永磁悬浮支撑的刚性圆柱振子流致振动幅频特性分析

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2021-1025 文章编号：0254-0096（2023）02-0210-08

摘 要：将永磁悬浮支撑与流致振动潮流能转换装置相结合，探索永磁悬浮支撑结构作为弹簧在流致振动潮流能发电领域的应用可行性。为了对比永磁弹簧与金属弹簧所提供恢复力对刚性圆柱振子流致振动的影响，通过ANSYS Maxwell软件计算得到永磁弹簧的磁力，拟合出永磁弹簧的弹性恢复力曲线方程，将弹性恢复力曲线方程代入Star-CCM+计算出刚性圆柱振子在不同流速下的幅频特性，然后将计算结果与金属弹簧系统进行比较。结果显示永磁弹簧支撑振子流致振动幅频特性与金属弹簧的相似，在上端分支能达到最大振幅比，频率随着流速增加总体呈增加趋势。但在计算流速区间内，永磁弹簧支撑振子的振幅比与频率都比金属弹簧支撑振子大，振动性能更优。

关键词：潮流能；永磁弹簧；流致振动；恢复力；幅频特性

中图分类号：TM619；TK79 文献标志码：A

0 引 言

流致振动是一种广泛存在于各类工程中的流固耦合现象，其发生原理是流体在流过结构时与结构相互作用，引发结构往复运动。随着新能源技术的逐步发展，利用流致振动原理将水流的动能通过圆柱振子转化为装置运动的机械能来获取潮流能成为当前绿色能源发展的一个热点［1-2］。Bernitsas等［3］设计制造了流致振动低流速海流发电装置。此后国内外研究人员对流致振动发电进行了大量研究，孙飞［4］通过建立流致振动方程，求得振动的频率与振幅，根据已有经验公式，结合实验数据，建立了预测模型，推动了流致振动理论计算的发展。罗竹梅［5］进行海流能发电设备的水动力特性及能量获取研究。练继建等［6］推导了流致振动发电效率理论方程，提出最优发电效率分析法。白旭等应用一种三维尾迹振子模型针对细长圆柱的流致振动响应进行预报分析［7］，并在此基础上提出一种基于流致振动的立管能量收集装置［8］，计算了不同质量比阻尼比情况下的圆柱振子捕能效率，估算出捕能效率上限。

当前针对圆柱振子流致振动潮流能转换装置的研究多是基于金属弹簧的，不同刚度的弹簧最佳适应的流速不同，当流速发生变化时，振子往往很难达到最大功率，于是提出永磁悬浮支撑的刚性圆柱振子流致振动装置［9］。永磁悬浮支撑的刚性圆柱振子流致振动装置是一种以永磁力为支撑的非接触支撑技术，与金属弹簧比较，永磁悬浮支撑的流致振动装置无机械接触，刚度是非线性的，可通过调节磁体来最佳适应更宽范围的流速，使振子的效率大大提升。

Mackowski等［10］对非线性弹簧支撑的振子的流致振动进行研究，提出流体动力学反馈技术，能对非线性刚度振子的流致振动振幅进行预测。Mann等［11］提出基于磁悬浮的非线性振动能量采集系统，在特氟龙管首尾两端固定上磁体并在中间放入一个磁体，中间磁体在斥力作用下悬浮起来，在特氟龙管周围绕制线圈，中间磁体上下运动在线圈中产生感应电动势。Masoumi等［12］针对利用磁悬浮排斥式的波浪能收集装置开展研究，构建了振动系统的Duffing方程，通过改变外激力作用的情况下研究系统的振动幅值、频率等响应，采取法拉利定律估算了系统的输出电压和频率。刘雷等［13］提出基于抗磁的磁悬浮振动能量采集构想，一个悬浮磁体和两个抗磁线圈，悬浮磁体位于两个抗磁线圈之间，当悬浮磁体上下运动时在上下线圈产生感应电动势。杨晓光等［14］提出一种新的电磁能量采集系统，建立一个轴向磁化环形永久磁体弹簧数学模型，得到磁体关于位移的特征曲线，利用有限元数值模拟磁力特征值曲线、基础频率内外的线圈输出电压波形和磁强分布。

本文结合非线性流致振动研究与磁悬浮技术，设计永磁悬浮支撑的刚性圆柱振子振动潮流能转换装置，构建永磁弹簧模型，计算出弹性恢复力曲线，将弹性恢复力曲线方程拟合成函数代入到Star-CCM+中，计算了不同流速下永磁悬浮支撑的刚性圆柱振子流致振动的振幅比与频率，并对其数值计算结果与金属弹簧系统的振幅比与频率进行比较。

1 永磁悬浮支撑流致振动装置结构及工作原理

永磁悬浮的刚性圆柱振子流致振动潮流能转换装置原理图如图1，中间的刚性圆柱振子是流致振动能量采集器。流体作用在刚性圆柱振子上使得振子在导轨上产生运动，当振子运动到靠近导轨两端时，振子端部的磁体与导轨上的磁体产生较强斥力作用，促使振子运动方向改变，形成往复运动。振子在运动过程中，主要受到流体惯性力、升力、弹性恢复力以及导轨阻尼力作用。其受力模型如图2所示，其中U为水流的来流速度，a为振子运动的加速度，v为振子运动的速度，Fspr为永磁体弹簧弹力，Ffluid为流体力，Fdam为阻力。

2 永磁悬浮支撑流致振动装置磁力分析

永磁悬浮支撑的流致振动装置是用永磁体对振子起到永磁弹簧的作用。3块永磁体利用同性相斥原理构成磁悬浮系统，起到相当金属弹簧的作用，可称为永磁弹簧（如图3）。中间永磁体的极性与两端永磁体的极性相反，当中间的永磁体靠近两端时，永磁体间斥力逐渐增大，促使中间永磁体恢复到平衡位置。

永磁弹簧主要提供给振子弹性恢复力，即磁体间的斥力。对磁力进行分析求解，首先计算出磁路中的气隙磁导[Gg]与磁体自身磁导[G，Ga]的倒数为两者倒数之和，得出磁导[Ga]。其次，计算磁通[φg]，引入漏磁系数[σ]与磁阻系数[f]，利用磁体最佳工作点退磁曲线求出[Bm、Hm]之间的函数关系，然后求出[Bm/Hm]表达式，继而得出磁通[φg]的表达式。最后，将气隙磁能[Wθ]对距离[y]求偏导，得出磁力[Fmag]的数学模型［15］。

式中：Fmag——磁力，N；φg——气隙磁通量，Wb；Gg——气隙磁导，H；G——磁体磁导，H；Br——磁体剩磁，T；Hc——磁体矫顽力，A/m；Ym——永磁体在充磁方向上的长度，m；Sm——磁体磁极面积，m2。

文献［16］计算了长宽为60 mm×30 mm、厚度取6 mm、间隔10 mm的阵列永磁体与长×宽×高=100 mm×100 mm×10 mm的长方体永磁体，磁体选择钕铁硼N35，其参数如表1所示，气隙分别取8～150 mm，得到的仿真结果与文献［16］的结果比较如图4所示。

图4比较了文献［16］结果与模拟结果，误差最大为2.1%，属于合理范围，说明本文模型参数设置是合理的。在这此基础上建立永磁弹簧模型如图5所示，中间永磁体的运动行程为（-145 mm，145 mm），3块永磁体的大小与形状一致，磁化方向相同且处于同一竖直直线上。共4种规格的永磁弹簧，参数如表2所示。

根据仿真结果得到力与位移的关系，使用最小二乘法进行函数拟合得到永磁弹簧的磁力与位移的函数关系如图6所示。将求得的永磁弹簧函数关系对中间永磁体位移求导得到永磁弹簧的刚度图，从图7可看出永磁弹簧的刚度是非线性的，并随着位移靠近端部，永磁弹簧的刚度值迅速增加。

文献［17］中计算了质量比在1.1～2.1范围圆柱振子的最大振幅比接近1，本文选取的质量比为1.340，永磁弹簧的刚度范围只需要取[-0.1～0.1] m。在这个范围内的永磁弹簧弹性恢复力与刚度如图8、图9所示，永磁弹簧1～4恢复力的最大值分别为98、159、209、231 N。永磁弹簧的恢复力最大值是金属弹簧刚度取值的依据，其刚度曲线是后面文中做对比的非线性弹簧设置的依据。

永磁弹簧1、2、3、4的等效刚度值分别为767、1088、1359、1642 N/m，永磁弹簧2、3、4的等效刚度分别为、1359、1642 N/m。永磁弹簧1的中间有一段的磁力很小，几乎为0，永磁弹簧4的等效刚度较大。综合考虑弹性恢复力与等效刚度的情况，本文选择永磁弹簧2和3进行计算。

3 永磁悬浮支撑刚性圆柱振子流致振动幅频特性分析

3.1 刚性圆柱振子流致振动受力分析

在流致振动模拟过程中，刚性圆柱振子在竖直方向受到永磁弹簧的弹力[Fspr、]流体力[Ffluid、]阻力[Fdamp]如图10所示。根据达朗贝尔原理，可得出式（2）：

整理得：

式中：[mosc]——振动系统总质量，kg；[ma]——振子的附加质量，kg；[cfluid]——流体附加阻尼，[N∙s/m]；[cstructure]——振动结构的总阻尼，[N∙s/m]；[ρ]——水的密度，kg/m3；[U]——水流的来流速度，m/s；[Γ]——离散点涡强度，m3/s；[fst]——圆柱在斯特劳哈尔规律下的泄涡频率，Hz。

3.2 刚性圆柱振子流致振动计算模型与网格验证

3.2.1 计算域与边界条件

整体采用柱形计算域，如图11所示，计算域上下边界为自由滑移壁面（free slip wall），计算域的前后边界为对称边界（symmetry），计算域入口采用速度进口（velocity inlet），计算域出口为压力出口（pressure outlet），圆柱表面是无滑移壁面（no slip wall）。

3.2.2 网格可行性验证

本文在计算时外围流场采用单层网格，圆柱的运动区域进行网格加密，圆柱周围增加重叠网格，这样在增加计算精度的同时大大节省了计算时间。

为验证网格的有效性，对比时间步[Δt]=0.001、雷诺数[Re=3900]条件下5种不同网格的单圆柱的圆柱绕流情况，如表3所示。从表4中可看出，圆柱周围节点数为180的网格密度下计算的阻力系数、斯特劳哈尔数与文献［18］数值结果以及文献［19］实验结果最相近，所以最终确定圆柱周围网格节点数量为180。

3.2.3 永磁弹簧恢复力收敛验证

在文献［17］中分别对质量比为1.007、1.340、1.685、1.890这4种情况的振子进行实验，发现随着质量比的增加，振子的最大捕能效率会增加，但有效捕能流速范围会减小，当质量比与阻尼系数的乘积为0.24时的效率值最大。本文计算的流速区间为0.4～1.0 m/s，质量比为1.340的模型在此流速区间的振幅与频率响应较好，所以本文选择质量比为1.340、直径[D=0.0889] m、长度为[l=0.9144] m的振子进行计算。由于永磁弹簧磁力较复杂，所以本文未考虑加入阻尼力。将拟合出的弹性恢复力曲线方程代入Star-CCM+模型中利用重叠网格技术［20］进行流固耦合计算。为保证计算精度，整个模型取[πd]长度［21］，磁力也等比例缩小，缩小的系数为3.58。

由于本文在模型中引入非线性永磁弹簧，所以对计算模型进行恢复力收敛验证，在振子初始速度为2 m/s，水流速度为0 m/s的情况下，振子做自由衰减运动，最终停止在磁力0点处，运动轨迹如图12所示。

3.3 永磁悬浮支撑刚性圆柱振子流致振动的振幅与频率分析

计算的流速区间为0.4～1.0 m/s，永磁悬浮支撑振子的振幅比与频率的变化情况如图13和图14所示。

由图13可看出永磁弹簧2和3的振子的响应均为3个分支，流速小于0.5 m/s时是初始分支，振子的振幅比随流速增加而增加；上端分支为0.5～0.7 m/s，在这个范围内，振子与水流共振，达到最大振幅；当流速大于0.7 m/s时，振子振幅比随着流速增加而减小，处于下端分支。在计算流速区间内，永磁弹簧3的振幅比略大于永磁弹簧2的振幅比，说明振子的振幅比随着刚度的增加而增加。

由图14可看出频率随着流速增加而增加，在整个流速区间内，永磁弹簧3的频率几乎都大于永磁弹簧2的频率，这说明刚度对振子的振动频率起到正向促进作用。

4 永磁弹簧与金属弹簧的刚性圆柱振子流致振动幅频特性对比分析

根据磁力与位移关系可看出弹簧的刚度是非线性变化的，根据第2节给出的永磁弹簧等效刚度，选择金属弹簧刚度[K1=600]N/m、[K2=800]N/m、[K3=1000]N/m、[K4=1200] N/m、[K5=1400] N/m这5种弹簧在不同流速下的振幅比与频率，将其计算结果与永磁悬浮支撑振子的计算结果进行比较，如图15、图16所示。

根据图15可看出永磁弹簧振子与金属弹簧振子的振幅比随着流速增加先增加再减小，自锁区间在0.5～0.7 m/s范围内。

永磁弹簧支撑刚性圆柱振子的起振流速比金属弹簧振子要小，能够更早达到上端分支，上端分支的范围也大于线性振子的上端分支，在下端分支的振幅比也大于金属弹簧振子。永磁弹簧振子在整个流速区间内的平均振幅比分别为0.63和0.67，永磁悬浮支撑振子的适应流速比金属弹簧振子更广。

根据图16可看出随着流速增加，永磁弹簧支撑振子与金属弹簧振子的流致振动频率总体呈上升趋势，永磁弹簧的刚度随着振幅的增加而增加，在获取相同能量的情况下，永磁弹簧的初始刚度较小，振子受到恢复力小于金属弹簧的恢复力，振幅大于金属弹簧振子的振幅，受到的弹性恢复力也大，振子从永磁弹簧中获取更多的弹性势能，从而转换更多的振子动能，所以永磁弹簧振子的频率大于金属弹簧振子。

5 结 论

本文主要讨论永磁悬浮支撑结构与潮流能转换装置结合形成的刚性圆柱振子流致振动发电装置，计算永磁悬浮支撑的刚性圆柱振子流致振动在0.4～1.0 m/s流速下的幅频特性，并选取永磁弹簧等效刚度600～1400 N/m范围内的5种金属弹簧对相同参数振子进行计算比较，得到以下主要结论：

1）在振子起振阶段，振子的起振流速由振子受到弹簧的刚度决定，刚度越大，振子起振所需的流速越高，永磁弹簧的刚度是非线性的，在低振幅比情况下的刚度更小，所以起振流速比金属弹簧低。

2）永磁弹簧振子与金属弹簧振子的振幅比随着流速的增加，也分为初始分支、上端分支与下端分支，永磁弹簧只会改变振子的振幅比与频率，不会改变振子的振动特性，永磁悬浮支撑振子的自锁区间为0.5～0.7 m/s，与金属弹簧相似。

3）金属弹簧振子振幅比达到峰值的流速随着刚度的增加而增加，永磁弹簧振子在0.5 m/s就能达到峰值，而且振幅比值大于金属弹簧振子，在下端分支的振幅比也高于金属弹簧振子，平均振幅比能达到0.67，永磁悬浮支撑有助于增大振子的振幅比。

4）永磁弹簧振子的频率在计算流速区间内大于金属弹簧振子，说明永磁弹簧有助于增大振子振动频率。

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ANALYSIS OF FLOW-INDUCED VIBRATION AMPLITUDE-FREQUENCY CHARACTERISTICS OF RIGID CYLINDRICAL OSCILLATOR

SUPPORTED BY PERMANENT MAGNET SUSPENSION

Bai Xu，Shao Luyu，Niu Jianjie，Han Chuanyu

（School of Naval Architecture amp; Ocean Engineering， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212000， China）

Abstract：Combining permanent magnetic suspension support with flow-induced vibration tidal current energy conversion device， the application feasibility of a permanent magnetic suspension support structure as permanent magnetic spring in the field of flow-induced vibration power generation is explored. In order to compare the influence of the restoring force provided by the permanent magnet spring and the metal spring on the flow-induced vibration of the rigid cylindrical oscillator， the magnetic force of the permanent magnet spring is calculated by ANSYS Maxwell software， and the elastic restoring force curve equation of the permanent magnet spring is fitted. The amplitude-frequency characteristics of rigid cylindrical oscillators at different flow rates are calculated by substituting the elastic restoring force curve equation into Star-CCM+， and then the calculated results are compared with the metal spring system. The results show that the flow-induced vibration amplitude-frequency characteristics of the permanent magnet spring support oscillator are similar to those of the metal spring， the upper branch can reach the maximum amplitude ratio， and the frequency increases with the increase of the flow velocity. However， in the calculated flow velocity range， the amplitude ratio and frequency of the permanent magnet spring support oscillator are larger than those of the metal spring-supported oscillator， and the vibration performance is better.

Keywords：tidal current energy； permanent magnetic spring； flow-induced vibration； restoring force； amplitude-frequency characteristics