初中数学“宽作业”研究与初探

一、宽作业的概念

宽作业，即有温度，有艺术，事宽即圆的作业。在大数据时代，我们重视事物之间的因果关系，如一道数学题的条件与结论之间的关系，更重视事物之间的相关关系，如题与题之间运用的相同的知识点，相同或相似的方法、思想等。波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题。”需要指出的是，现代兴起的“问题解决”（problem solving）比传统意义上的“解题”有了很大的发展。传统意义的“解题”注重结果，注重答案，注重的是因果关系，而现代意义的“问题解决”则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，注重的是相关关系。通过大量同类作业加深学生对某一知识或某一解题方法的固有印象，既不高效又不明智，学生在大量的作业面前，疲于应付，缺乏应有的思考，很难形成自己的见解，知识的内化和迁移过程相当缓慢。宽作业形式，在于解放学生的双手，调动学生的大脑。通过设置宽作业，让学生从解决一道题的三分钟热度，转化为解决一类题的持久性温度，从有技术的解决一道题，到有艺术的解决一类题，充分调动学生的思维，积极全面地思考，从容对付，圆满解决数学问题。另外，宽作业并非是对现有作业模式的否定，而是对现有作业模式的补充，顾名思义，宽作业，加大现有作业模式的宽度。

二、宽作业的主要特征

波利亚把教会学生解题看做是教会学生思考，培养他们独立探索能力的一条主要而有效的途径。宽作业正是为帮助学生实现这一目的作业模式。首先，宽作业以巩固学科知识为基础，强调学生的主观体验。解题基本功的大小，首先取决于知识的多寡，深浅和完善程度。其次，宽作业注重程序化的解题系统。这个系统集解题思想、解题过程、解题思路、解题方法等于一身，融理论与实践于一体，这种程序把解题的最后一步，即全面地、有分析地领会所得解法，作为解题的必要环节固定下来。我们常常有这样的思考：“这道题的解答看起来还不错，但怎样才能想出这样的解答呢？”宽作业模式所要达到的目的，正是剖析解题的思维过程，通过了解解题过程来研究发现和发明的方法和规则。

三、宽作业的教学实施形式

美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）认为，问题是数学的心脏。而数学教学的核心是问题的教学。在对宽作业理论研究的指导下，笔者对宽作业模式设置做了如下探索和尝试：

四、宽作业的具体案例

案例一

题目1（北师大版教材九年级数学上册第54页第4题）

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm。动点P从点C出发，沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动。如果点P，Q的运动速度均为1cm/s，那么运动几秒时，它们相距15cm？

解：设运动x s时，它们相距15cm，

CP=BQ=x cm，CQ=（21-x）cm，

在Rt△APQ中，∠C=90°，

∴ CP2+CQ2=PQ2，

x2+（21-x）2=152，

x1=9，x2=12

所以，运动9s或12s时，它们相距15cm。

1.解题过程中用到哪些具体知识？

答：勾股定理、解一元二次方程。

2.解题过程中用到哪些具体方法？

答：（1）在图中标示已知条件;

（2）推导简单的中间条件（如图中CQ的长等）;

（3）观察已知条件和所求结果，寻求它们之间的相关关系;

（4）利用勾股定理建立等量关系。

3.体现了哪些数学思想方法？

答：方程思想

4.需要注意的细节有哪些？

答：（1）运动过程中的不变量和不变关系有哪些;

（2）运动是否终止，何时终止，全面考虑运动过程中的各种情况;

（3）检查计算的准确性;

（4）检验所得结果的合理性。

5.以上思考对解决同类问题有何帮助？

答：提供了解决此类动点问题的一般思路，常用方法等。

题目2（（北师大版教材九年级数学上册第52页例1）

如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

题目分析：这道题是应用一元二次方程一课中动点类问题的一道例题，教师在教学过程中普遍认为此题的授课难度较大，学生难以理解。如果我们灵活处理教材，以上面题目1做为例题讲授，然后设置以上宽作业，让学生进行题后反思和总结，得到以上解题经验，再回头解决题目2，相信会水到渠成。

案例二

题目3（2016年广东省中考数学卷第25题）

如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP。

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明;

（3）在平移变换过程中，设y= S△OPB ，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值。

解答略

1.解题过程中用到哪些具体知识？

答：正方形的相关性质、平行四边形的判定、等腰直角三角形、同角或等角的余角相等、三角形全等、二次函数等。

2.解题过程中用到哪些具体方法？

答：（1）在图中标示已知条件，由此，第（1）问的答案显而易见;

（2）推导简单的中间条件，如图中OB、OQ的长，∠ABO、∠PQO的大小等，仔细观察便可得△ABO≌△PQO，第（2）问即可证明;

（3）对比需证明的结论，有方向性的思考，寻求条件和结论之间的相关关系，有思考的搭建桥梁（如添加辅助线等），第（3）问要表示三角形面积，若以BP为底，还需要表示BP边上的高，因此顺其自然可以想到过点O作BP的垂线;

（4）利用等腰直角三角形的相关性质，求出BP边上的高。

3.体现了哪些数学思想方法？

答：分类讨论思想等。

4.需要注意的细节有哪些？

答：（1）运动过程中的不变量和不变关系有哪些;

（2）运动是否终止，何时终止，运动方向是否唯一，运动时间是否有限制;全面考虑运动过程中的各种情况;

（3）检查计算的准确性;

（4）检验所得结果的合理性。

5.还有没有别的解法？

6.以上思考对解决同类问题有何帮助？

答：为解决此类问题提供了指向性思考。

五、结论与建议

解题的念头往往在不经意间闪现。波利亚说：“它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地向你建议该怎么做。念头多多少少还是完整的。如果你有一个念头，你就够幸运了。”宽作业的设置，正是为了使得解题的念头更具有准确性、合理性。当然，宽作业模式也并非总是指引我们这么做，也许有些念头会把你引入“歧途”，但这并不可怕，因为这并非最糟糕的事情，最糟糕的，是没有任何念头。宽作业模式下，学生更容易在问题解决的过程中建立成就感、自信感、对自己的认同感，从而提升学习兴趣，并促使学生更主动的思考，更有方向性的思考，更有价值的思考。诚然，对教师而言，在教学实施的过程中，也提出了更高的要求，教师在备学生、备教材的同时，也应同等重要地备作业。充分挖掘每一道题的价值所在，以及题目之间的相关关系，并能向学生阐明或是引导学生关注并理解这种相关关系，从而有温度、有艺术地，事宽即圆地解决相关问题。

责任编辑 徐国坚