椭圆及其辅助圆的6个弦长命题

山东省泰安市宁阳县第一中学(271400) 刘才华

我们知道, 连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦, 通过椭圆焦点的弦叫作椭圆的焦点弦, 通过椭圆中心的弦叫作椭圆的中心弦.

定义1过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦叫作椭圆的通径. 易得椭圆的通径长为

图1

定义2以椭圆的长轴为直径的圆叫作椭圆的辅助圆.

对于椭圆及其辅助圆,通过研究,我们得到如下6 个与弦长相关的命题.

命题1如图1,圆Ω 为椭圆Γ 的辅助圆,AB为过椭圆Γ右焦点F的焦点弦,CD为过F的圆Ω 的弦,且AB ⊥CD,则|AB|·|CD|2=8ab2.

证 明(1) 当AB为 椭 圆Γ 的 长 轴 时,|CD|=则|AB|·|CD|2= 2a×4b2=8ab2.

(2) 当AB为椭圆Γ 的通径时,CD为椭圆的长轴, 由8ab2.

(3) 当AB不为椭圆Γ 的长轴且不为通径时, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB的方程为y=k(x-c), 将其与椭圆方程联立并消去y得(k2a2+b2)x2-2k2a2cx+k2a2c2-a2b2=0,则由椭圆的焦半径公式得

直线CD的方程为即x+ky-c= 0.圆心O到直线CD的距离为

则

综上得|AB|·|CD|2=8ab2.

命题2如图2,圆Ω 为椭圆Γ 的辅助圆,F为椭圆Γ 的右焦点,AB为椭圆Γ的中心弦,CD为过F的圆Ω 的弦, 且AB ⊥CD, 则|AB|·|CD|=4ab.

图2

证明(1) 当AB为椭圆Γ 的长轴时,|CD|=由|AB|= 2a得|AB|.|CD|= 2a×2b=4ab.

(2) 当AB为椭圆Γ 的短轴时,CD为椭圆的长轴, 由|CD|=2a得|AB|.|CD|=2b×2a=4ab.

(3) 当AB不为椭圆Γ 的长轴和短轴时, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB的方程为y=kx, 将其与椭圆方程联立并消去y得(k2a2+b2)x2-a2b2= 0,则从而

直线CD的方程为即x+ky-c= 0.圆心O到直线CD的距离为则

综上得|AB|.|CD|=4ab.

命题3如图3, 圆Ω为椭圆Γ 的辅助圆,AB为过椭圆Γ 右焦点F的焦点弦,过椭圆Γ 的右顶点P与直线AB平行的直线交椭圆Γ 于C, 交圆Ω 于Q, 则|AB|.|PQ|=2a|PC|.

图3

直线PQ的方程为y=k(x-a),圆心O到直线PQ的距离为故

所以|AB|.|PQ|=2a|PC|.

命题4如图4, 圆Ω为椭圆Γ 的辅助圆,AB为过椭圆Γ 右焦点F的焦点 弦, 直 线AB交 圆Ω 于C,D, 则a2+b2.

证明(1) 当AB为椭圆Γ 的通径时,由得

图4

(2) 当AB不为椭圆Γ 的通径时, 设直线AB的方程为y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2), 同命题1 的证明, 得|AB|=|AF|+|BF|=

直线CD的方程为y=k(x-c),即kx-y-kc= 0.圆心O到直线CD的距离为

则

命题5如图5, 圆Ω 为椭圆Γ 的辅助圆,F为椭圆Γ 的右焦点,AB为椭圆Γ 的中心弦, 过F与直线AB平行的直线交圆Ω 于C,D, 则

图5

证明(1) 当AB为椭圆Γ 的短轴时,由|AB|= 2b得

(2) 当AB不为椭圆Γ 的短轴时, 设直线AB的方程为y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2), 由命题2 的证明得直线CD的方程为y=k(x - c),由命题4 的证明得则

命题6如图6, 圆Ω为椭圆Γ 的辅助圆, 过Ω上任意一点P作椭圆Γ 的两条切线, 切点为A,B, 直线AB分别交x轴,y轴于点M,N,O为坐标原点, 则

图6

证明设P(acosθ,asinθ),θ ∈[0,2π),则直线AB的方程为得则

关于椭圆及其辅助圆应有许多优美的性质,读者可以进一步深入研究.