌握的基本技能，本文第三部分举实例说明对称思想在解题中的应用.对称轴；对称图形；对称点；最值问题一、基础知识要点轴对称图形:将一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够重合，那么这样的图形叫做轴对称图形.两个图形关于某条直线对称:平面上的两个图形，将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线就是对称轴.对称点:两个关
数理化解题研究 2017年11期2017-05-12
- 浅谈高中平面几何中的对称问题
的点在以点A为对称点下所围成的图形.解如果按照一般的思路，应进行设点然后建立方程并求解，根据解来分析点满足的曲线.但是，通过观察我们发现与点A的距离等于2的右上方的点是一个扇形，所以该图形实际是四分之一的扇形关于圆心（5，8）的对称图形.例2已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一质点从与AB夹角为θ的方向射到BC的中点P1后，依次反射到CD，DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）.若P4的坐标为（x4，
数学学习与研究 2017年1期2017-03-27
- 一个定值问题的推广
点M关于x轴的对称点为N.若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.故圆O的方程为x2+y2=2.(2)设直线l的方程为即 bx+ay-ab=0.由直线l与圆O相切,得当且仅当a=b=2时等号成立,此时直线l的方程为x+y-2=0.(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,-y1),x21+y21=2,x22+y22=2.故mn=2为定值.推广1能否推广到一般的圆呢?推广到
高中数学教与学 2016年20期2016-12-30
- 巧用对称妙构等腰
行变换，点B的对称点E必落在B C上，连接A E，则△A B E为等腰三角形，根据等腰三角形的性质使问题迎刃而解.解：因为A D⊥B C，以A D为对称轴进行变换，点E为点B的对称点.连接A E，则△A B E为等腰三角形，所以∠A E B＝∠B＝2∠C，且D B＝D E.因为∠A E B＝∠C＋∠C A E，而∠A E B＝2∠C，所以∠C＝∠C A E，从而A E＝C E.因此A B＝A E＝E C所以A B+B D=E C+D E=D C.二、图形含
初中生天地 2016年29期2016-12-02
- 感受“轴对称”的洪荒之力
点A作关于l的对称点A′，连接A′B，与l相交于C，则C点就是饮马的地方，经过C点走，行走路程最短，为AC+CB=A′C+CB= A′B的长度.如果将军在点C外任一点C′处饮马，所走的路程就是AC′+C′B，连接A′C′，由于AC′+ C′B=A′C′+C′B＞A′B.可见，在C点外任何一点C′处饮马，所走的路程都要远一些.这里有两点需要说明：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA′的中垂线，所以AC=A′C，AC′=A′C′，理论依据为“线段垂直平分线上
初中生世界 2016年38期2016-11-12
- 化折为直，巧解最值
）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′ B（或B′ A）与直线l的交点即为所求。图1 例1 （2）如图2，在等边∆ABC中，D为BC 中点，P为AC上任意一点，求PB+PD最小值。注：例1属“两个定点+一个动点”类问题，且两个定点都在动点所在直线的同侧，解决此类问题时，常需利用图形的轴对称性，将其中一个定点进行轴对称变换（对称轴即为动点所在直线）到直线另一侧，由“两点之间线段最短”，连接对称点与另一点形成线段即为线段和的最小值。二、两动一定解析：可先
人间 2016年21期2016-08-15
- 平面内可相交直线序列的遍历算法研究
位置关系算法、对称点算法、凸包算法等。同对上述计算方法进行研究和推导，最终得出结论。关键词：对称点；相交直线；科学算法自20世纪70年代，由于空间区域研究的需要，几何学诞生。几何学最早是由欧洲数学家欧几里得创造的，几何最早是用来丈量土地。在现代，几何学普遍应用于交通路线图的规划、网络大数据分析、旅行路线安排、GPS导航等领域。通过对大数据信息的分析，算出路程的最短距离，其核心是解ESP问题。在现实生活当中最短路程问题随处可见，例如，一个学生上课、吃饭再到寝
无线互联科技 2016年9期2016-06-21
- 关于点、直线的对称问题
点A关于点B的对称点C，即可根据点B是A、C两点的中点，利用中点坐标公式求出。例1求出点A（1，3）关于点B（-3，2）的对称点C解设点A关于点B的对称点为C（x0，y0），由中点坐标公式，得故对称点C的坐标为（-7，1）二、点关于直线的对称求点关于直线的对称点的坐标时，用垂直、平分两条件列方程组求解较简单。设点P1（x1，y1）关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为P2（x2，y2），P1P2的中点P0（x0，y0），根据中点坐标公式可用x，y表示x0
新教育时代电子杂志(学生版) 2015年30期2015-11-11
- 利用对称求函数的解析式
y）关于x轴的对称点是（x，-y）。2.点（x，y）关于y轴的对称点是（一x，y）。3.点（x，y）关于直线x=a的对称点是（2a-x，y）。4.点（x，y）关于直线y=a的对称点是（x，2a-y）。5.点（x，y）关于直线y=x的对称点是（y，x）。6.点（x，y）关于直线y=x+b的对称点是（y-b，x+b）。例1 设函数f（x）的图像关于直线x=l对称，若当x≤1时，，则当x>1时，f（x）=____。解析：设（x，y）（x>l）是x>1时f（x）的
中学生数理化·高三版 2015年7期2015-07-06
- 念好三字经解题有保证
定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与这条直线的交点即为所求作的动点，利用轴对称的性质把两条线段之和转化为一条线段.后来将其细化为“三环节”进行，学生掌握得可以，也收到了不错的教学效果.这三个“环节”是：①“作”.即作出其中一个定点关于直线的对称点；②“找”.即把这个对称点和另一个已知定点连接起来，与直线相交于一点，当动点移动到与这个交点重合时，根据“两点之间，线段最短.”可知此时的两线段和最小，即利用转化思想，把两条线段和的最小值转化为一条线段
中学数学杂志(初中版) 2015年2期2015-05-06
- 浅谈点关于直线成轴对称的运用
3y-6=0的对称点的坐标。解:设A(1，3)关于L的对称点为A'(x0，y0)，则AA'的中点为M，又因M在直线L上，所以点A(1，3)关于直线L:2x-3y-6=0的对称点的坐标为(5，-3)。另解:设A(1，3)关于L的对称点为A'(x0，y0)，因为AA'⊥L，所以直线AA'的斜率所以点A(1，3)关于直线L:2x-3y -6=0的对称点的坐标为(5，-3)。这两种解题方法，虽然过程方法有所不同，但实质都基于轴对称问题的一个基础知识点，即:点A′是
中国科技纵横 2014年1期2014-12-07
- 几何对称法在求取某些区域格林函数中的应用
点M关于平面的对称点为镜像对称点，如M(x0,y0,z0)关于平面z=0的对称点为M(x0,y0,-z0).设点P关于平面Ax+By+Cz=-D的对称点为M1(x1,y1,z1)，则有[5]x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0.2.2 球对称点球对称点指以一个特定的球面为基础，球心O为中心, 球半径为常数k，点P和对称点P′满足OP·OP′=k2
大学数学 2014年2期2014-09-19
- 对称点偶的基圆方程及其性质*1
657000)对称点偶的基圆方程及其性质*1张建元，张毅敏，胡晓飞，韩 艳(昭通学院数学与统计学院，云南 昭通 657000)给出了以2定点为对称点偶的基圆方程(即表达式),利用它研究了基圆的一些性质,得到对称点偶的基圆唯一存在的条件.在几何变换方面解决了关于圆周的反演变换的一个逆问题，即给定对称点偶及半径等条件求基圆.对称点;基圆;反演变换;比值;方程;分布;性质;唯一性在文献[1-7]中,给出了“2定点关于圆周对称”的概念以及“到2定点的距离之比等于常
吉首大学学报（自然科学版） 2014年4期2014-09-06
- 高中数学解析几何中的对称问题
.一、点关于点对称点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.例1设点M(2,4)，求点M关于点P(-1,2)对称的点N的坐标.分析P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.解设点N(x,y)，点M(2,4)，点P(-1,2)，由中点坐标公式可得N(-4,0).二、直线关于点对称直线关于点对称通常转化为点关于点对称.在直线上取出两个特殊点，然后求出两
理科考试研究·高中 2014年7期2014-07-22
- 八年级数学检测题
4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）A.（3， 4） B.（-3，-4） C.（-3， 4） D.（-4，3）3.下列命题中，正确的是（ ）A.三条边对应相等的两个三角形全等B.周长相等的两个三角形全等C.三个角对应相等的两个三角形全等D.面积相等的两个三角形全等4.如图1，AD是△ABC的角平分线，从点D向AB、AC两边作垂线段，垂足分别为E、F，那么下列结论中错误的是（ ）A.DE=DF B.AE=AFC.BD=CD D.∠ADE=∠ADF5.下列各式从
初中生之友·中旬刊 2014年2期2014-04-02
- “轴对称图形”学法导航
直线为对称轴的对称点.如果两个点是以某一条直线为对称轴的对称点，那么这条直线就是连接这两点的线段的垂直平分线.反过来，如果直线MN是线段AA'的垂直平分线，则OA=OA'，∠AOM=∠A'OM=90°，沿着直线MN对折，∠AOM和∠A' OM重合，线段OA和OA'重合，从而点A和A'重合，则点A和A'是以直线MN为对称轴的对称点，于是得到：一条线段的两个端点是以这条线段的垂直平分线为对称轴的对称点.由此可以得出对称点的作法，要作出点 A以直线MN为对称轴的
语数外学习·上旬 2013年10期2013-11-22
- 解析几何中对称问题的认识与探索
.一、点关于点对称点关于点对称是大家比较常见的对称问题，也是最简单的对称问题.关于原点对称可以通过坐标系得出，关于一般点对称我们可采用中点公式求出对称点坐标.例1 设点M（2，4），求点M关于点P（-1，2）对称的点N的坐标.分析：P点不是坐标原点，要求出N点坐标必须利用中点坐标公式.若M（x1，x2），P（x0，y0），则N（2x0-x1，2y0-y1）.解：点M（2，4），点P（-1，2），由中点坐标公式可得N（-4，0）.二、直线关于点对称直线关于点
中学数学杂志 2012年1期2012-08-25
- 点线对称常见问题举例
A点关于点B的对称点。解:设A点关于点B对称点A的坐标为(x、y)由中点坐标公式得:5=1+x2-3=2+y2∴x=9y=-8∴所求点的坐标为(9、-8)2 点与点关于线对称问题例:已知点P(1、-2),直线L:3x-2y+1=0。求点P关于直线L的对称点。分析:事实上直线L是点P与对点P的对称点的中垂线,解题时抓住中点在直线上,和直线L和线段垂直即可解答。解:设点P关于L对称点为P1(x、y)根据题意得:y+2x-1=-233xy+12-2×-2+y2+
现代教育教学研究 2009年3期2009-03-05
- 台球桌上的轴对称变换
B关于上边库的对称点B1，只要对准目标球B的对称点B1，也就是对准AB1与上边库的交点C击打主球A，就能实现一库解球了．2. 二库解球在台球运动中，当障碍球较多时，经常遇到一库不能解球的局面，这时就要用二库进行解球．由于台球桌上各种形势都会出现，所以视情况的不同会采用以下两种二库解球方法.（1）相邻二库解球.如图2，主球A要通过上边库和右边库击中目标球B，可对准目标球B的二次对称点B2，击打主球A，就能实现二库解球.其中B和B1关于右边库对称，B1和B2关
中学生数理化·八年级数学人教版 2008年7期2008-09-27
- 平面直角坐标系考点例析
三、求已知点的对称点坐标例3如图1，在平面直角坐标系中，A（－ 1，5），B（－ 3，0），C（－ 4，3）.（1）在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′.（2）写出点C关于y轴的对称点C′的坐标.解析：（1）如图2，先作出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′，然后连接A′B′、B′C′、C′A′，△A′B′C′即为所求作的三角形.（2）关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以点C′的坐标为（4，3）. 四、根据对称点
中学生数理化·八年级数学华师大版 2008年1期2008-08-19