活用数学表征，提高小学生问题解决能力的实践研究

摘 要：文章以分析江苏省苏州市吴江区黎里小学在中低年级数学教学中培养学生问题解决能力的现状为出发点，简要阐述了数学表征在助力学生解决问题方面的作用，分析在教学中培养学生灵活表征，使其顺利解决数学问题的策略。

关键词：小学；数学表征；问题解决能力

作者简介：顾亚金（1990—），女，江苏省苏州市吴江区黎里小学。

数学教学的核心就是培养学生解决问题的能力，规范合理地进行数学表征有助于学生找到解决问题的路径。而学生的数学表征水平能直接影响其解决问题的效率。如何帮助学生积累数学表征经验，助力其问题解决能力的提升值得一线教师思索。

一、解析：学生问题解决能力的培养现状

（一）学生只学其形，不得其理

笔者在实际教学中发现，部分学生在学会解一道题后，再遇到变式题，或隔一段时间再遇到同一类题目，仍旧会出错。究其原因，是这些学生在学习解题时只是机械地模仿教师的解题步骤，并未理解每一步背后的道理，因此，当同样的题目换了一个“壳子”后，学生就不能通过表征剥离其外壳，理解本质，导致学习效果不理想。数学题虽千变万化，然而变的是形，不变的是理，学生只有知形达理，方能做到融会贯通。

（二）教师追求速度，教法单一

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，教师应重视课程内容的结构化，加强学习内容之间的关联，帮助学生构建完整的知识结构，使其可以更好地理解与迁移知识。笔者所在的学校是一所乡镇小学，部分教师教育理念滞后，在教学生解决实际问题时单纯追求速度和正确率，往往遇一题讲一题，未能帮助学生理清题目所涉及的已学概念、数量关系，导致学生无法将知识前后串联起来。在这样的教学模式下，学生所学的知识比较零散，不成体系，在遇到新问题时，学生就难以将其表征为已有的知识经验，从而导致解题困难。

（三）教学未联系生活，学生理解困难

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，在培养学生解决数学问题时，教师应注重将教学与学生的实际生活联系起来，使学生能用习得的数学知识去解决实际生活中的问题。这对学生在数学表征方面提出了更高的要求。学生能否顺利将生活中的问题表征为数学问题直接影响其解题的正确率。但是部分教师缺乏生活化教学的意识，未能创设有效的生活化情境，降低学生理解数学知识的难度，导致学生学用结合的能力比较低。

二、认识：数学表征教学的价值

表征是对信息的内化理解，笔者在本文中提到的数学表征主要是指学生在解决具体的数学问题时，能够灵活运用一种或多种表征方式，明晰问题中涉及的概念，理解题目中的关键信息，抓住内隐的数量关系，从而正确分析问题，确定解题思路。培养学生的数学表征能力的目标是使学生能够根据具体的问题情境，灵活采用表征方式，自主表征问题，将复杂的、新学的问题表征为简单的、已有的知识经验，从而化繁为简，变未知为已知，顺利解决问题，提升解题能力［1］。

（一）帮助学生理解数学信息

正确表征题干信息是解决问题的前提。适宜地进行数学表征能够帮助学生自主审题，正确理解题干中的信息并将其转化为数学知识，为正确解题做好准备。

一年级数学问题多采用图形的方式呈现，学生若不能正确表征图形中蕴含的信息，理清题中的条件便无法顺利解决问题。例如，有这样一道易错题：画面左边画了2个苹果，右边有个带问号的盒子，画面下标了括线，括线下标了个数字“7”。对于这个问题，学生出现的典型错误有两种：第一种是进行片面表征，看到括线就以为是求和问题，直接列算式7+2=9；第二种是进行混乱表征，即明白右边盒子里有5个苹果，但不能分清题中的已知条件和所求问题，列出算式2+5=7。这两种错误都表明，学生在表征问题时出现了错误。教师在教学时可以引导学生进行语言表征，创设问题情境：原来有7个苹果，拿走了2个，盒子里还剩几个苹果？这样表征可以将图形转译为学生熟悉的文字，学生便可以有效解决问题了。

（二）帮助学生明晰数量关系

数量关系是列式解题的基础。恰当地进行数学表征能够帮助中低年级学生明晰题干中涉及的数量关系式，这不仅能够帮助学生确定当前问题的解题思路，还能为他们进入高年级后解决复杂的问题打好基础。

部分教师会教授学生解题技巧：看到“一共”用加法，遇到“还剩”用减法，“飞来”“拿来”表示增加，“飞走”“去掉”表示减少。这些技巧在一定程度上能提高学生做题的正确率，但题目的灵活性提高后，学生就难以利用这些技巧来解题了。例如，有一道题目如下：树上原来有6只小鸟，第一次飞走了2只，第二次飞走了3只，一共飞走了多少只？学生在解题时容易出现两类错误：一类是看到“飞走”，认为应该用减法；另一类是看到“一共”，觉得应该用加法。出现这两类错误均是由于学生没有明晰题中的数量关系。教师在教学时可以采用操作表征的方法：用6根小棒代替小鸟，第一次拿走2只，第二次拿走3只。借助这样的直观操作，学生就能快速得出答案，继而在直观操作的基础上反推出此题的数量关系式。

低年级数学教学重在帮助学生理解、积累相应的数量关系式，而非一味要求学生规范、严谨地进行表述。教师只有帮助学生筑牢基础、积累经验，才能让他们在高年级时灵活运用知识，正确解题。

（三）帮助学生建构数学模型

数学表征能够帮助学生剥去实际问题的“华丽外壳”，露出问题的本质，使学生理解不同题目之间的相同本质，将其统整为一类问题，建构相应的数学模型。

例如：“鸡有8只，鹅有2只，鸡比鹅多几只？”“黄丝带长5米，红丝带长3米，红丝带比黄丝带短多少？”“哥哥今年7岁，弟弟今年4岁，哥哥比弟弟大几岁？”……这些问题看似不同，但教师借助表征明晰其中的数量关系后，就能让学生明白它们都属于“两数相差多少”的问题。教师在教学生解决这一类问题时不能局限于让学生正確列式解答，而应引导其分析过程，进行多元表征，帮助学生建构“两数相差多少”问题的数学模型，总结这一类问题的解决方法，提升学生的问题解决能力。

三、实践：培养学生灵活表征能力的教学策略探索

（一）日常教学重积累

数学表征方式不唯一，按抽象程度可以分为直观表征和抽象表征。小学阶段常见的有语言表征、操作表征、图形图表表征、图式表征、符号表征等。培养学生的表征能力不是一蹴而就的，教师需要强化多元表征教学，以帮助学生积累表征方法，培养学生合理表征具体问题的能力，提升学生的表征水平。

1.新授课：多元表征助理解

针对学生数学表征能力的培养，教师可以在常规新授课中进行。例如，在教学二年级上册“认识线段”这一课时，教师可以设计如下环节帮助学生掌握概念：动手拉毛线（操作表征）—由毛线抽象出线段图形（图形表征）—说线段特征（语言表征）—找生活中的线段（操作表征、语言表征）—折线段、比线段（操作表征、语言表征）。这些环节既能帮助学生正确、全面地理解線段的概念，还能让学生经历操作表征、图形表征、语言表征的过程，丰富学生的表征经验。

2.习题课：一题多解散思维

在习题课的教学中，教师应关注学生思维的培养。以这样一道题为例：围棋盘有四条边，在每条边上放5颗棋子，最少要放几颗？学生在解决这道题时容易直接列式4×5=20来解决问题。如果教师能够引导学生进行图形表征，画简图表示棋盘和棋子的摆放，再让学生解题，不同的学生便会有不同的想法：有的学生直接数出棋子数；有的学生通过圈画看成每条边上有4颗棋子，共有4组，可列式4×4=16；有的学生先不看四个角上的棋子，看成每条边上有3颗棋子，共有4组，最后再加上四个角上的4颗棋子，便可列式为3×4＋4＝16；有学生借助图形发现算式4×5=20相当于多算了角上的4颗，需要减去，修正算式为4×5-4=16。可见采取图形表征将题意直观且正确地进行呈现后，学生个人的内部抽象表征仍旧各不相同。因此，教师在习题课上应为学生留出充足的时间，使其各抒己见，对题目进行表征。这一过程一方面利于教师随时了解学生的思维情况，以适时进行纠正；另一方面有利于学生进行思维碰撞，积累经验。

（二）不同学生有差异

学生的个体差异是客观存在的，培养学生的解题能力不能“一刀切”，对不同思维层次的学生，教师应进行差异化对待。不同年龄层次的学生对同一类问题表征不同，教师应该进行有针对性的教学设计。

1.同级生：允许慢一步

受身心发展、学习习惯等因素的影响，同一年龄层次的学生思维发展水平出会有所不同。这要求教师在授课时慢下来，对同一问题进行多元表征，由直观表征逐步过渡到抽象表征，揭示问题的本质。这一过程能够让不同思维层次的学生以适合自己的表征方式解决问题。在进行个别辅导，特别是对后进生进行辅导时，教师不能要求过高，可以采用较直观的表征方式，如操作表征、图形表征，助力学生直观理解题目，允许后进生在表征上慢一步。这样既有利于帮助后进生打好基础，又可以提升后进生学好数学的信心。例如，一年级学生常遇到这样的排队问题：我的前面有4个人，我的后面有2个人，这条队伍一共有多少人？对此，思维水平较高的学生可以直接进行抽象表征，得出答案4+2+1=7；但是思维水平较低的学生单凭想象无法理解为什么还要加1人。对此，教师应放慢脚步，首先采用操作表征的方式让学生排一排、站一站，然后用图形表征的方式，用黑白小圆圈代替人，画一画，最后进行抽象表征。学生打好了基础，再遇到此类问题就能抽象出数学模型了。

2.异级生：需要迈一步

苏教版数学课本的一个编排特点是知识呈螺旋上升，这意味着本质相同的问题在不同年级可能会反复出现。但本质相同的问题在不同年级的呈现方式是不同的，这要求学生的数学表征水平要逐步提高。例如，在二年级，学生刚学乘法时，会遇到这样的乘法问题—每堆有3根胡萝卜，有2堆，一共有多少根？教材多配有图形，教师在教学时也会引导学生进行图形表征，让其画一画，使学生理解问题的本质，即求2个3相加的和可用乘法计算。随着年级升高，学生还是会遇到这样的问题：新学期，学校要给三年级5个班更换桌椅，每个班有42人，一共需要多少套新桌椅？对于这样的问题，教师若采用图形表征，让学生画一画显然不合适，此时，教师应引导学生往前迈一步，利用所积累的数学模型，直接进行抽象表征：求几个相同的数的和用乘法表示［2］。

（三）具体问题活转译

1.化难为易，寻思路

问题的呈现方式不同，解题的难度也不同。教师要培养学生灵活进行数学表征的能力，使其可以将不熟悉的、难以解决的问题转译为熟悉的、容易找到突破口的问题。例如：果园里种了3行桃树和4行梨树，桃树每行有5棵，梨树每行有7棵，桃树比梨树多了几棵？这一实际问题的条件较多，对于小学生而言，文字表征显得混乱，教师可以引导学生列个简易表格，将该问题转译为图表进行表征，如此，学生就能更快地厘清思路了。再如，小红有8盒巧克力，小红给小丽2盒后两人同样多，小丽原来有几盒巧克力？这一实际问题对小学生的思维要求比较高，教师可以引导学生画一画，将其转译为图形进行表征，使学生理解其中的数量关系。针对具体问题，灵活选用数学表征方式，化难为易，能更好地帮助学生获得解题思路。

2.由繁转优，提能力

学生对同一题进行不同的表征后，其解题思路也有所差别，出现一题多解，而比较得出最优解可以提高学生的解题速度，发展学生的数学思维能力。例如：国庆期间要在马路的一侧挂上彩旗，第一面是红旗，第二面是黄旗，第三面是蓝旗，第四面是红旗，第五面是黄旗，第六面是蓝旗……照这样挂下去，第10面彩旗是什么颜色的？第30面呢？若要解决这一问题，学生可以通过去挂一挂（操作表征），或画一画（图形表征）寻求答案，但这样的解题方式都比较烦琐，学生若能够发现问题的本质，可采用算式进行表征：10÷3=3（组）……1（面），30÷3=10（组）。如此，学生便能更快更简洁地解题，逐步提升自己的解题能力。

结语

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课程教学应以发展学生运用数学知识与方法，发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”）为主。问题解决能力作为“四能”之一，具有十分重要的作用，而数学表征作为解决问题的重要策略值得教师重视。教师在教学中应注重培养学生的表征能力，发展其思维，助力其问题解决能力的提升。

［参考文献］

［1］唐静芳.个性化“草图”表征在小学数学教学中的价值初探［J］.新课程研究，2021（19）：44-46.

［2］姜湘君.巧用数学表征 促进问题解决［J］.江苏教育，2021（18）：75-76.