大学数学互动式教学研究与实践

*基金项目：2023年度黑龙江省高等教育学会高等教育研究课题“数字赋能新时代大学数学互动式教学的研究与实践”（23GJYBJ055）；2022年度哈尔滨师范大学高等教育教学改革研究项目“OBE教育理念下数学类课程思政的教学改革与实践”（XJGZ2022010）；2023年度哈尔滨师范大学高等教育教学改革研究项目“高等数学教学模式的改革与实践研究”（XJGZ2023007）；天津中德应用技术大学2023年教学质量与教学改革研究计划重点项目“基于教学评估的应用型本科高校数学类课程教学大纲的制定与实施”（A2304）。

" "作者简介：李萍（1976—），女，硕士，副教授，研究方向：学科教学（数学） ；吕学琴（1979—），女，博士，教授，研究方向：微分方程数值解；侍述军（1980—），男，博士，教授，研究方向：偏微分方程与几何分析；王智（1976—），男，硕士，讲师，研究方向：数学教育。

[摘 要]数字化时代互动式教学是一种以现代信息技术为载体，以激发学生学习兴趣，提高学习效果为主要目的，以改善和提高学生的学业水平、学习能力为最终目的的教学方式。文章主要介绍了大学数学课程实施互动式教学所面临的问题及采用互动式教学法的重要性。研究了开展互动式教学的措施，并结合大学数学课程的教学实践，分享了课程互动式教学过程中的几个具体实践，并进行了分析与评价。

[关键词]数字化时代；互动式教学；问题情境；教学效果

[中图分类号] G642" " " " " " [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2024） 05-0102-04

互动式教学贯穿小学、初中、大学的各个阶段，在实现学生在课堂教学中的主体地位，培养学生的数学思维及终身学习能力中起着至关重要的作用。由于大学数学课程无论从深度还是广度来讲，对学生都是一个考验。开展互动式教学，教师必须思考如下问题：如何培养学生发现问题、解决问题的能力；如何鼓励学生大胆求真、勇于表达；如何引导全员融入多边互动环境，激发学习被动、不愿思考的学生产生互动的兴趣并积极参与互动[1]。教育数字化时代的到来，给互动式教学注入了新的生机。2022年《教育部2022年工作要点》发布，提出了实施教育数字化的战略行动，积极发展“互联网+教育”，加快推进教育数字转型和智能升级。

一、大学数学课程教学现状及学情分析

数字化时代，大学数学课程教学改革面临着很多机遇和挑战。了解数字化时代的特点及优势，掌握大学数学课程教学的现状，掌握学生的学情，才能更好地开展教学改革。

（一）大学生数学学习基础及学情分析

大学数学复杂难懂，学生往往在学习之初表现出很高的热情，但随着时间流逝，热情会慢慢消失。一方面是因为大学数学本身抽象难懂，另一方面是学生的数学思维能力薄弱、以及错误的数学思考习惯导致的。他们在学习大学数学的过程中多是照着例题模仿，缺乏思考、总结的过程，对知识的迁移能力不足，困难越积越多。想改变这种状况，就需要大学数学教师积极的引导学生思考，有意识的培养学生正确的学习习惯和学习能力。

转变教学观念、提高教师自身理论水平是实施互动式教学的关键。很多教师从事教学多年，传统教学观念根深蒂固，很难在短时间内改变。大学数学课程普遍课时较少，内容繁多，很多教师认为实施互动式教学需要耗费大量的课堂时间，会导致教学任务无法完成。互动式教学的效果还会受到学生情绪的影响，想要达到互动的预期效果需要教师具有较高的知识水平及语言能力。目前，互动式教学在大学数学课堂上实施多限于师生问答及练习，互动较少。一些教师为了在有限的学时内完成教学任务，不愿在课堂上花时间让学生动手练习，而是把实践压力都留在了课后，学习效果依赖于学生的自律能力。教师要认识到，进行互动式教学不是教师的讲与学生的练分别发生，而是二者的融合实施。教师有目的地选择组织教学过程的最佳方案，保证在规定的时间内，使教学和教育任务的解决达到可能范围内的最大效果[2]。

教师要将教学理论应用到教学实践中，实施过程很重要，需要教师具备多方面的能力，如收集和处理信息的能力、收获新知识的能力、提出问题的能力、思考问题的能力、分析和解决问题的能力和创设问题情境、使用信息技术、创建数学模型的能力。同时，教室还须了解数学学科的发展史，关心国家大事，能够将数学文化应用到教学中。这就需要教师既要在平时的生活中多学习，努力提高自己，也要加入课程组，发挥团队的优势，集思广益。

大学数学课程结合现代化教学平台，实施混合性教学是很多高校数学教师的选择。实施混合式教学、进行教学实践、积累教学经验、形成教学成果、申报一流课程，这一系列的教学改革都需要政策的保障。有了政策的保障，教师才能放开手脚，大胆进行教学尝试。课时安排上要为混合式教学提供线上课时和线下课时，利用多媒体技术进行情境教学需要网络技术和平台的支持，要进行教学技能培训、理论培训、制定激励机制等提高教师的能力和热情。

二、大学数学课程实施互动式教学法的重要性

传统的互动式教学法是教师和学生通过交流、协商、探讨等方式，激发教学双方的主动性、创造性的教学方法。实施互动式教学就是要在平等、民主的条件下，让学生处于轻松、愉快的环境中，充分发挥自己的想象力，积极参与活动、积极思考、积极讨论，从而在教师主导的多样性的教学活动中实现学生的主体地位，提高学习能力。教师作为活动的组织者，需要思考如何选择、组织学生进行活动，如何构建互动的外部环境，发挥教师的主导作用，把教与学有机地结合起来。数字化时代，信息技术、教育平台、大数据等网络技术手段的融入给大学数学互动教学带来了新的方式，互动式教学不仅有师生互动，还有学生与平台互动，教师与平台互动，以及生生互动等多种互动方式。互动式教学是提高学生主观能动性、培养学生学科素养及自主学习能力的有力保障。

三、大学数学课程互动式教学实施策略

全球范围内，教育体系正经历着数字化转型的浪潮，高等教育领域也不例外。在转型过程中，要将学习者和教育工作者置于中心位置，满足他们不断变化的需要[3]。互动式教学能够体现教师的主导作用和学生的主体地位，借助数字化发展的机遇，其实现方式更加丰富。

（一）利用线上教学平台开展互动教学

作为互动的重要载体，教学平台的使用在实施互动教学过程中起着重要的作用。利用教学平台可以发布预习资料、进行预习检测、发布讨论题目、进行调查问卷、数据分析等等。学习平台时间灵活，不受时间和空间的限制，可以重复的学习。学生通过参与教学平台的学习，互动来完成课前的预习，教师通过数据反馈来了解学生的学习情况。教师还可以通过教学平台进行总结、答疑、考试、竞赛等等。教学平台还能对数据进行统计分析，为教师教学提供重要的参考。

（二）借助现代化技术手段创设问题情境，引导互动

问题情境是指教师在掌握学生现有学习基础的前提下，有目的、有意识地创设的问题环境。“创设问题情境”是指教师精心设计一定的客观条件，如提供学习材料、动手实践、解决问题的方法等，使学生面临某个迫切需要解决的问题，引起学生认知冲突，激发学生的学习兴趣。利用现代技术手段可以创设出生动、形象直观的问题情境，以动态演示的方式对最终呈现的效果进行演示，激发学生兴趣，使教学情景更加轻松愉悦，让学生更加容易理解，在动态的情境中更好地构建知识体系。

（三）开展主题探讨，培养团队合作意识

开展主题讨论的前提是要有一个“切入点”。一个能让学生感兴趣的、能调动学生积极性的题目。可以是一些与生活相关的话题，如线性方程组在交通问题中的应用、矩阵在经济学中的应用等等。教师将学生分成若干学习小组，每组设一个组长。教师布置讨论题目，组长负责带领组员进行分析、讨论，汇总讨论结果，形成讨论报告。每组代表展示讨论的成果。教师进行点评，指出优点及存在的问题，根据小组表现记录平时成绩、加以适当的鼓励或奖励。除了进行小组讨论外，学习小组是互助的学习共同体，大家共同学习、互相帮助、共同进步。

（四）参加学科竞赛，通过实践提升专业技能

大学生能参加的竞赛很多，如“高教社杯全国大学生数学建模竞赛”“深圳杯全国大学生数学建模竞赛”“全国大学生数学竞赛”等国家级的竞赛。还有各种省级、校级、院级的学科竞赛。这些竞赛多以团队形式参赛，学生分工协作，共同经历成功或失败，在竞赛的过程中不但得到了锻炼，而且加深的同学友谊、培养了合作意识、有了团队的集体荣誉感。同时，竞赛需要应用多学科知识，提高了学生知识的广度、深度，把书本理论与现实生活结合起来，真正锻炼了学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。

四、大学数学互动式教学的应用实践及反思

互动式教学可以应用在教学的各个阶段，可以采用传统式的师生互动，也可以采用多维互动。多维互动式教学模式的核心是以学生为中心，建立学生与学习内容、学生与学生、学生与老师等多角度、多方位、多层次的交互活动过程[4]。

（一）教学实践案例

1.问题引导互动，探究问题答案

以“复数域上的多项式”教学为例，教师给出代数基本定理，提出问题：

问题1：多项式在复数域上有多少个根？

问题2：复数域上什么样的多项式可约？什么样的多项式不可约？

问题3：次数大于零的多项式在复数域上典型分解式如何？

复数域上多项式的相关问题比较简单，知识点的选取是学生通过讨论可以解决的。教师引导学生思考问题、总结问题、表述问题，进而得出结论，优于传统教学中给出结论，引导论证的教学方法。

2.借助几何直观，利用问题引导师生互动及生生互动

以“施密特正交化方法”教学为例，教师采用“启发－探究”“小组讨论”的教学方法，以及“直观感知-操作确认”的认识过程组织教学活动。通过一系列的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究、总结，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过渡，从而完成命题的推导与验证，并且在充分理解命题的基础上能对其进行简单应用。借助几何直观，在互动过程中体会施密特正交化方法的推导及验证过程，能够应用施密特正交化方法推导简单结论，并在师生互动及生生互动过程中，培养集体观念、提高团队合作意识及能力，提高思考问题、解决问题及总结结论的能力。

问题1：考虑二维几何空间中，基可以是正交的也可以不是正交的，作为两组基，它们之间有什么关系？教师通过引导学生进行思考，引出关联矩阵及过渡矩阵，得出结论：过渡矩阵是可逆的，也就是说，这两个基之间是可以相互表示的。

问题2：设是两个线性无关的向量，想找两个可由它们线性表示的正交向量怎么找？教师通过组织学生在小组讨论中得出结论：过渡矩阵都是可逆的，而且可逆矩阵都可以作为基到基的过渡矩阵，选一个二阶可逆矩阵，用这个基乘上这个可逆矩阵就可以了。

问题3 ：用这两个向量构成的向量矩阵去乘上一个二阶可逆矩阵，得到的两个向量是线性无关的。但是，它们是正交的吗？教师在电子屏上展示二维平面上两个线性无关的向量，即同一点出发不共线的两个向量要求学生继续小组讨论。有的小组画的两个正交的向量是独立于前两个向量之外的，教师在不断追问中引导学生思考，这么画如何求它们的线性表示？设出线性表示表达式会有多少个变量？我们可以把第一个向量画在这行不行，和已知的第一个向量重合行不行？这样变量是不是会少一些？那第二个向量要满足什么条件？

学生经过小组讨论得出如下结论：让第一个向量等于已知的第一个向量，第二个向量应该和第一个向量正交，设出它的线性表达式，再利用正交的条件就可以求出第二个向量。此时教师利用多媒体演示第一个向量及第二个向量的选取，第二个向量按平行四边形法则分解，调整它的长度让一条边与已知的第二个向量重合，让学生体会这样选取的好处，减少变量个数，并通过对讨论过程和结果的分析总结，将得出的两个正交向量的表达式写在黑板上，让同学们思考是否满足可由前两个向量线性表示的条件。

此时继续提问引发学生思考：三个线性无关的向量，怎么求满足条件的三个非零且两两正交的向量？学生按之前的方法画出三维空间中的直观图形快速的计算，得出了结论，教师将表达式写在黑板上，让学生思考“如果给你n个线性无关的向量，满足条件的表达式应该是什么样的？”学生根据前面两次得出的结论很快写出答案。教师利用数学归纳法引导学生对此结论进行了严格的证明，进而引导学生将上面得出的表达式写成矩阵形式，里面的线性表示矩阵可以看成过渡矩阵（已知的线性无关向量可以看成生产子空间的基）。过渡矩阵可逆，两个向量组可以相互表示，在电子屏上演示表达式，逐步引导学生得到非奇异实矩阵能写成正交矩阵和上三角实矩阵乘积的形式。

采取互动式教学，师生互动和生生互动相结合，学生积极性高、参与度高；教学过程中注重利用几何直观引导学生观察思考问题逐步得出结论；注重抽象与直观的互相转化。学生利用几何直观解决了问题后，教师引导学生用数学语言进行描述论证，将结论回归抽象；小组讨论过程中注重积极引导而不是直接告诉学生结论，有利于学生自主学习能力的培养。后面对知识点进行了延伸，让学生开阔了视野。

（二）教学反馈互动

教学情况的反馈方式很多，如问卷调查，平台对学生学习情况、答题情况的反馈数据，学生作业的完成情况、课上表现、测试成绩、学生评教等等，也可以通过撰写小组讨论报告以及与学生面对面的交流。对上述互动式教学的评价要在平时考核项中增加团队合作和小组讨论的部分，实现考核方式多样化，客观的评定学生的学习能力及课程掌握程度[5]。

此案例中，学生积极参与，通过集体讨论，以报告的形式向教师提出教学建议，体现了学生集体的想法及意愿，学生参与到课程的设计及教学中来有利于实现学生与教师职能的转化，培养学生实践能力及自主学习和终身学习的能力。

互动式教学是信息传播的过程，是通过媒介沟通教师与学生直接的桥梁。我国目前已进入到教育信息化2.0阶段，相继出台了《教育信息化2.0行动计划》《中国教育现代化2035》等政策文件，深入推进数字资源服务普及、数字校园规范建设、网络学习空间覆盖、教育治理能力优化，启动智慧教育示范区建设，初步形成中国教育的数字空间生态[6]。随着教学改革的推进，国家对人才的迫切需求，需要教师充分利用数字化时代带来的机遇，合理开展互动式教学的研究，加大实施力度。

参考文献：

[1]张思弘.互动式教学助力高校应用型课程深度学习的路径探析[J].福建教育学院学报，2023（01）：95-97.

[2]叶立军，斯海霞.数学课程与教学论（第二版）[M].杭州：浙江大学出版社.2016.

[3]张选民，薛淑敏.高等教育数字化转型的全球迭代与发展[J].中国高等教育，2023（08）：27-30.

[4]付庄，冯新，王尧.多维互动线上教学法在教学中的应用[J].高等工程教育研究，2021（01）：193-196.

[5]刘小菲，党丹，王贺，等.《高等数学》课程互动式教学方法与多样化考核模式研究[J].才智，2017（01）：108.

[6]李永智.智慧教育是数字时代的教育新形态[J].中国高等教育，2023（08）：24-26.

（责任编辑：孟冬冬）

Research and Practice on Interactive Teaching of College Mathematics

Li Ping1" Lv Xueqin2" Shi Shujun1" Wang Zhi1

（1.Harbin Normal University；2. College of Basic Science， Tianjin Sino-German University of Applied Sciences）

Abstract： Interactive teaching in the digital era is a teaching method that uses modern information technology as the carrier， with the main purpose of stimulating students' learning interest and improving learning effectiveness， and the ultimate goal of improving and enhancing students' academic level and learning ability. The article mainly introduces the problems faced by implementing interactive teaching in university mathematics courses and the importance of adopting interactive teaching methods. We have studied the measures for implementing interactive teaching and， combined with the teaching practice of university mathematics courses， shared several specific practices in the process of interactive teaching， and analyzed and evaluated them.

Key words： Digital era; Interactive teaching; Problem scenario; Teaching effectiveness