基于知识“生长点”促进数学思维发展

【摘要】数学作为自然科学的基础学科，其知识体系的发展是一个由简至繁、由具体到抽象的渐进过程.在这一发展过程中，数学知识“生长点”作为新旧知识的交汇点和思维拓展的出发点，对初中生的学习和思维发展具有重要影响.文章首先对数学知识“生长点”的内涵与意义进行了深入剖析，其次以“一次函数的图像”教学为例，提出了基于数学知识“生长点”的多向性、逻辑性、系统性和结构性思维培养策略.实践表明，这些策略能够显著提升学生的数学思维能力，促进其全面发展.

【关键词】数学知识；生长点；初中生；思维发展；一次函数图像；教学策略

引 言

数学知识体系是一个循序渐进、逐步深入的动态发展过程，它从简单直观的概念出发，逐步向复杂抽象的领域拓展.在这一过程中，数学知识生长点（以下简称“生长点”）作为连接新旧知识的核心环节，发挥着至关重要的作用.对于初中生而言，这些“生长点”不仅是知识学习的关键点，更是思维发展的催化剂，能够引导学生将已有知识与新知识相融合，构建出更加完整、系统的知识框架.因此，如何在数学教学中精准识别并有效利用这些“生长点”，成为当前教育改革的重要议题.这不仅关乎教学质量的提升，更关系到学生数学思维能力及综合素质的发展.

一、“生长点”的内涵与意义

“生长点”指的是数学知识体系中那些至关重要的关键节点或转折点，“生长点”不仅承载着新旧知识的无缝衔接，更是知识进一步拓展与深化的重要基石.这些“生长点”如同一座座桥梁，连接着过往的知识积累与未来的学习探索，使得知识体系得以连续不断地发展与完善.对于教师而言，深入理解“生长点”的内涵具有深远的价值，能够帮助教师更加精准地把握教学的核心与方向，科学合理地选择教学方法与策略，从而更有效地引导学生掌握数学知识，培养他们的数学思维与解决问题的能力.

（一）“生长点”是知识衔接的桥梁

“生长点”作为数学知识体系中不可或缺的一环，扮演着新旧知识间桥梁的重要角色.“生长点”不仅标志着某一知识领域的完成，更为后续学习的展开提供了坚实的基础.在这些节点上，旧知识的积累成为新知识学习的出发点，通过“生长点”的衔接，学生能够在已有认知基础上顺利过渡到新知识的学习中，避免知识的孤立与碎片化.教师若能精准把握这些生长点，便能更好地设计教学序列，使课程内容既连贯又深入，促进学生的知识体系系统化发展.

（二）“生长点”是学习动力的引擎

“生长点”往往伴随着认知挑战，这种挑战正是激发学生内在学习动力的关键因素.当学生面对生长点带来的新知识与复杂问题时，好奇心与求知欲被自然激发，驱使他们主动探索、积极思考.教师如果能充分利用“生长点”的这一特性，设计富有挑战性的学习任务，就能有效激发学生的学习热情，培养他们的自主学习能力和探究精神.在这个过程中，学生不仅掌握了数学知识，更学会了如何学习.

（三）“生长点”是思维发展的契机

“生长点”不仅是知识的交汇点，更是学生思维能力发展的关键契机.在“生长点”处，知识的复杂性和抽象性往往达到一个新的高度，要求学生运用更高级的思维方式来理解和解决问题.这种挑战促使学生跳出固有的思维模式，尝试从不同角度、不同层面进行思考，从而促进了他们逻辑思维、批判性思维等高级思维能力的发展.教师应高度重视“生长点”的利用，通过设计富有启发性的问题、引导深入讨论等方式，为学生提供思维发展的广阔空间.

（四）“生长点”是创新能力的源泉

创新能力的培养是教育的重要目标之一，而“生长点”正是孕育创新能力的沃土.在“生长点”处，知识的边界被不断拓宽，新的概念和理论不断涌现，为学生提供了广阔的想象空间和创造可能.当学生尝试解决“生长点”带来的问题时，他们不仅要运用已有知识，还要敢于质疑、勇于探索未知领域，这种过程正是创新能力培养的重要途径.教师应鼓励学生勇于挑战生长点带来的难题，培养他们的创新思维和问题解决能力.

二、基于“生长点”促进初中生思维发展的实践探索

在初中数学教学中，如何有效促进学生的思维发展一直是教育者关注的焦点.“生长点”作为知识拓展与思维培养的交汇点，为教学实践提供了重要启示.“一次函数的图像”不仅是初中数学课程的重要组成部分，更是培养学生多向性、逻辑性、系统性和结构性思维的良好素材.在这一堂课的教学中，可以基于“生长点”精心设计问题情境，引导学生从不同角度审视函数图像，探索其性质与变化规律，从而培养他们的多向性思维.同时，借助同化与顺应的心理机制，帮助学生构建完整的认知结构，提升他们的逻辑性思维.此外，注重整体认知与归纳总结，以此培养学生的系统性思维和结构性思维.

（一）立足“生长点”设问题情境，培养多向性思维

初中生的思维逐渐由具象向抽象过渡，为了有效促进他们的多向性思维发展，教师需要精心设计问题情境，将数学问题置于一个开放、多元的思考环境中.教师通过立足“生长点”设置问题情境，能够激励学生从多元视角和不同层次去审视问题，并能促使他们探索并提出多样化的解决方案.这样不仅能点燃学生的求知欲，还能培育他们的批判性思考和创新能力.在解决问题的实践过程中，学生将不断开阔思维边界，逐步建立起一种灵活且富有创造性的思考模式，使他们能够更加自如地应对各种复杂情境.

从以上教学片段可以看出，立足生长点创设问题情境，能为学生提供了一个充满挑战与机遇的思维发展平台.在情境的引导下，学生可以在解决问题的过程中不断尝试、不断反思，从而培养出多向性思维，有助于他们更深入地理解数学知识.可见，在教学中教师应关注“生长点”在问题情境设计中的重要性，不断优化教学策略，以更好地促进学生的思维发展.

（二）立足“生长点”促同化顺应，培养逻辑性思维

同化与顺应是心理学中描述个体认知发展的重要概念，分别代表着个体将新知识纳入原有认知结构与调整原有认知结构以适应新知识的过程.立足“生长点”促进同化顺应，意味着教师要在知识生长的关键节点上，引导学生主动探索、主动建构，使他们在面对新知识时能够迅速找到与原有知识的联系点，通过同化与顺应的过程，形成更加完整、系统的认知结构.这有助于学生学会如何运用逻辑规则进行推理，如何有条理地分析问题.

在第二环节的教学中，教师先引导学生从不同角度深入探究了关系式y=2x+1.接着，指导学生选取五个特定的点，在平面直角坐标系中尝试描点，以便更深入地探索一次函数图像的形态.学生可能会在坐标系中标记出点（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5），并仔细观察这些点的分布规律.很快，一些学生就注意到了这些点似乎都排列在同一条直线上，这一发现引发了他们的思考，并促使他们猜测一次函数y=2x+1的图像可能就是一条直线.为了验证这一猜想，教师鼓励学生继续列举更多符合函数关系式的点，并观察这些点在坐标系中的位置.学生们积极响应，纷纷寻找满足函数y=2x+1的有序数对，并在坐标系中描出相应的点.结果证明，这些新增的点也都位于同一直线上，这进一步验证了之前的猜想.随后，教师鼓励学生进行更大胆的假设.有的学生认为所有函数的图像都是直线；有的学生则提出，所有的函数关系或许都能用直线方程来表示；还有的学生明确指出，所有一次函数的图像都是直线.尽管学生的这些回答还存在一定的片面性，但这正是他们当前认知水平的真实体现，是他们经过独立思考后得出的结论.

为了获得更精确的结论，教师引导学生重温绘制函数图像y=2x+1的过程，并鼓励他们尝试描绘一次函数y=-x+2的图像.在寻找有序实数对的过程中，一些学生在选择x值时表现出多样性和无序性.此时，教师可以追问：怎样才能更合理地选择x，y的值呢？经过深入讨论，学生们发现了一种更优的x取值策略：按照数值大小顺序选取正负数，且优选互为相反数的数值，这样的选择方式在直角坐标系中能展现出对称的美感.随后，学生们通过团队协作与积极探索，成功绘制出了一次函数y=-x+2的图像，并观察到该图像同样呈现为一条直线.在此基础上，教师进一步激发学生的探究兴趣，鼓励他们随意写出一个一次函数关系式，并尝试绘制对应的图像.经过独立思考和相互讨论，学生们最终能够推断出，一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k不等于0）的图像确实是一条直线.

从以上教学片段可以看出，立足“生长点”促进同化顺应，不仅能够帮助学生更好地掌握数学知识，还能在潜移默化中培养他们的逻辑性思维.通过引导学生主动探索、主动建构，为他们提供了思维发展的契机.在这一教学策略的引领下，学生得以在解决问题的过程中不断锻炼逻辑推理能力.

（三）立足“生长点”重整体认知，培养系统性思维

数学知识具有整体性与系统性，立足“生长点”注重整体认知，意味着教师要引导学生从全局视角审视数学知识，理解知识之间的内在联系与逻辑关系.这种教学策略有助于培养学生的系统性思维，使他们能够把握数学知识的整体框架，学会将零散的知识点串联起来，形成完整的知识体系.通过立足“生长点”进行整体认知的训练，学生可以更加深入地理解数学的本质与规律，提高运用数学知识解决问题的能力.

在第三环节的教学中，教师首先带领学生复习了一次函数及其图像的基本概念，对正比例函数y=kx（k≠0）和非正比例函数y=kx+b（k≠0，b≠0）两种类型进行重点讨论.在此基础上，教师鼓励学生发挥想象力，猜想接下来可能会学习的函数类型.部分学生能回想起学过的正比例和反比例知识，于是提出了可能会进一步学习反比例函数的猜想.另一些学生则着眼于一次函数自变量次数为1的特点，推测若自变量次数增加，可能会遇到二次函数.这些猜想不仅体现了学生们思维的灵活性，也映射出他们对数学知识结构的初步了解.紧接着，教师与学生共同探讨了反比例函数和二次函数图像的绘制方法，并引导学生认识到研究函数图像的一般步骤：首先，要透彻理解函数关系式的数学内涵；其次，根据函数关系式列出有序实数对；再次，在平面直角坐标系中标定这些点并连线；最后，观察图像的形态，并通过绘制多个同类函数的图像来总结图像的共通特性.这一流程让学生亲历了数学研究的基本思维模式，如类比思维等，帮助他们构建了对函数图像的整体认知框架.

从以上教学片段可以看出，立足“生长点”注重整体认知，为学生提供了一个培养系统性思维的广阔舞台.在这一教学策略的引领下，学生得以从全局视角审视数学知识，理解知识之间的内在联系与逻辑关系.通过不断训练，学生将逐渐具备构建完整知识体系的能力，这对于他们的学习与发展具有重要意义.

（四）立足“生长点”做归纳总结，培养结构性思维

“生长点”不仅是知识拓展的起点，也是归纳总结的契机.立足“生长点”进行归纳总结，要求教师引导学生基于知识生长的关键节点，对所学内容进行梳理、提炼与整合.这种教学策略有助于培养学生的结构性思维，使他们能够清晰地把握数学知识的结构脉络，理解知识之间的层级关系与逻辑关系.通过立足生长点进行归纳总结的训练，学生可以更加高效地掌握数学知识，提高运用知识解决问题的效率与准确性.

在第四环节的教学中，教师应以知识结构图作为教学的中心框架.从创设情境以激发兴趣、引出相关概念，到将特殊函数的研究策略推广到一般函数的学习路径，教师需要精心地将各个关键要素融入结构图中，并按照一定的逻辑顺序，有条不紊地推进整个教学过程的构建.这样，整个课堂的知识结构将变得条理清晰，同时，函数、方程等关键概念及教学上的难点也将被有效地逐一攻克.在本课即将结束时，教师引导学生观察知识结构图（如图1、图2所示），回顾所学知识.学生从y=kx+b（k≠0）出发，用方程视角和函数视角进行了再理解，通过列出二元一次方程，得到一次函数关系式，再进一步在平面直角坐标系中找规律、合情推理，最终描点连线得到一次函数的图像，实现了数与形的有机结合.同时，在这一过程中学生不仅关注了一次函数y=kx（k≠0）和y=kx+b（k≠0，b≠0）这两种形式，还将正比例函数和非正比例函数进行了区分，并为后续学习反比例函数和二次函数埋下了伏笔.

从以上教学片段可以看出，立足“生长点”进行归纳总结，是学生数学学习中培养结构性思维的重要途径.通过引导学生进行梳理、提炼与整合，为他们提供了一个锻炼结构性思维的平台.这一策略下，学生得以清晰地把握数学知识的结构脉络，理解知识之间的层级关系与逻辑关系.通过不断提升，学生将逐渐具备构建完整知识结构的能力.

结 语

立足于“生长点”的教学策略，在初中生思维发展的过程中展现出了独特的价值与意义.通过构建与生长点紧密相关的教学情境，可以引导学生主动思考、积极探索，从而有效提升学生的数学思维能力.这些教学策略不仅有助于学生深入理解数学概念，还能培养他们的逻辑思维、创新思维及问题解决能力.教师应继续深化对这一领域的研究与实践，不断优化教学策略与方法，以更好地服务于学生的发展需求.

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