多层U形波纹管轴向刚度等效厚度模型研究

黄瀚林，周仕明，李道奎，彭少驹

（1.国防科技大学空天科学学院，长沙 410073；2.空天任务智能规划与仿真湖南省重点实验室，长沙 410073；3.中国人民解放军 77680部队，西藏 山南 856000）

0 引言

波纹管是用于补偿管路或设备因温差或温度波动造成的轴向、横向和角位移的管路元件，在航空航天、水力、电力、石化、船舶、供热网方面都有广泛的运用[1]。

波纹管主要有U形、V形、S形、Ω形等波形；按其层数划分可划分为单层波纹管（层数为1）和多层波纹管（层数不小于2）。波纹管轴向刚度是评价波纹管轴向位移补偿的重要指标，由于波纹管轴向刚度理论公式大多来源于力学模型的简化，与实际值存在一定误差，因此，结合有限元等数值方法和试验方法来修正波纹管轴向刚度理论公式，并提升计算效率，是波纹管轴向刚度研究的重要方向之一。

近年来，不少研究者针对波纹管轴向刚度有限元分析方面做了较多的研究工作。谈卓君等[1]提出了用单层等效厚度来计算波纹管的轴向刚度的思路，并以2层波纹管轴向刚度为例，验证了方法的可行性，但该文没有给出2层以上等效厚度的计算方法；万宏强等[2]基于U形波纹管轴向刚度经验公式进行了低温环境下的修正，并结合有限元和试验进行了验证；修筑等[3]根据曲杆模型推导了基于厚度变化的轴向刚度经验公式，并利用有限元和试验进行了验证；占丰朝等[4]基于有限元方法和试验对不等壁厚的U形波纹管轴向刚度进行了非线性分析；罗炳亮等[5]基于有限元方法发现了波纹管膨胀节强度及轴向刚度随加强件间隙值变化的规律；刘达列等[6]利用ANSYS软件的Matrix27刚度单元对金属波纹管进行模拟，通过建立简化有限元模型分析了金属波纹管的轴向刚度。这些研究在提升轴向刚度计算精度方面做了较多工作，但工程适用性存在不足，计算效率较低。

本文将U形波纹管简化为曲杆模型，推导了波峰、波谷半径不相等情况下的轴向刚度经验公式。波纹管轴向刚度有限元值经验证可与其试验值等价后，通过经验公式法与有限元方法计算多层波纹管结构的轴向刚度，分析两者误差规律，推导出了一种基于经验公式法的多层波纹管等效厚度计算方法，并在此基础上提出了一种基于等效厚度单层U形波纹管有限元模型进行多层U形波纹管轴向刚度分析的方法。

1 U形波纹管轴向刚度理论计算方法

1.1 U形波纹管轴向刚度表达式

波纹管的轴向刚度表达式为

1.2 基于曲杆模型波峰、波谷半径不同的单层U形波纹管轴向刚度经验公式推导

式中：K为波纹管的整体轴向刚度，N/mm；F为波纹管所受轴向力，N；e为波纹管轴向位移（包括拉伸和压缩位移），mm。

单层U形波纹管结构参数（如图1）有：Dw为波纹管外径，mm；Db为单层波纹管内径，mm；t为波纹管单层壁厚（成型后），mm；h为波高，mm；q为波距，mm；N为波峰数；r1为波峰曲率半径，mm；r2为波谷曲率半径，mm；Dm为波纹管平均直径，mm；a为波峰波谷连接直边长度，mm；E为设计温度下波纹管材料的弹性模量，MPa。

图1 波纹管参数对照图

进一步将半个波峰、半个波谷和连接直边简化为曲杆模型，边界条件为一端施加轴向力和弯矩，一端固支，如图2所示。实际的工程应用中大多采用该曲杆模型计算波纹管的轴向刚度，但对波峰波谷半径不同的情况研究较少。国际接受使用的EJMA[7]（美国膨胀节制造商协会标准，我国国标部分内容以此标准为基础）的轴向刚度计算公式，也是基于此模型建立并修正后得出的。

图2 波纹管半波曲杆模型

图3 波纹管有限元模型

此处利用截面法、能量法和卡氏第二定理，推导波峰、波谷半径不同的单层U形波纹管刚度经验公式[3]。

确定AB、BC和CD段的弯矩分别为：

系统应变能为

式中：M为AB、BC和CD段的弯矩，J为截面惯性矩，欧拉梁忽略剪切应变能。

由卡氏第二定理，将式（3）代入，可得位移A点的角位移为

即

联立式（6）与式（2）可求得

再次运用卡氏第二定理，分别将AB、BC和CD段的弯矩代入，则A点沿F方向位移为

可得

波纹管单个完整波峰（谷）的位移量为

根据式（1）定义，联立式（9）、式（10）可得波纹管单波轴向刚度为

又因为曲杆平均截面惯性矩为

式中，

则

联立式（11）、式（14）可得单波轴向刚度为

从而得到波纹管的整体轴向刚度为

2 多层U形波纹管轴向刚度计算模型

取一典型U形波纹管结构进行分析，其材料为钢，弹性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，密度为7800 kg/m3。波纹管外径Dw=31.2 mm，内径Db0=21.5 mm，单层壁厚（成型后）为t=0.2 mm，波高h=4.85 mm，波距q=4.4 mm。波纹管轴向未受力时，自由长度为34 mm。本文分析了波数N=8、层数n=1～6的U形波纹管轴向刚度。

2.1 多层U形波纹管轴向刚度有限元建模

基于ABAQUS有限元软件，参考文献[8]的建模方法，在保证计算精度的同时减少计算量，建模时采用轴对称模型；网格选择CAX4R单元（4节点双线性轴对称四边形缩减积分实体单元），该单元具有4个节点，每个节点具有2个自由度，即沿着X、Y方向的平动，并且具有模拟塑性、大变形、大应变、蠕变和应力强化等的能力，网格存在扭曲变形时，分析精度不会受到大的影响，在波峰和波谷位置进行网格加密；层间关系设置为接触，当波纹管层数为2～6时，波纹管各层之间接触设置为硬接触和有限滑移；边界条件为波纹管一端设置为固支，另一端加载沿轴向4 mm的拉伸位移，通过轴向力-轴向位移曲线获得不同层数波纹管的轴向刚度。对文献[8]建模方法进行复现，基于该方法进行有限元建模得到的轴向刚度与试验结果的平均误差仅为1.92%。因此，可以认为通过该建模方法所得到的轴向刚度为真实值，在缺乏可利用的试验数据时可将其作为修正经验公式的依据。

2.2 多层U形波纹管轴向刚度有限元数值与理论数值对比分析

通过有限元仿真计算，得到1～6层U形波纹管的轴向力-轴向位移曲线和轴向刚度数值分别如图4和表1所示。

表1 多层U形波纹管轴向刚度有限元数值 N/mm

图4 1至6层U形波纹管轴向力-轴向位移曲线

取t=td，利用式（16）可求得等效厚度td为

将上述U形波纹管结构参数和表1所得的2～6层U形波纹管轴向刚度数值代入式（17），经四舍五入后可得到2～6层U形波纹管轴向刚度等效厚度分别为结构参数中单层壁厚的1.3倍、1.5倍、1.7倍、1.8倍和2.0倍；其中，2层U形波纹管轴向刚度计算模型厚度也和文献[1]的等效厚度倍数一致。

2.3 等效厚度单层U形波纹管有限元模型验证

将2.2节所求的等效厚度代入单层U形波纹管有限元模型中，同时利用式（16）求解单层U形波纹管的轴向刚度，得到计算结果如表2所示。从表2中可看出，单层U形波纹管刚度理论值与有限元值误差为14.89%；6层时理论值与有限元值误差为10.67%，说明等效厚度计算公式不够准确。原因分析如下：一是为了简化惯性矩的计算，引入了平均直径Dm的概念，与实际截面的惯性矩存在差异。二是在轴向刚度公式推导过程中，忽略了厚度t的的影响。

表2 轴向刚度理论值与有限元数值对照表

进一步观察表2也可以发现，在不同的层数情况下，有限元值与理论值的比值在1.0～1.3之间波动，呈现一定的倍数关系。为此本文基于有限元计算值对等效厚度进行修正，并引入刚度修正系数λ[9]：

式中：λ1为有限元模拟刚度，λ2为公式计算刚度。

修正后的单层U形波纹管整体轴向刚度计算公式为

因此，可以在引入λ的基础上，引入单层壁厚倍数因子b（2.2节所求等效厚度td除以单层壁厚t所得的倍数）为

对包括表2数据在内td为t的0.75～2倍，不等间隔的11组b和λ进行多项式拟合，从而得到：

将2.2节所求倍数因子b，代入式（19）～式（21）联立求解，可得修正后轴向刚度理论值与有限元值对照结果，如表3所示。

表3 修正后轴向刚度理论值与有限元数值对照表

通过表3可以看出，与式（16）相比，基于有限元模型修正后的式（19）计算单层U形波纹管轴向刚度时，理论值与有限元值的误差由14.89%减小至0.02%；通过壁厚倍数关系求解2层以上U形波纹管轴向刚度时，理论值与有限元值的平均误差由13.48%减小至0.60%。

取t=td，式（19）经变化可得修正后的轴向刚度等效厚度为

将表1所得多层U形波纹管轴向刚度有限元数值和上述U形波纹管结构参数代入式（22）中可得，在相同轴向刚度情况下2～6层U形波纹管对应修正后的单层U形波纹管厚度分别为单层壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍。

3 算例验证

保持主要结构参数不变，令多层U形波纹管单层壁厚t为0.18 mm、0.21 mm和0.24 mm，将2.3节所计算的倍数关系分别代入式（19）和多层U形波纹管有限元模型，结果如表4～表6所示。

表4 轴向刚度理论值与多层U形波纹管轴向刚度有限元数值对照表（t=0.18 mm）

表5 轴向刚度理论值与多层U形波纹管轴向刚度有限元数值对照表（t=0.21 mm）

表6 轴向刚度理论值与多层U形波纹管轴向刚度有限元数值对照表（t=0.24 mm）

通过表4～表6三个算例的数据可以看出，将2.3节所得单层壁厚倍数关系，代入修正后的单层U形波纹管轴向刚度计算公式（19）中，可以较为精确地计算1～6层U形波纹管轴向刚度。理论值和有限元值拟合程度较好，如图5所示。

图5 算例理论值与有限元值对比图

可以认为，在主要结构参数相同情况下，上述壁厚倍数的单层U形波纹管可分别和2～6层的U形波纹管进行轴向刚度的精确等效，工程上可以通过建立轴向刚度-管壁厚度曲线[2]根据上述倍数对应的厚度快速获取多层U形波纹管轴向刚度值。经过进一步计算发现，多层波纹管单层壁厚为0～0.3 mm时，理论计算的结果与多层U形波纹管轴向刚度的误差均在10%以内，而壁厚大于0.3 mm时，同样可以依据该方法求解不同壁厚多层U形波纹管的等效厚度，但倍数因子将发生变化。

4 结论

1）提出了一种基于单层U波纹管有限元模型计算多层U形波纹管轴向刚度分析的方法。

2）修正了单层U形波纹管轴向刚度计算方法，与有限元法结果的拟合程度较高。

3）计算了主要结构参数相同时，当多层U形波纹管单层壁厚为0～0.3 mm时，2～6层U形波纹管对应的轴向刚度等效厚度分别为多层U形波纹管单层壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍时；此时，单层U形波纹管轴向刚度可以与对应的多层U形波纹管轴向刚度进行等效。

4）当多层U形波纹管单层壁厚大于0.3 mm时，同样可以基于本文方法求解轴向刚度等效厚度，但壁厚倍数因子将发生改变。