公办养老机构与政府补贴的民办养老机构间博弈模型研究

姜一帆,陆媛媛

(吉林师范大学数学学院,吉林 四平 136000)

0 引言

近年来,老年人口规模庞大,根据我国人口最新数据调查显示,2021年全国总人口约为14.12亿人,其中60岁以上老龄人口约为2.64亿,占全国人口的18.7%,相较2010年上升幅度提高了5.44个百分点,65岁以上人口约为1.91亿,占全国人口的13.5%.中国发展基金会在低预测情形下,预计我国2032年左右进入占比超20%的“超级老龄化社会”.随着空巢家庭逐渐增多,家庭养老功能显著弱化,逐年增大的老年人群体特别关注养老问题,对养老服务、社会福利、医疗保健等方面的需求越来越大,提升对养老机构的重视程度是解决养老问题的努力方向.截止到2021年末,全国各类养老机构数量达4.2万,床位数达501.6万.为更好拓宽养老服务市场,保证公办养老机构和民办养老机构的协调共存,政府给予民办养老机构许多优惠政策和补贴激励,在机构达到老年人基本养老要求的同时,政府不断完善多种补贴机制.

随着我国老龄化趋势愈来愈严峻,养老服务需求急速上涨,政府、公办养老机构和民办养老机构都希望老人享受更好的服务.但如今,类比公办养老机构,民办养老机构收费价格偏高等因素导致民办养老机构存在入住率低、维持困难等问题,民办养老机构自身很难解决这些问题,此时就需要依靠政府给予适当的补贴以保证公办养老机构和民办养老机构协调共存.为了激励老年人选择民办养老机构,政府对入住民办养老机构的老人发放优越的基准补贴,从而提高入住量,因此研究政府补贴下公办养老机构和民办养老机构的最优定价和最优服务水平是十分必要的.

人口老龄化是全球面临的共同课题.许多国家很早就已经步入人口老龄化行列,为健全养老社会体系,激发养老市场的潜力,各国纷纷建立有效的养老机构扶持补贴机制.养老机构获得补贴受哪些条件的影响,补贴方制定怎样的补贴政策以及补贴政策带来的最终成果是重要的研究方向.目前,利用博弈方法探究政府补贴[1]的文献有很多,其中针对养老问题,舒斯亮等[2]针对公办养老机构和民办养老机构先后决策和同时决策两种情形,构建两种博弈模型,通过模型仿真对比研究了养老机构最终定价问题,减少两机构的投入边际成本差距,延长老年人入住公办养老机构的等待时长,能够实现养老市场的稳定发展.高晓波等[3]在政府多种补贴机制和服务标准的前提下,研究政府与养老机构在合作与非合作条件下两博弈方的最优决策问题,讨论了重要参数补贴因子对决策变量和利润的影响.郭倩等[4]引进了替代因子,建立公办养老机构与民办养老机构的古诺寡头竞争模型,研究了政府补贴机制对养老市场的影响,当政府补贴民办养老机构时可以提高养老行业的稳定性,同时养老机构更希望获得建设补贴.裴诗宇等[5]探究了政府在按照“需方”补贴政策下与养老机构的博弈行为.周成等[6]建立了政府和民办养老机构两者之间的演化博弈模型,以双方利益最大化为目的,考虑双方的差异性,政府和养老机构均需采取相应措施来应对养老市场的动态发展,体现养老公共价值提升的必要性.FENG等[7]调查了养老机构在运营中需要的资金来源,发现有二分之一到三分之二的机构设施是由非政府部门投资建设的,而约85 %的私营养老机构享受着政府的每床补贴政策,减少了机构的营业支出压力.POTTER等[8]采用双重差分的方法,衡量了医疗补助政策的长期实施对养老机构服务质量的影响,引入了敏感性分析,包括三重差分模型(按医疗补助支付组合分层),并为进一步完善补贴制度提出了建议.陈炳羽[9]着眼于养老机构补贴政策的优化与完善,运用多种理论基础建立补贴机制优化模型,提出优化补贴政策的基本方法和基本准则,为确保支付能力较弱的老年群体能够享受较好的养老服务,政府补贴政策有效且合理实施至关重要.上述国内外学者普遍研究的是养老机构的经营与管理现状、国家及地方政府财政补贴机构的政策、优化养老机构服务质量的措施等内容,且有关公办和民办养老机构的研究成果中,大部分只针对其他补贴机制或不考虑任何补贴建立的模型,几乎没有涉及政府对入住民办养老机构老人给予补贴的前提下公办及民办养老机构最佳策略的研究,特别是对于养老机构最优定价和最优服务水平的问题.

本文着眼于政府补贴民办养老机构老人的机制,从实际情况出发,为保证公办养老机构与民办养老机构的协调运营,在补贴模型中引入入住等候时长,对固有博弈模型进行了改进和创新.针对两种养老机构,以各自自身利润最大化为目标,建立公办养老机构和民办养老机构的Stackelberg主从博弈模型与Nash博弈模型,并对政府基准补贴金额进行讨论.利用博弈论和数学规划有关知识,将理论基础与数理分析联系起来,为公办养老机构与民办养老机构的协调共存提供参考.

1 问题描述与符号假设

本文研究的补贴是指政府对入住民办养老机构的老人的补贴,而对入住公办养老机构的老人,政府不给予补贴;假设老人入住民办养老机构无须等候,入住公办养老机构需等候,其中老年人入住公办养老机构需等候的时长为t,默认民办养老机构需等候时长为0,t服从[0,T]上的均匀分布,T为最长入住等候时长,T越大表示入住公办养老机构的难度越大.本文以公办养老机构和民办养老机构两方作为博弈主体,分别进行Stackelberg主从博弈和Nash博弈,各变量符号如表1所示.

表1 符号说明

根据研究的问题,给出如下假设:

(iii)假设市场容量等于1,则公办养老机构需求函数D1j与民办养老机构需求函数D2j分别为:

2 模型的建立与求解

根据上述假设和符号说明,可以得到如下函数.

公办养老机构利润函数:

(1)

民办养老机构利润函数:

(2)

2.1 养老机构Stackelberg主从博弈模型

首先,公办养老机构进行决策,公办养老机构以自身利润最大化为目标,求解公办养老机构的最优定价和最优服务水平;其次,民办养老机构进行决策,民办养老机构以自身利润最大化为目标,求解民办养老机构的最优定价和最优服务水平.

证明 当两博弈方采取Stackelberg博弈时,可得到民办养老机构利润函数:

将π21分别对p21和x21求偏导:

π21(p21,x21)的Hessian矩阵为:

由性质1可知,如果市场中公办养老机构定价上涨,民办养老机构定价也会有所上涨,主要在于选择民办养老机构的老人获得的政府补贴金,可以有效地缓解由于民办养老机构高价格而带来的不利影响,并不会减少老人的入住积极性;同时为了增加收益,民办养老机构会提高其服务水平使愈来愈多的老人入住;当公办养老机构服务水平较高时,为了避免老人选择公办养老机构,民办养老机构会通过降价来提高老人的选择意识,同时为了维持自身最大效益,其服务水平也会适当降低.

证明 将定理1中求出的最优定价p21和最优服务水平x21代入(1)式中,再将π11分别对p11和x11求偏导:

其中,A=2k1k2Tη-k1,B=k2(Tη-c2-c1+t0)-1.

π11(p11,x11)的Hessian矩阵为:

即Hessian矩阵负定,π11(p11,x11)是关于p11和x11的凹函数,公办养老机构定价及服务水平在驻点处取极大值,则定理2得证.

由性质2可知,民办养老机构老人获得补贴,由于补贴机制致使许多老人选择民办养老机构,民办养老机构即使增加定价也不会降低入住率,为了激励更多的老人入住,民办养老机构也会适当升级养老服务;当政府给予的基准补贴金额较高时,民办养老机构具有价格优势,此时公办养老机构只有提高服务水平才会引起老人的关注,同时为了维持自身最大效益,其收费价格也会小幅度提高.

2.2 养老机构Nash博弈模型

公办养老机构与民办养老机构同时做出决策,两种养老机构以各自获得利润最大化为目标,根据Nash博弈模型的求解原理,最终确定两种养老机构的最优定价和最优服务水平.

证明 当两博弈方采取Nash博弈时,公办养老机构利润函数π12和民办养老机构利润函数π22如下:

将π12分别对p12和x12求偏导,π22分别对p22和x22求偏导:

π12(p12,x12)的Hessian矩阵为:

π22(p22,x22)的Hessian矩阵为:

由性质3可知,基于民办养老机构老人获得补贴,公办养老机构和民办养老机构同时做出决策.若提高基准补贴金额,对于公办养老机构,由于政府不给予公办养老机构老人补贴,则该机构通过降低收费价格来提升入住率,同时公办养老机构考虑利益最大,服务水平也会下降;对于民办养老机构,由于政府补贴激励,导致民办养老机构即使增加收费价格也不会降低入住率,为了让尽可能多的老人入住,民办养老机构的服务会适当升级.

3 算例分析

目前,以提高养老机构服务供给为目的,政府就民办养老机构补贴开展了一系列实践.以北京市大兴区福寿园养老院为例,按照相关补贴政策及自身条件的补贴标准,对每位入住养老机构的老人按年进行补贴.假设系统参数满足:t0=30(百元),c1=10(百元),c2=30(百元),T=2(天),η=10,k1=0.4,k2=0.6,计算结果见表2.通过Matlab软件仿真t0对其他因素影响的分析,其他参数不变,得到图1、图2、图3.

表2 最优算例结果

图1 t0对pij的影响

图2 t0对xij的影响

图3 t0对πij的影响

通过对不同博弈方式下公办养老机构与民办养老机构最优收费价格和服务水平的分析,在政府单位基准补贴民办养老机构老人的条件下,根据图1、图2、图3,得出如下结论:第一,无论哪种养老机构,对于最优收费价格和最优服务水平,Stackelberg博弈模型均高于Nash博弈模型;第二,无论哪种博弈模型,对于最优收费价格,民办养老机构大于公办养老机构;第三,无论哪种博弈模型,对公办养老机构来说,随着政府单位基准补贴金额提高,养老机构利润均下降,而对民办养老机构来说,随着政府单位基准补贴金额的提高,养老机构的利润均增加;第四,无论哪种养老机构,从博弈方式出发,与Nash博弈同时决策相比,两方先后决策的Stackelberg博弈会相对更好一些.

4 结语

本文基于政府补贴民办养老机构老人的机制,求解了公办养老机构和民办养老机构的Stackelberg主从博弈模型和Nash博弈模型,对两种博弈模型进行对比分析,以各自机构利润最大化为目标求出了最优解.为了提升老年人的生活幸福感,增强老年人对养老服务需求的满足感,两方养老机构进行Stackelberg博弈将更有利于机构的协调发展,政府也可根据财政状况,适当提高老人获得的基准福利,加快养老服务行业的完善与发展.