变式教学：让思维更活跃、更创新
——以“圆的外切三角形”复习课为例

■朱建良

变式教学指变换问题的结论与条件，抓住原问题的核心，对原题型进行改编，在条件、问题多样变化的情形下，对一个数学知识进行探究，揭示数学本质的不变性，从而引导学生全面深刻地理解问题。变式教学通过迁移问题情境，帮助学生避免僵化、肤浅地看待问题，更好地实现深度学习，让学生的思维更活跃、更创新，发展核心素养。现以“圆的外切三角形”复习课为例，笔者对变式教学的设计与思考。

一、提出问题，认识模型

笔者以“探究△ABC的内切圆⊙O的半径与△ABC面积之间的数量关系”为切入口，提出问题。

问题如图1，△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F，若⊙O的半径为r，记AB=c，BC=a，AC=b，试用a、b、c、r表示S△ABC。

图1

这样的问题起点低，易上手，探究思路也清晰。在问题解决过程中，教师可以多角度、多层次地引导学生展开数学联想，弄明白结论是从哪里来的，进而理解模型的结论特征，为后续引用这个结论去解决问题奠定基础。变式教学设计的问题要具有典型性，易于学生发现新问题并做进一步的探究与推广。

变式1如图2，△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的内切圆⊙O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F，若AD=3，BD=4，求SRt△ABC。

图2

变式2 如图3，△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC的内切圆⊙O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F，若AD=m，BD=n，请用m、n表示SRt△ABC。

图3

变式1 中，S△ABC为12；变式2 中，S△ABC=mn。解析略。由问题到变式1 和变式2，相同的问题情境，不同的研究视角。合理运用三角形内切圆的性质、勾股定理，揭示出求解直角三角形面积的一般方法。深入挖掘，把简单刻板的解题教学融合在多姿多彩的新问题情境中，能有效提高学生的学习积极性，化抽象为具体，化乏味为兴趣，使学生深度思考，加强对问题的理解。

二、迁移方法，巧妙构造

教师要引导学生读懂直角三角形面积求解的几何模型，在理解直角三角形面积公式S△ABC=mn的基础上，理解直角三角形内切圆半径与此三角形三边之间的内在联系，随后迁移方法至新问题中，以促进学生思维的深度发展，培养学生深度学习的能力。

变式3如图4，△ABC的内切圆⊙O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F，若AD=m，BD=n，AC·BC=2mn，求证：∠C=90°。

图4

变式4如图5，△ABC中，∠C=60°，△ABC的内切圆⊙O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F，若AD=m，BD=n，试用m、n表示S△ABC。

图5

从变式3 的直角三角形，到变式4 的锐角三角形，深度探究利用勾股定理构造Rt△ABC的一般方法，引导学生体验数学理解是一个动态过程。添加垂线段AG是认知结构和知识意义的建构过程，运用演绎推理，探究研究内容与基本方法之间存在的内在关系，从而帮助学生全面深刻理解基本模型的本质特征以及各知识之间的联系。

三、方法贯通，拓展思维

变式问题把呈现的知识与方法融会贯通，通过变换问题情境，设计二维空间中的动态问题，引发学生多角度思考。这是数学深度学习的一个表征，也可直接作用于批判性思维的经验阐释。循序渐进的思维爬坡将升华为学生进一步的分析、评价、推论和解释。

变式5如图6，△AOB中，∠AOB=90°，Rt△AOB的内切圆⊙I分别与OA、OB、AB相切于点E、F、P，AB=10，点A在Oy上滑动，点B随线段AB在射线Ox上滑动（A、B与O不重合）。

图6

（1）Rt△AOB周长、⊙I半径、△AOB的外接圆半径，这几个量中不会发生变化的量是哪个？

（2）当AE=4时，求⊙I的半径；

（3）若Rt△AOB面积为S，AE=x，求S与x之间的函数关系，并求出S最大时，OA的长。

变式5在平面直角坐标系中生成问题，有效整合了三角形周长、面积与它的内切圆半径之间的内在联系。通过位置的变化，探究这几个变量之间的数量，学生的数学思维在知识的交汇处碰撞，进一步拓宽了分析空间问题的能力，提升了思维水平和思维层次。

综上，本节课教学从一个最基本的几何模型出发，引导学生在变式中认识数学知识的本质和规律，最终指向学生的思维方式和思维品质。教学变式中的“变”始终以学生的深入思考为主体，模型研究促进了学生深度学习，成就了精致的教学设计，有效地提升了数学思维的灵活性、发散性和深刻性，培养了学生的探索能力和创新意识。