斜面体上牛顿运动定律问题的解题研究

摘" 要：斜面体问题一直是高中物理教学中的重点内容，物体在斜面体上的平衡状态以及非平衡状态下的动力学问题中，通常涉及整体和隔离的思想方法.对物体在斜面体上处于非平衡状态时的动力学问题可以通过隔离分析、质点系的牛顿第二定律的应用、非惯性系下惯性力的使用三个方面进行解题方法的研究.

关键词：斜面体问题；整体法和隔离法；牛顿第二定律；惯性力

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0119-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：蔡飞（1980.10—），湖北省鄂州人，本科，中教二级教师，从事物理教学研究.

物体在斜面体上运动的场景在生活中比较常见，物理中主要通过模型的建构，结合数学和物理方法对实际问题进行定性和定量的研究分析.物体在斜面体上运动的模型是非常重要的模型.本文重点讨论斜面体上物体处于非平衡状态时的动力学问题.

1" 问题呈现

例题" 如图1所示，水平面上有一质量为M、倾角为θ的斜面体，在斜面上轻放上一质量为m的光滑滑块，求物块在斜面上下滑过程中，地面对斜面体的摩擦力和支持力的大小.整个运动过程中空气阻力不计，斜面体始终保持静止，重力加速度为g.

2" 解法研究

2.1" 运用牛顿运动定律隔离分析

对物块和斜面体受力分析分别如图2、图3所示.根据物块在垂直于斜面方向上的平衡方程可得：FN=mgcosθ .根据牛顿第三定律得F′N=mgcosθ.

对斜面体由水平方向和竖直方向上的平衡方程可知：f=F′Nsinθ，

FN1=Mg+F′Ncosθ

即： f=mgsinθcosθ，

FN1=Mg+mgcos2θ.

运用牛顿定律进行隔离分析的过程中，主要判断物体之间的相互作用力的大小和方向，逐步求解.下面对隔离分析的方法进行简单应用.

变式1" 如图4所示，质量为M=2 kg的斜面体置于水平地面上，斜面体上有一个质量为m=1 kg的滑块，在方向水平向右的拉力F=30 N作用下沿斜面向上运动.已知滑块与斜面的动摩擦因数为0.5，斜面的倾斜角为37°.整个过程中斜面体保持不动，不计空气阻力.求地面对斜面的支持力和摩擦力的大小.（g取10 m/s2）

解" 对物块和斜面体受力分析分别如图5、图6所示.根据物块在垂直于斜面方向上的平衡方程可得：FN=mgcos+Fsinθ=26 N，f=μFN=13 N.

根据牛顿第三定律得F′N=26 N， 方向垂直斜面向下. f ′=13 N，方向沿斜面向上.

对斜面体由水平方向和竖直方向上的平衡方程可知：

f1=F′Nsinθ +f ′cosθ，

FN1=Mg+F′Ncosθ-f ′sinθ.

解得f1=26 N，FN1=33 N.

2.2" 质点系牛顿第二定律与加速度分解相结合

当系统内各物体的加速度不同时，牛顿第二定律的基本表达式为：F合=m1a1+m2a2+…+mnan，这是一个矢量表达式（研究的F合为系统所受合外力，mn为各部分物体的质量，an为各部分物体的加速度）.系统牛顿第二定律又称作“质点系牛顿第二定律”［1］.其正交形式为：

Fx合=m1a1x+m2a2x+…+mnanx；

Fy合=m1a1y+m2a2y+…+mnany.

将物块和斜面体当作系统，因物块的加速度沿斜面向下，系统中存在向左的加速度分量，所以地面对斜面体的摩擦力方向向左.对物块由牛顿第二定律可得：mgsinθ=ma，所以a=gsinθ. 将加速度沿水平和竖直方向分解可得：ax=acosθ，方向水平向左；ay=asinθ，方向竖直向下.对物块和斜面组成的系统受力分析如图7所示，由质点系的牛顿第二定律：

水平方向：f=max=mgsinθcosθ；

竖直方向：（M+m）g-FN=may，

解得FN=Mg+mgcos2θ.

以上分析可知，在解决斜面体受到地面的摩擦力和支持力的问题时，使用质点系牛顿第二定律与加速度分解相结合的方法往往能起到化繁为简的效果.下面就此法解决问题进行简单应用.

变式2" 如图8所示，A、B两物体从斜面上滑下，求两物体在运动过程中地面对斜面体的支持力和摩擦力的大小.已知mA=1 kg，mB=2 kg，斜面体的质量M=5 kg.两物体与斜面的动摩擦因数均为0.5，α=53°，β=37°.整个运动过程中斜面体始终保持不动，不计空气阻力.（g取10 m/s2）

解" 隔离A、B由牛顿第二定律可得

aA=gsinα-μgcosα，

aB=gsinβ-μgcosβ

由质点系牛顿第二定律可知，

（M+mA+mB）g-FN=mAaAsinα+mBaBsinβ，

f=mBaBcosβ-mAaAcosα，

解得FN=73.6 N，f=0.2 N.

2.3" 惯性力与整体法相结合

惯性力，是指当物体有加速度时，物体具有的惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，而此时若以研究对象为参考系，并在该参考系上建立坐标系，看起来就仿佛有一股方向相反的力作用在研究对象上令研究对象在坐标系内发生位移［2］.在非惯性系中牛顿运动定律不成立，所以不能直接用牛顿运动定律处理力学问题.若仍然希望能用牛顿运动定律处理这些问题，则必须引入一种作用于物体上的惯性力［3］.

由本文《2.1运用牛顿运动定律隔离分析》可知：a=gsinθ，以沿斜面向下加速度为a=gsinθ 的非惯性系统为参考系，为使系统仍满足牛顿运动定律，可以引入惯性力F惯=ma，方向沿斜面向上.对于整个系统由水平方向和竖直方向上的平衡方程可得：

f=F惯cosθ，

FN=（M+m）g-F惯sinθ.

解得f=mgsinθcosθ，FN=Mg+mgcos2θ.

利用非惯性力解决问题时，先要求出系统中物体的加速度，即选定非惯性系，然后设定惯性力，再根据

平衡条件求解.

变式3" 如图9所示，置于水平地面上的斜面体，质量为M=2 kg.斜面体上面有一个质量为m=1 kg的滑块，在F=20 N方向沿斜面向上的拉力的作用下沿斜面向上运动.已知滑块与斜面的动摩擦因数为0.5，斜面的倾斜角为37°.整个过程中斜面体保持不动，不计空气阻力.求地面对斜面的支持力和摩擦力的大小.（g取10 m/s2）

解" 对滑块由牛顿第二定律可得：

F-mgsinθ-μmgcosθ=ma，

解得a=10 m/s2.

选取以沿斜面向上，加速度为a=10 m/s2的运动系为参考系，则惯性力F惯=ma=10 N，方向沿斜面向下，对物块和斜面组成的系统由平衡方程：

FN+Fsinθ=（M+m）g+F惯sinθ，

f=Fcosθ-F惯cosθ.

解得FN=24 N，f=8 N.

3" 解题方法对比分析

牛顿运动定律隔离方法是在动力学问题中是最为常见及常用的方法，通过对相互作用的各个物体单独进行受力分析，以牛顿第三定律为桥梁，将相互作用的力联系起来解决问题.此法优势在于对系统中每个物体的受力情况比较清晰，能较好了解作用机理.相互作用力不多的情况下可以优先选用此法解题.

质点系的牛顿第二定律与加速度分解相结合分析中，质点系牛顿第二定律是牛顿第二定律在质点系统中的应用，研究质点系统所受外力时能更好地解决问题.此法优势在于不用考虑系统内部的物体之间的相互作用力，受力分析比较简洁，并且系统内部各个物体的加速度也不需要统一.在研究的问题中若存在多个物体时，可优先考虑质点系的牛顿第二定律解决问题.

惯性力与整体法相结合方法需要选择非惯性系，引入惯性力，能将非平衡问题转化成平衡问题，实现运动模型的简化，然后再根据平衡问题求解对应的物理量.但由于惯性力比较抽象，理解方面容易形成误区，所以在不熟练的情况下，不推荐使用此法解题.

4" 结束语

本文主要通过隔离分析、质点系的牛顿第二定律的应用、非惯性系下惯性力的使用三个常用方法对非平衡状态下斜面体受力问题进行分析讨论.处理方法不同，计算难度也不同，但不论什么方法，使用的情景很重要.只有在匹配运动情景的情况下才能找到最优解.所以在斜面体的动力学模型中，重视运动情景的分析，同时要对各种模型进行归类分析，这样才能找到更适合自己的解题模式.

参考文献：［1］ 曾小江.质点系牛顿第二定律的应用［J］.数理化学习（高中版），2020（6）：4.

［2］ 李长松.惯性力之浅谈［J］.华章，2013（32）：369.

［3］ 刘克哲，张承琚.物理学（第四版）上卷［M］.北京：高等教育出版社，2012：37.

［责任编辑：李" 璟］