Sprott-D不确定分数阶混沌系统的自适应滑模同步

摘要：基于非线性混沌系统滑模方法，根据分数阶稳定性理论和同步控制方法研究Sprott-D不确定分数阶系统的滑模控制与同步，并用MATLAB仿真程序对结果进行验证.结果表明，在一定的假设下，Sprott-D不确定分数阶混沌系统对应的主从系统可取得自适应滑模同步.关键词：分数阶；Sprott-D系统；滑模；同步

中图分类号：O482.4文献标志码：A文章编号：1671-5489（2024）05-1235-06

Adaptive Sliding Mode Synchronization of Sprott-D Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems

MAO Beixing'，LI Dekui²，WANG Dongxiao，WANG Jianjun

（1.School of Mathematics，Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China;2.School of Public Health，Gansu University of Chinese Medicine，Lanzhou 730000，China）

Abstract：Based on the sliding mode method of nonlinear chaotic systems，the sliding mode control and synchronization of Sprott-D uncertain fractional-order systems were studied according to the fractional-order stability theory and synchronous control method，and the results were verified by using MATLAB simulation program.The results show that the Sprott-D uncertain fractional-order chaotic systems corresponding to the master-slave systems can achieve adaptive sliding mode synchronization under certain assumptions.

Keywords：fractional-order;Sprott-Dsystem;slidingmode;synchronization

目前，混沌同步已引起人们广泛关注[.由于滑模控制具有良好的鲁棒性能，因此其响应速度较快、动态性能较好[3～]，随着分数阶微分建模方法的发展，分数阶系统的滑模控制研究已取得了较多成果[5-16]：如文献[10]研究了不确定分数阶混沌系统的自适应滑模同步，设计了自适应律和控制输入，使主从系统取得滑模同步；文献[11]研究了不确定分数阶混沌系统的异结构滑模同步，设计了分数阶滑模函数和控制器，获得驱动响应系统异结构滑模同步的充分条件；文献[12]通过滑动模态控制方法研究了分数阶混沌Duffling系统的终端滑模同步；文献[13-14]分别基于自适应规则的设计研究了分数阶混沌及多混沌系统的自适应滑模同步；文献[15-16]分别研究了分数阶不确定时滞金融混沌系统的滑模同步及分数阶Bao超混沌系统的比例积分滑模同步.由于Sprott混沌系统代表一大类非线性控制系统且应用广泛，因此已引起人们广泛关注：文献[17]研究了Sprott-I混沌系统的动力学分析；文献[18]研究了Sprott混沌系统的分析和控制；文献[19]研究了Sprott-O系统的延迟反馈控制；文献[20]研究了Sprott-D混沌系统的非线性H控制；文献[21]研究了非线性Sprott分数阶混沌系统的滑模同步.此外，系统的不确定性以及存在外部扰动，使系统的稳定性受损，且利用自适应滑模研究方法处理分数阶Sprott-D不确定混沌系统的自适应滑模同步问题目前文献报道较少.基于此，本文根据分数阶稳定性理论研究Sprott-D不确定分数阶系统的滑模控制与同步，得到主从系统取得滑模同步的充分条件，并用MATLAB数值仿真对结论进行验证.

1主要结果

定义1[22]Caputo分数阶导数定义为

分数阶Sprott-D混沌系统[21]为

当a=1.1，b=3，q=0.995，系统初始值（x1（0），x2（0），x3（0））=（-2，0.2，0.5），（y1（0），y2（0），y3（0）=（1，1，1）时，系统出现吸引子，如图1所示.

以式（1）为主系统，设计从系统为

其中△f（（t）为不确定项，（t）=（y1，y2，y3）T，d（t）为系统外部扰动，u（t）为控制输入，定义e1=y1-x1（i=1，2，3），得

假设1“△f（φ（t）”≤g，“d（t）”≤h，其中未知参数g，hgt;0.

假设2y1lt;0.

引理1若x（）为连纹可微函数，则有x（）xD）Va0

引理2设V（）=（（）+2（）.若存在常数kgt;0.使得DV（D≤-k（D）.则2（）≤2V（）（-2k）.即lim1（t）=0

定理1在假设1，2条件下，构造滑模面s（t）=e2-e1，控制量为

自适应律为

其中g，h分别为g，h的估计值，6gt;0，则主从系统（1）和（2）自适应滑模同步.

证明：当在滑模面上运动时，满足s=0，可得e1=e2，由式（3）第1个方程De1=-e2，得De2=-e2→e2→0.由De1=-e1→e1→0，根据式（3）第3个方程，得

由于by3bx3=b（y2+x2）e2，且混沌系统執迹有界，因此（by3-bx3）→0.式（6）可改写为

因e1→0，故式（7）变为De3=y1e3，由假设2，可得e3→0.

当不在滑模面上运动时构造V=+（g-+）根据引理1求分数阶导数可得

根据引理2可知，｜s（t）12≤2V（0）E（-2k），从而s（t）→0.

整数阶Sprott-D混沌系统[20]为

以式（8）为主系统，设计从系统为

其中△f（φ（t）为不确定项，φ（t）=（y1，y2，y3）T，d（t）为系统外部扰动，u（t）为控制输入，定义e1=y1-x1（i=1，2，3），得

引理3若函数（）0）上一致连纹并且存在广义分「。则有

定理2在假设1，2条件下，构造滑模面s（t）=e2-e1，控制量为式（4）.自适应律为

其中g，h分别为g，h的估计值，δgt;0，则主从系统（8）和（9）自适应滑模同步.

证明：当在滑模面上运动时，满足s=0，可得e1=e2，由式（10）第1个方程e1=-e2，得

根据式（10）第3个方程，得

由于by3-bx2=b（y2+x2）e2，且混沌系统迹有界，因此（y3-bx2）→0.式（12）可改写为

因e1→0，故式（13）变为e3=y1e3，由假设2，可得e3→0.

当不在滑模面上运动时，设计V=+g-g+）求分数阶导数可得

2MATLAB仿真

利用MATLAB仿真程序对上述两个定理中的系统误差进行数值仿真，选取系统参数a=1.1，b=3，q=0.995，8=2，（m（0），n（0）=（2，1.5）.分数阶Sprott-D混沌系统对应的主从系统的状态初始值为

不确定项和外部扰动为△f（φ（t）+d（t）=-0.1（cost）y2+0.1cost.

由定理1和定理2构造s（t）=e2-e1，控制量为式（4），定理1的自应律为式（5），定理2的自话应律为式（11）.定理1和定理2中的系统误差分别如图2和图3所示.

由图2和图3可见，误差随时间推移逐渐趋于一致并收敛到原点.定理1比定理2达到同步所需的时间更短，定理1中系统误差约在0.224s后快速趋于坐标原点，定理2中系统误差约在0.276s后逐渐趋于坐标原点.这是由于两个定理中虽然所设计的控制器和滑模函数相同，但定理1中采用了分数阶自适应控制律，从而优于整数阶自适应律.与传统滑模面相比，本文设计的滑模函数和控制器形式更简洁，因而控制代价小且更易实现.

针对分数阶非线性混沌系统一般均采用滑模鲁棒控制方法，本文借助分数阶微分性质和分数阶控制理论研究了Sprott-D分数阶不确定混沌系统的滑模同步，通过构造合适的滑模函数、控制输入和自适应律得到了分数阶Sprott-D混沌系统对应的驱动响应系统滑模同步的充分条件.

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（责任编辑：王健）