灵活运用幂的运算法则

近期，我们在学习有理数运算的基础上，进一步学习了幂的运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等，相应的运算法则分别为：

am⋅an=am+n（m、n是整数）；

（am）n=amn（m、n是整数）；

（ab）m=ambm（m是整数）；

am÷an=am-n（a≠0，m、n是整数）。

根据幂的意义，记住这些运算法则并不难，但怎样灵活运用这些运算法则解决具体的问题是有难度的。比如我遇到的这道题：

已知25x=2000，80y=2000。

求[1x]+[1y]的值。

初看这道题，面对如此庞大的数字，采用乘方运算或开方运算都行不通，我感觉无从下手。进一步观察条件，我发现解决问题的关键隐含在底数25和80这两个数字上，依据是25与80的积恰好为2000。根据这个突破口，我先将这两个等式的左右两边分别相乘，得到25x×80y=4000000。这时，我又发现等式左边两个因数的底数和指数都不相同。于是，我针对这个特征进行了相应的处理。

【处理方法1】我尝试将指数统一。

因为25x=2000，80y=2000，所以（25x）y=2000y，（80y）x=2000x。

于是，可得（25x）y×（80y）x=2000y×2000x。

因为（25x）y×（80y）x=（25×80）xy=2000xy，2000y×2000x=2000x+y，

所以2000xy=2000x+y，即xy=x+y。

因为[1x]+[1y]=[x+yxy]，

所以[1x]+[1y]=[x+yxy]=1，

即[1x]+[1y]=1。

这样，我用（am）n=amn和am⋅an=am+n轻松地做到幂的指数的统一，从而解决问题。

再次观察题目给出的条件，我发现从条件中可以直接凑出代数式[1x]+[1y]，随后做如下处理。

【处理方法2】我尝试将底数统一。

因为25x=2000，80y=2000，所以（25x）[1x]=2000[1x]=25，（80y）[1y]=2000[1y]=80。由此可得2000[1x]×2000[1y]=25×80。所以2000[1x+1y]=2000，即[1x]+[1y]=1。

通过上面两种处理方法的尝试，我发现，只要灵活运用那些基础公式，就能巧妙地解决一些看似复杂的难题。这样的经历让我对这些法则的运用更加自信，以后在学习中遇到类似的问题，我相信自己能够更加熟练地应对。

教师点评

“幂的运算”中蕴含大量的计算问题，同学们根据幂的运算法则能熟练解决很多幂的运算问题。管君豪同学列举的问题，已知条件与待求结论之间没有明显的联系，具有一定的挑战性。他在理解幂的运算法则的基础上，灵活运用，分别采用了“指数统一”和“底数统一”两种处理方法，巧妙地解决了问题，使我们感受到数学思想的价值和魅力。

（指导教师：孙凯）