基于广义协同高斯过程模型的结构不确定性量化解析方法

万华平，张梓楠，葛荟斌，罗尧治

(浙江大学空间结构研究中心，浙江，杭州 310058)

结构参数不可避免存在不确定性，引起结构参数不确定性的因素很多，比如加工容差、装配磨损、环境侵蚀、参数自身固有的随机性。参数不确定性必然导致结构响应具有不确定性，准确量化结构响应的不确定性大小有利于工程结构设计与决策[1-3]。蒙特卡洛法(Monte Carlo Simulation，MCS)[4]是常用的不确定性量化方法，需要对不确定性参数进行大量采样，然后进行相应的有限元模型计算，再对模型计算结果进行统计分析。MCS方法具有适用范围广、稳定性好、易实现的优点，但大量次数的有限元模型分析会导致计算成本很高，难以应用于大型复杂结构的不确定性量化。为克服MCS法计算效率低的不足，代理模型方法采用数学模型近似代替结构物理模型，后续不确定性量化无需原始物理模型，大大降低了计算成本。用于不确定性量化的代理模型包括响应面[5]、Chebyshev 多项式[6]、多项式混沌展开[7]、高斯过程模型(又称克里金模型)[8]等。其中，高斯过程模型(Gaussian processmodel,GPM)是一种非参数概率模型，可量化预测不确定性，且不受特定函数形式的限制，模拟复杂模型能力强。近年来，WAN 等[9- 10]提出了基于GPM的不确定性量化方法，将均值和方差的复杂高维积分问题转化为简单一维积分问题，得到了统计矩的解析结果。

GPM的建立涉及训练样本，训练样本精度越高，建立的模型越准确。高精度样本数据的获取需要建立复杂的有限元模型，这在一定程度上也会增加计算成本，导致采用高精度样本建模效率较低。针对此问题，出现了多精度高斯过程模型，较常见的是协同高斯过程模型(co-Gaussian processmodel,co-GPM)[11-13]。co-GPM 使 用 较 多的低精度样本和较少的高精度样本进行建模，采用少量高精度样本就可达到满意的建模精度。co-GPM 克服了低精度样本建模精度低和高精度样本计算成本高的问题，在保证较高预测精度的同时进一步节约了计算成本。co-GPM由于不考虑低精度模型的预测值误差，需要满足样本嵌套的条件，即高精度样本必须是低精度样本的子集，不适用于样本非嵌套情况。

本文提出采用广义协同高斯过程模型(generalized co-GPM,GC-GPM)，同时适用于嵌套样本和非嵌套样本。通过两个独立过程分别建立低精度高斯过程模型和差值高斯过程模型，二者组合构成GC-GPM。在GC-GPM 框架里计算结构响应的均值和方差，将高维积分问题巧妙转化为一维积分问题，并推导出解析表达式。三个空间结构算例用来验证GC-GPM方法的有效性，结果表明：与传统GPM方法相比，本文方法具有高精度和高效率的优势。

1 广义协同高斯过程模型

1.1 高斯过程模型

GPM完全由其均值函数m(x)和平方指数协方差函数C(x,x′)决定[14]，它可定量地给出预测值的均值和方差，量化了预测值的不确定性。高斯过程模型表达如下：

式中：均值函数m(x)通常采用常数形式，比如均值函数为μ[9-10]；平方指数协方差函数C(x,x′)表示如下：

式中：η2为协方差函数变化尺度；lk为协方差函数的变化速率；xk为第k个参数；d为参数的维度；协方差函数的参数Θ ={l1,l2,···,lk,···,ld,η2}通常称为超参数。

假设有n个观测值的样本点集D =(X,Y)，其中，X=[xT1,xT2,···,xTn]T，Y=[y1,y2,···,yn]T，上标T 为矩阵转置。根据高斯过程假设，模型输出服从高斯(正态)分布：

中，e为元素全为1的n维列向量；

1.2 广义协同高斯过程模型

GC-GPM的基本思想：基于较多低精度样本集建立一个低精度高斯过程模型，用于拟合输入输出关系的整体趋势；基于较少高精度样本集建立一个差值高斯过程模型，用于修正先前建立的低精度高斯过程模型。

假设分别有n1、n2个观测值的的训练样本集分别表示低精度的输入值和观测值；分别表示高精度的输入值和观测值，n1＞n2。预测值可由一个低精度预测值和一个高斯误差线性组合表示：

式中：y1(x)为 低精度的高斯过程预测值；y2(x)为高精度的高斯过程预测值；δ2(x)为高斯过程误差； ⊥为相互独立； ρ1为一个比例系数。

采用低精度训练样本集 D1建立高斯过程模型，如下所示：

其中：

考虑预测值误差，预测均值与真实值之间的关系可表示为：

式中，ε1(x)为模型预测值误差，对于两个不同的输入值， ε1(x)是 相互独立的，即对任何x≠x′，有Cov(ε(x),ε(x′))=0。

由高斯过程模型的性质可得：

联立式(9)和式(13)，可将y2(x) 与 ρ1y1(x)的差值δ2(x)表示为：

δ2(x)服从高斯分布：

将y2(x)-ρ1yˆ1(x)记 为 δ′2，建立高斯过程模型：

其中：

因此，高精度模型预测均值为：

预测方差为：

将式(11)和式(12)分别代入式(20)和式(21)，得到y2(x)的预测均值yˆ2和 方差vy2：

广义协同高斯过程模型的两个超参数Θ1={l1,1,l1,2,···,l1,k,···,l1,d,} 、Θ2={ρ1,l2,1,l2,2,···,l2,k,···,l2,d,}可通过最大化边缘似然函数求得，即最小化负对数边缘似然函数、：

2 基于GC-GPM的响应统计矩的解析计算

2.1 均值和方差的解析表达式推导

根据统计原理，均值和方差的表达式为：

利用协方差函数的分离特性，式(22)和式(23)可以写成：

将式(28)和式(29)代入式(26)和式(27)中，得：

2.2 一维积分计算

由式(30)和式(31)可知，基于广义协同高斯过程模型，响应统计矩的高维积分转化为了一维积分和。一维积分可统一地表达为：

当参数为正态分布或均匀分布时，一维积分有解析结果[9- 10]：

式中：x～Nx(ξ,θ2)为 参数x服从均值为ξ、方差为θ2的正态分布；x～U(x,x¯)为参数x服从上下限分别为、x的均匀分布；

当参数xi服从其他分布时，可根据概率相等的原则将其转化为服从正态分布或均匀分布的参数ui，采用上式解析结果。不同概率分布转化表达式如下：

3 方法验证

3.1 算例1：球面网壳

凯威特型单层网壳(图1)用来验证所提方法的有效性，该网壳跨度为10m，矢高2.0m，周边支承，整个网壳均由截面为φ80-2.0的钢管组成。采用ANSYS软件建立该网壳的有限元模型，杆件采用BEAM 188梁单元模拟，分别建立高、低精度有限元模型。高精度有限元模型将每根梁单元划分4个单元，共624个单元；低精度有限元模型将每个梁单元划分1个单元，共156 个单元。高、低精度有限元模型及其前五阶振动模态如图2所示。

图1 凯威特网壳/m Fig.1 Kew itte single-layer spherical latticed shell

图2 凯威特网壳高低精度有限元模型及前五阶模态Fig.2 High and low-fidelity finite element model and the first-five-order modesof single-layer spherical latticed shell

假定钢管半径、钢材密度和弹性模量为不确定性参数(见表1)，网壳的前5阶固有频率为分析对象，计算不确定参数下网壳结构固有频率的统计矩(均值和方差)。GC-GPM 和co-GPM均用来结构固有频率的统计矩计算，均采用15个高精度样本和40个低精度样本。同时MCS法(104个高精度样本)用来近似固有频率的统计矩真值。GCGPM 法、co-GPM法和MCS法的计算结果列于表2。由表2可知，GC-GPM法与MCS法的计算结果非常吻合，均值的最大误差仅为0.0099%，方差的最大误差仅为0.6251%，表明GC-GPM法用于不确定性量化计算精度高。在非嵌套样本情况下，GC-GPM法的计算精度明显高于co-GPM 法的计算精度。GC-GPM方法在嵌套和非嵌套样情况下计算精度均非常高，表明其适用于嵌套和非嵌套样本两种情况。

表1 不确定性参数的统计特征(算例1)Table1 Statistical characteristics of the uncertain parameters(Example 1)

为进一步验证GC-GPM法的优势，将其与传统GPM 法对比。分别采用20个、30个、40个、50个高精度样本点建立GPM，并计算该网壳前5阶固有频率的均值和方差，同时与MCS法对比，计算结果列于表3。由表2、表3可知，要达到15个高精度样本点的GC-GPM法的计算精度，传统GPM法需要40个高精度样本点，获取高精度样本的计算成本相对较高。以上分析表明，GCGPM 法具有高精度高效率的优势。

表2 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法计算结果对比(算例1)Table2 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 1)

表3 GPM 法和MCS法计算结果对比(算例1)Table 3 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 1)

3.2 算例2：折板式网壳

采用如图3所示的折板式网壳进一步验证所提解析方法的有效性。该折板式网壳为混凝土薄壳，跨度为24m，矢高为6m，长度为32m。在ANSYS中建立该折板式网壳的有限元模型，屋面板壳采用SHELL63壳单元模拟，其他构件均采用BEAM 188梁单元模拟，分别建立高、低精度有限元模型。在高精度有限元模型中，对密肋板做了模拟，将每个壳单元划分16个单元，共有2636个单元；低精度有限元模型采用加厚的等效板模拟密肋板，共有308个单元。高、低精度有限元模型及其一阶屈曲模态如图4所示。

图3 折板式网壳/m Fig.3 Folded plate latticed shell

图4 折板式网壳高低精度有限元模型及一阶屈曲模态Fig.4 High and low-fidelity finite element model and the first-order buckling mode of folded plate latticed shell

假定该折板网壳共有5个不确定性参数(见表4)，其一阶屈曲荷载系数为分析对象。分别在嵌套样本、非嵌套样本条件下建立GC-GPM 和co-GPM，均采用32个高精度样本和170个低精度样本。MCS法(3 ×104个高精度样本)计算结果作为真值近似值，GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法的计算结果如表5所示。对比结果再次表明GC-GPM法的计算结果与MCS法的计算结果吻合程度较高，进一步验证了本文的GC-GPM法的计算精度较高。同样地，采用不同数量的高精度样本点建立GPM，并分别计算一阶屈曲荷载系数的统计矩，计算结果及相对误差列于表6。由表5和表6可知，要达到32个高精度样本点的GCGPM 法的计算精度，传统GPM法则需要180个高精度样本点，其计算时间是GC-GPM法的2.3倍。以上分析结果表明，本文的GC-GPM解析方法同时适用于嵌套样本数据和非嵌套样本数据，且具有高精度低成本的优势。

表4 不确定性参数的统计特征(算例2)Table4 Statistical characteristicsof the uncertain parameters (Example 2)

表5 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法计算结果对比(算例2)Table5 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 2)

表6 GPM 法和MCS法计算结果对比(算例2)Table 6 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 2)

3.3 算例3：板片式网壳

板片式短线程网壳(如图5)用来验证本文所提方法的可靠性。网壳球半径24m，频数为3，杆均由截面为φ160-5.0的钢管组成，钢板厚度为20 mm。该结构的有限元模型在ANSYS中建立，所有杆件采用BEAM 188梁单元模拟，钢板由SHELL63壳单元模拟，分别建立高、低精度有限元模型。高精度模型的壳单元划分为48个单元，共2760个单元，低精度模型的壳单元划分为12个单元，共840 个单元。假设该板片式短线程网壳承受100 N/m2的恒载和500 N/m2的活载，1.2倍恒载和1.4倍活载组合进行静力分析。高、低精度有限元模型及节点变形云图如图6所示。

图5 板片式网壳/m Fig.5 Plate latticed shell

图6 板片式网壳高低精度有限元模型及节点变形云图Fig.6 High and low-fidelity finite element model and the node deformation contour plot of plate latticed shell

假定该板片式网壳共有4个不确定性参数(见表7)，分析对象为节点最大挠度。分别采用嵌套样本数据和非嵌套样本数据建立GC-GPM和co-GPM，均采用35个高精度样本和100个低精度样本。GC-GPM法、co-GPM 法与MCS法(3×104个高精度样本)的计算结果如表8所示。对比结果表明GC-GPM法的计算结果与MCS法的计算结果吻合程度较高，进一步验证了本文的GC-GPM法的计算精度高。与co-GPM 法的计算结果对比表明GC-GPM 法同时适用于嵌套和非嵌套样本，在两种情况下均有较高可靠性。

表7 不确定性参数的统计特征(算例3)Table7 Statistical characteristicsof the uncertain parameters (Example 3)

同样地，采用不同数量的高精度样本点建立GPM，计算节点最大挠度的统计矩，计算结果列于表9。由表8和表9可知，要达到35个高精度样本点的GC-GPM法的计算精度，传统GPM 法则需要120个高精度样本点。以上分析结果表明，本文的GC-GPM解析方法具有高精度高效率的优势，同时适用于嵌套和非嵌套样本情况。

表8 GC-GPM 法、co-GPM 法和MCS法计算结果对比(算例3)Table 8 Comparison of the results between GC-GPM,co-GPM and MCS(Example 3)

表9 GPM 法和MCS法计算结果对比(算例3)Table 9 Comparison of the results between GPM and MCS(Example 3)

4 结论

针对代理模型用来不确定性量化，存在高精度样本计算成本高和低精度样本建模精度低的问题，本文提出了基于广义协同高斯过程模型(GCGPM)的解析方法。GC-GPM 法克服了上述问题，同时适用于嵌套样本和非嵌套样本情况。基于GC-GPM，响应统计矩的高维积分转化为一维积分，并可解析计算出。三个空间结构算例用来验证了GC-GPM方法的有效性，得到的主要结论：

(1)在非嵌套样本情况下，GC-GPM法的计算精度高于co-GPM 法的计算精度，表明GC-GPM法均适用于嵌套和非嵌套样本两种情况。

(2)GC-GPM解析方法计算结果与MCS法计算结果高度吻合，均值最大误差为0.0181%，方差最大误差为1.6238%，表明GC-GPM解析方法计算精度高。

(3)与传统的GPM法相比，GC-GPM法采用少量高精度样本就达到良好的计算精度，而GPM法则需要3倍～5倍的高精度样本，计算时间是GC-GPM法的1.5倍～2.4倍，表明GC-GPM法相对于传统的GPM法具有高效率的优势。