新工具：平面直角坐标系

第5章 平面直角坐标系

组稿团队：江苏省南通市初中数学青年骨干教师团队

领衔人：刘东升

本期向同学们推介一款新的数学工具——平面直角坐标系。我们先回顾一下上一代工具——数轴，如图1。

在同一平面内，我们知道点与直线有两种位置关系，点在直线上或点在直线外。借助数轴，我们能解决点在数轴（直线）上的问题，但是点在数轴（直线）外的情况如何研究呢？

如图2，在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，即组成平面直角坐标系。水平的数轴称为横轴（也称x轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为纵轴（也称y轴），取向上为正方向；两坐标轴交点为平面直角坐标系的原点。

如图2，建立平面直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分依次被称为第一、二、三、四象限。特别地，坐标轴上的点不属于任何象限。

现在我们来研究点在数轴（直线）外的情况。在不同象限各取几个点，将这些点分别向x轴、y轴作垂线段，垂足对应的x、y的值分别记为横坐标x和纵坐标y，这些点用“有序数对”（x，y）来表示，即这些点的坐标为（x，y）。注意横坐标在前，纵坐标在后。如图3中，第一象限内点A的坐标记为（4，5）。

我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的。同理，对于平面直角坐标系上的任意一点M，都有唯一一对有序实数对（x，y）（即点M的坐标）和它对应；反之，对于任意一对有序实数对（x，y），在坐标平面内都有唯一的一个点M和它对应。我们也可以说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。现在，我们将平面直角坐标系的知识“结构化”（如图4）。

最后，提供一道例题，供同学们巩固新知。

例 在平面直角坐标系xOy中，先描出A（4，2）、B（-2，2）、C（-4，-2.5）、D（2.5，-2.5）、E（0，-4）、F（-4，0）各点，再回答下列问题。

（1）连接AB，同学们发现直线AB与x轴有什么样的位置关系？你能总结出什么规律？

（2）连接CF，线段CF的长为多少？直线CF与两条坐标轴分别有什么样的位置关系？

（3）計算△EOF的面积；

（4）计算四边形BCED的面积；

（5）有人发现点B、D与原点O在同一直线上，你觉得这种发现有道理吗？为什么？

［参考答案］图形略；（1）AB//x轴，规律：横坐标不同、纵坐标相同的点的连线平行于x轴；（2）CF=2.5，CF⊥x轴，CF//y轴；（3）△EOF的面积为8；（4）四边形BCED的面积为19.5；（5）有道理，点B、D到两坐标轴距离相等，在第二、四象限的角平分线上。

（作者单位：江苏省南通市教育科学研究院）