提炼基本图形 深化知识运用

学习平面几何要养成总结提炼基本图形的意识，形成一些基本图形“范式”，掌握基本图形的研究方法，为复杂图形的研究奠定扎实的基础。注重对基本图形进行提炼总结、概括积累，无论是对概念的深度理解，还是对提高问题解决能力，发展数学核心素养都具有积极的意义。

平面几何基本图形的归纳概括可以依据不同的内容主题进行，也可以依据数学思想方法进行，基本图形的归纳梳理可以分为以下几个步骤：1.了解基本条件；2.理解基本原理；3.掌握基本结论；4.探索模型变化；5.运用模型解题。

一、关注趋势，合理总结

图形与几何领域应该总结哪些基本图形？笔者认为应依据两个准则：一是初中阶段甚至今后数学学习中出现频次较多、应用较为广泛的基本图形；二是基本图形复杂程度适中，简单的图形无须再重复总结，过于复杂的图形识别较困难，也无须概括为基本图形。教师和学生都可以根据自己的经验进行归纳总结，完善自己的“图库”。概括和积累的过程应该参考两项重要的材料：教材及中考真题。笔者总结的基本图形如下。

1.基本图形一：角平分线+平行线→等腰三角形（如图1）

模型变化：①角平分线+等腰三角形→平行线；②等腰三角形+平行线→角平分线。

2.基本图形二：“铅笔型”（如图2）

模型变化：当P点位置发生变化时可变式为以下模型（如图3、图4）。

3.基本图形三：两直线平行，同位角的角平分线平行（如图5）

模型变化：两直线平行，内错角的角平分线平行（如图6）；两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直（如图7）。

笔者以“平行+平分→等腰”这一基本图形为例，对苏科版七、八年级的教材做了简单的梳理：

在近几年的中考试卷中，具有开放性、探究性和创新性的平面几何综合性试题越来越多，其中的大部分试题都以教材中的一些基本图形为载体，通过变式与拓展改编而来，而研读教材有助于我们合理总结。

二、适度重复，把握变式

建立基本图形模型、积累多种基本图形的过程不是一个单纯记忆的过程，能够自主完整地证明是理解的前提。在复杂的情境中识别出基本图形是关键，能识别出适当变式后的基本图形是重难点。根据艾宾浩斯遗忘曲线的规律，适当的重复不仅有利于准确记忆，也有助于加深理解。因此，在教学过程中，教师不仅要花大量时间帮助学生概括和理解基本图形，还应让学生经历由图形条件到结论产生的过程，并在后续练习过程中适度重复和变式运用。

例如，在基本图形一的教学过程中，当师生完成了“角平分线+平行线→等腰三角形”的证明后，教师可以提问：当我们调换了条件和结论的顺序后，可以产生哪些命题呢？你猜测这些命题正确吗？你可以尝试说明原理吗？在基本图形二的教学过程中，学生完成第一个结论后，也可在教师的引导下自主完成点P在发生位置变化后的作图、猜想、证明。

三、全面规划，分点落实

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学的目标设定要体现整体性和阶段性。基本图形的积累不是一蹴而就的，其认知历程一般都是由片面到全面，由简单到复杂，由静态到动态，由单一到组合的过程。教材中的基本图形都是遵循“循序渐进，螺旋上升”的规则设计与呈现的。教师应通读学段教材，整体把握基本图形教学，在初中三年的学习中分步实施，从不同的角度，突破不同的重点，拓展学生理解的深度和广度。

例如，在七（下）“平面图形认识（一）”中，侧重利用基本图形强化平行的判定及性质；在八（上）“轴对称图形”这一章节中，侧重通过基本图形证明角和边的等量关系，从而判定等腰三角形，同时也加入线段及角的计算；在八（下）“中心对称图形”中，侧重利用基本图形找到线段平行或相等的关系，进而判定特殊的四边形。同一种基本图形在不同章节的考查重点不同。教师经过上面梳理后，可以不断进阶认知，深化理解。

基本图形是求解几何问题的脚手架。而搭建哪些脚手架，怎样搭建，在教学中，教师应该有目的地根据实际情况确定教学目标，控制题目数量，精心设计例、习题。笔者认为，可以将中等难度但具有图形关联性的题目按照合理的顺序整理成教学目标下的系列练习，这是一种较为高效的复习方法。将经典习题进行融会贯通，帮助学生找到解决问题的方法，但同时要注意对数学思想方法的渗透，总结规律，形成模型。这样可以使学生从题海中解脱出来，学得灵活，学得扎实，达到举一反三、触类旁通的效果，从而提升学生的学习能力，真正达到减负增效的教学目标。

（作者单位：江苏省常州市北郊初级中学）