A4纸的学问

文／赵维坤

今天，我们来研究A4 纸中蕴藏的数学知识。A4 纸的形状是长方形，其核心问题是长与宽之间的数量关系。长与宽的和是半周长，长与宽的积是面积，而长与宽的比值是我们今天要研究的对象。

用目测的方法估算A4 纸长与宽的比值是最常用的方法，但可能误差较大。既然“看”不行，那就“量”和“算”，利用刻度尺，度量A4 纸的长与宽，并计算长与宽的比值，结果精确到0.001。

通过计算，我们发现得到的比值在1.414 附近，从而引发猜想：A4 纸长与宽的比可能是。虽是无理数，却是一个准确值，要验证这一猜想，显然度量的方法已不再适合，因此，我们需要另辟蹊径。

我们可以通过折纸的方式进行验证，将A4 纸按图1方式折叠，易知△ABE为等腰直角三角形。设AB=1，则有BE=。再折叠，如图2 所示，发现折痕BE与BC恰好重合，从而说明A4纸的长是。

图1

图2

利用研究A4 纸的经验，我们发现，A3 纸与A4 纸具有相同的规律：长与宽的比都是，即形状相同，大小不同。实际上，将A3 纸沿着长边的中垂线对折，折叠后的图形就是A4纸。

其实，保持A3、A4 纸相同的长宽比，我们可以等比例地放缩打印的文档或图片，这样的设计可以为工作和生活提供很大的便利。但为何设计的是这个比值，而不是其他比值呢？

这样，我们就需要研究其他的A型纸。

反过来，两张A6 纸拼成了一张A5 纸，两张A5 纸又拼成了一张A4纸，以此类推，还可以拼出A3、A2、A1纸，最终拼出A0纸。

事实上，工厂生产纸张便是通过不断切割A 型纸较长对边中线，逐步得到各类A 型纸。这样的设计可以最大限度地节约资源，避免边角料的浪费。

通过查阅A 型纸国际标准尺寸表（如表1），这张初始的A0 纸的长与宽为何设置成这样的数值呢？通过计算两者的乘积：1189×841=999949mm²，改用m²做单位后，发现原来A0纸的面积大约是1m²。

表1

生活中常见的纸除了A 型纸，还有B 型纸和K 型纸，它们的长与宽的比值还是吗？如果不是，又具有什么样的关系呢？同学们可以自己尝试着探索。