明确递推式的特点，求数列的通项公式

欧阳品林

有些递推数列的通项公式问题较为复杂，仅仅根据等差、等比数列的通项公式，很难求得数列的通项公式，此时需仔细观察数列的递推式，明晰其特点，根据其形式选用合适的方法进行求解.笔者对其中三类递推数列通项公式问题及其解法进行了总结，下面结合实例进行探讨.

类型一：an + 1 = Aan + f （n）（A ≠ 0） 型递推式

此类型递推式的前一项可以写成后一项的倍数与项数的函数的和的形式.在求其通项公式时，需在等式的两边同时除以 An + 1 ，得 an + 1 An + 1 = an An + f （n） An + 1. 求得此数列第1项到第 n 项的和，就能得到 an 的表达式.

例1

解：

当遇到 an + 1 = Aan + f （n）（A ≠ 0） 型的递推式时，需首先想到将前一项和后一项的系数化为相同的.对于本题，只需等式两边同时除以 3n + 1 ，即可通过累加，求得数列的通项公式.

类型二：an + 1 = f （n）an 型递推式

此类型递推式的前一项可以写成后一项与项数的函数的积的形式.对于此类递推数列问题，需采用累乘法求解，即先将递推式变形为 f （n）= an + 1 an ；然后将第 1 项到第 n 项的积相乘，即 an = a1 ? a2 a1 ? a3 a2 ??? an an - 1 = f （1）? f （2）???f （n - 1）.

例2

解：

当遇到形如 an + 1 = f （n）an 的递推数列问题时，就应该想到将数列表示成前、后项的商的形式，然后通过累乘，求得数列的通项公式.

类型三：an + 1 = Aan + B Can + D 型递推式

此类型递推式的前一项可以写成关于后一项的分式.此时递推式对应的特征方程为 f （x）= Ax + B Cx + D. 当特征方程 f （x）= x 有两个解 x1，x2 时，数列 { } an - x1 an - x2 为等比数列；当方程 f （x）= x 只有一个解 x0 时，则数列 { } 1 an - x0 是等差数列.根据等差、等比数列的通项公式进行求解，即可解题.

例3

解：

根据该递推式的特点可知其特征方程 f （x）= x 有两个解，于是根据其特征方程进行求解，构造出等比数列{ } an - 2 an + 1 .

例4

解：

对于这类型递推式，需首先研究其特征方程；然后通过解方程求得方程的解，以构造等差数列，便可根据等差数列的通项公式进行求解.

在解題时，我们要重点研究已知递推式的特点、结构，辨别其类型，合理利用总结出来的规律和方法，来求出其通项公式，那么在面对一些比较复杂的递推数列问题时，就不会手忙脚乱了.