基于改进差分进化算法的桥梁有限元模型修正研究

摘 要：进化算法进行桥梁结构有限元模型修正，改善了传统有限元模型修正算法的全局优化能力。经实桥验证，基于该方法修正后得到的连续刚构桥有限元模型的计算精度提升显著，能够真实反映桥梁结构的静动力特性，验证了该算法的可靠性和可行性，为解决桥梁有限元模型修正问题提供了一种新的参考方式。

关键词：桥梁监测；有限元模型；差分进化算法；优化问题；响应面法

中图分类号：U442.5

0 引言

一个准确且可靠的基准有限元模型是桥梁结构健康监测与安全评估的基本前提［1］。但是由于建模过程中模型的简化和施工中的不确定因素等原因导致桥梁结构有限元模型不能真实反映结构静动力参数，无法满足桥梁结构健康监测的要求，而必须对有限元模型进行修正［2］。

有限元模型修正优化算法经历了从直接搜索算法、序列二次规划算法到当前的各种进化优化算法［3-4］。Modak等［5］研究了在模型修正中基于梯度信息的优化算法，发现该优化算法虽然具有更高的计算效率，但也存在容易陷入局部最优解的问题。Zhang BQ等［6］采用了差分进化算法对不对称阻尼系统不完整复杂模态数据进行有限元模型修正，结果表明该优化方法对于非对称阻尼系统有限元模型修正是可行的。近年来，许多学者采用了高斯过程模型［7］和贝叶斯优化方法［8］进行有限元模型修正。

张连振等［9］利用优化算法理论结合梯度下降计算法对研究模型进行修正，其计算结果与实验结果具有很好的契合性。孔宪仁等［10］将差分进化算法、粒子群优化算法、遗传—粒子群组合算法三种算法应用到模型修正，结果表明遗传-粒子群算法与单独使用差分进化算法或粒子群算法相比，其效率和精度更高。

尽管目前有多种不同的优化方法可用于解决桥梁有限元模型修正的问题，但尚未确定哪种算法在这一领域中表现最为出色。另外，各种算法仅适用于解决特定结构的模型修正问题，缺乏通用性。因此，开发高效的优化算法仍然是桥梁有限元模型修正技术亟须解决的一个重要挑战。

为此，本文在上述学者研究成果基础上，采用改进的差分进化算法来求解基于响应面函数的桥梁有限元模型修正，并采用数值算例对改进的遗传优化算法进行验证。

1 基于响应面函数的桥梁有限元模型修正

基于响应面函数的桥梁有限元模型修正基本步骤为：

（1）建立初始有限元模型并获得模态参数等实测数据及统计参数。

（2）待修正参数的选取和确定。

（3）确定响应面函数或其他代理模型。

（4）试验设计并得到响应面函数形式。

（5）根据目标函数在参数设计空间进行优化迭代计算。

（6）有限元模型修正精度计算和确认。

其中响应面函数的确定流程如图1所示，主要包括试验设计、响应面函数类型选择以及响应面函数拟合和确认。

参考文献：

2 改进的差分进化算法

改进的差分进化优化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）的计算流程如下：

（1）采用拉丁超立方抽样算法获取初始种群的个体，并计算种群个体目标函数值，初始化各个迭代参数。

（2）对种群中第i个个体进行变异操作。

（3）对第i个个体的变异个体进行交叉操作，获得子代个体。

（4）计算第i个子代个体的目标函数值，采用非线性规划算法对第i个子代进行选择操作，获得第i个子代的全局最优解；如果子代个体比父代个体优秀，则用子代个体替代原父代个体，否则，维持原父代个体不变。

（5）如果i没有达到种群个体数量上限，i=i+1，返回步骤（2），否则前往步骤（6）。

（6）如果未达到迭代的终止条件，i=1，返回步骤（2），否则改进的优化完成。

3 工程算例

3.1 初始有限元模型的建立

本文选取一连续刚构桥进行数值模拟，以实现桥梁有限元模型修正，并采用改进的差分进化算法进行优化求解。

该预应力混凝土连续刚构桥总长为230 m，跨径布置为60 m+110 m+60 m，主梁形式为单箱单室，主墩为双肢薄壁墩。连续刚构桥的初始有限元模型采用六自由度的梁单元按空间有限元进行建模，有限元模型如图2所示。

经过有限元计算的自振频率及振型如图3所示。

3.2 待修正设计参数的确定

研究［11］表明影响大跨度混凝土连续刚构桥的动力特性的因素有：跨度、截面尺寸、混凝土弹性模量、边界约束条件、墩高与桥墩刚度等。考虑到该桥跨度、截面尺寸与墩高是确定的因素，而桥墩刚度取决于混凝土弹性模量和桥墩截面尺寸。因此，在对该连续刚构桥进行有限元模型修正时，选取混凝土弹性模量和边界约束条件作为待修正参数。即选取主桥两端的支座竖向弹簧刚度以及混凝土弹性模量相对初始值的倍数N作为待修正参数。

初步确定待修正参数后，通过基于灵敏度的方法进一步来筛选参数。待修正参数对频率的灵敏度见图4和图5。由图可知，1#墩和4#墩支座竖向刚度参数对前三阶频率影响均很小，这是由于桥墩支座竖向刚度一般都认为是刚性，在有限元里面刚度系数设置的较大，对其改变影响较小。而桥墩弹性模量组对前三阶频率影响最为敏感，主梁弹性模量组中弹性模量组2相对影响较大，主梁其他弹模组对不同频率也分别有影响。

基于上述分析，选择桥墩弹性模量组1～2和主梁弹性模量1～4作为待修正参数组，依据工程经验，选取修正参数范围上下浮动15%，参数设计范围取值如表1所示。

3.3 代理模型的确定

确定待修正参数和区间后，采用正交试验设计，产生25个样本点，依次代入有限元模型，进行批量运算，得到对应的六阶频率响应值。随后，对样本点数据进行高次拟合得到的响应面函数式。限于文章篇幅，这里只给出一阶频率两参数响应面模型，如图6、图7所示。空间曲面的纵坐标轴为频率响应的值，横坐标轴为两个待修正参数的值。根据曲面曲率，可看出两个待修正参数对各阶频率的综合影响，曲面曲率越大说明综合影响越显著。

对回归所得到的代理模型进行精度检验，在设计空间中随机选取18个检验点，不包括试验设计的点，将该组参数代入有限元模型，计算各响应拟合所得响应面的R2值和相对均方根误差（RMSE），计算结果如表2所示。

计算得R2值最小为0.898，RMSE值最大为0.027 7，故回归所得的各阶响应面模型的精度均较高，可以作为反映结构特性的有限元模型，并用于参数的优化计算。

3.4 有限元模型修正结果

本文选用改进的差分进化算法进行优化求解。由于本文是求解函数的最小值，把函数值的倒数作为个体的适应度值，适应度计算函数为：

F［f（x）］=1f（x）（1）

改进的差分进化算法参数设置：种群规模N=100，进化次数为100次，交叉因子为0.6，变异因子为0.1。将参数初始值代入响应面模型中并进行优化求解，得到待修正参数如表3、图8所示，并与理想频率进行比较如表4、图9所示。

从整体来看，修正后的连续刚构桥有限元模型频率响应更接近实测值，误差水平显著降低。由表4可知，对于修正前误差较大的前三阶频率得到了明显的改善，而误差本来就很小的阶次并未出现因为本次修正发生不需要的偏离，各个修正参数均具有良好的物理意义，可作为后期桥梁运营养护的基准模型。

3.5 不同优化算法的对比

为验证该算法的计算精度，采用传统差分进化算法和改进的差分进化算法对上述模型分别进行计算对比。两种算法的参数均设置为：种群规模N=100，交叉因子率为0.6，变异因子为0.1，进化次数为50次和100次。对比结果如表5所示。

由表5对比结果可以看出，在同等条件下，基于差分进化算法和非线性规划的混合寻优算法在求解结果上要优于传统的差分进化算法，且随着进化次数的增加，其总体误差越小，验证了改进的差分进化算法同时兼有全局寻优和局部寻优特点，提高了传统差分进化算法的搜索性能。

4 结语

本文引入差分进化算法到桥梁结构有限元模型修正中，改善了传统有限元模型修正算法的全局优化能力。基于该方法修正后得到的连续刚构桥有限元模型计算精度提升显著，能够真实反映桥梁结构的静动力特性，验证了该算法的可靠性和可行性，为解决桥梁有限元模型修正问题提供了一种新的参考方式。

参考文献：

［1］李宏男，高东伟，伊廷华.土木工程结构健康监测系统的研究状况与进展［J］.力学进展，2008（2）：151-166.

［2］宗周红，等.桥梁有限元模型修正和模型确认［M］.北京：人民交通出版社，2012.

［3］Box G E P，Wilson K B.On the Experimental Attainment of Optimum Conditions［J］.Journal of the Royal，1951，13（1）：1-38.

［4］Berman A，Flannelly W G.Theory of incomplete models of dynamic structures［J］.AIAA Journal，1971，9（8）：1 481-1 487.

［5］Modak S V，Kundra T K，Nakra B C.Model updating using constrained optimization［J］.Mechanics Research Communications，2000，27（5）：543-551.

［6］Zhang B Q，Chen G P，Guo Q T.Finite Element Model Updating for Unsymmetrical Damping System with Genetic Algorithm［J］.Applied Mechanics amp; Materials，2012（166-169）：2 999-3 003.

［7］刘 洋.高性能优化算法与结构模型修正的研究［D］.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2008.

［8］Vanik M W，Beck J L，Au S K.Bayesian probabilistic approach to structural health monitoring［J］.Journal of Engineering Mechanics，2000，126（7）：738-745.

［9］张连振，黄 侨.基于优化设计理论的桥梁有限元模型修正［J］.哈尔滨工业大学学报，2008（2）：246-249.

［10］孔宪仁，秦玉灵，罗文波.遗传-粒子群算法模型修正［J］.力学与实践，2009，31（5）：56-60.

［11］宗周红，赖苍林，林友勤，等.大跨度预应力混凝土连续刚构桥的动力特性分析［J］.地震工程与工程振动，2004（3）：98-104.20240426