未知死区时滞系统的新型动态面渐近跟踪控制

郑 贤， 刘 烨

(上海工程技术大学，上海 201000)

0 引言

死区和时滞是机器人、航空航天和超精细加工等领域面临的基本问题。随着科技的发展，死区非线性时滞系统的控制器设计受到了广泛关注。死区和时滞会导致系统性能下降甚至不稳定，所以对于死区非线性时滞系统的研究具有重要意义。在非线性时滞项满足一定假设的前提下，自适应反推法是处理非线性时滞系统的有效策略，目前被广泛应用[1-6]。传统的反推法需要对虚拟控制律反复进行微分，使得控制器的设>计变得复杂，增加计算负担。为解决这一问题，动态面控制技术[7-8]被开发出来,该技术令虚拟控制律通过低通滤波器，避免反复微分，从而解决“微分爆炸”问题。但是低通滤波器的引入会产生边界层误差，从而使得系统跟踪误差增大。随着研究的深入，利用神经网络和模糊系统设计的控制方案也不断被提出[9-13]。受文献[14]的启发，在文献[15-16]中，集成神经网络的动态面控制技术可以取消非线性时滞项的假设条件，但边界层误差依旧存在，然而，文献[14-16]并没有考虑死区输入的非线性问题。

死区输入非线性是非光滑函数且对较小的输入信号不灵敏，在一定范围内没有输出。在文献[17]中采用了死区逆来补偿死区的影响，但是死区逆的设计比较复杂，不利于实际工程中控制器设计；为了简化控制器的设计，在文献[18]中提出了一个简化的死区模型，该模型为一条直线和类干扰项的组合，此后很多研究都是基于这个简化的死区模型提出的[19-23]；在文献[19,24]研究中，取消了斜率的最小值限制；文献[25]利用扩张状态观测器来处理死区非线性项问题。但是这些文献跟踪误差只收敛到零的任意小的邻域内。

综上所述，尽管关于死区非线性时滞系统的研究已经取得了一定进展，但设计出使系统跟踪误差渐近收敛到零的控制器仍具有挑战性，其难点在于边界层误差、死区未知参数及神经网络误差的处理。

本文考虑死区输入的影响，研究一类非线性时滞系统的自适应控制问题。通过径向基神经网络逼近系统中非线性时滞项，并对神经网络误差及死区模型的未知参数进行在线估计。在此基础上，设计含有正时变积分函数非线性滤波器的控制器。所设计的控制器可以有效地消除未知死区给系统造成的不良影响，确保整个非线性时滞闭环系统的所有信号半全局一致有界，且跟踪误差能在理论上收敛到零。

1 问题描述和假设

考虑如下具有未知非对称死区输入的非线性时滞系统

(1)

(2)

式中:mr(u)和ml(u)为对应区间的映射关系，均为光滑函数；u-,u+为未知正常数。

本文的控制目标在于通过设计的控制器，保证系统的所有信号在闭环系统内半全局有界，且跟踪误差能收敛到零。

假设 2 存在未知正常数ml0，ml1，mr0，mr1满足如下关系

(3)

则该死区模型可表示为

N(u)=mu+d

(4)

式中:

(5)

(6)

且β≤min{ml0,mr0}为已知正常数,|d|≤D，D=max{mr1,ml1}为未知正常数。

引理1对于任意的常数ε>0，z∈R，

(7)

成立。

引理2对于任意的非线性连续未知函数F(Z)，其中,Z∈ΩZ⊂Rq，存在神经网络W*TS(Z),即

F(Z)=W*TS(Z)+E(Z)

(8)

2 控制器设计

首先，定义系统式(1)的位置跟踪误差

(9)

根据反推控制方法设计如下。

1) 步骤1。

对式(9)中z1求导可得

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

设计Lyapunov函数

(15)

根据引理1可得

(16)

对式(15)求导，并将式(11)～(14)、式(16)代入求导后的式(15)可得

(17)

为了避免“微分爆炸”和消除边界层误差，令α1通过新设计的滤波器得α1d，形式如下

(18)

(19)

式中，σ1，σ2为任意正常数。

2) 步骤i。

对式(9)中zi求导可得

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

设计Lyapunov函数

(25)

对式(25)求导并代入式(21)～(24)可得

(26)

令虚拟控制律αi通过新设计的滤波器式(18)可得αid。

3) 步骤n。

对式(9)中zn求导可得

(27)

(28)

式中，

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

设计Lyapunov函数

(34)

对式(34)求导并代入式(28)～(33)可得

(35)

3 稳定性分析

对边界层误差ei=αid-αi微分得到

(36)

式中，Bi(·)是连续函数。

设计Lyapunov函数

(37)

式中:μi(i=1,…，n-1)是正设计参数。

定理1考虑一类包含式(1)的系统，利用虚拟控制律式(11)、式(21)、非线性滤波器式(18)、系统自适应律式(14)、式(22)～(24)、式(30)～(33)和实际控制律式(29)，满足假设1、假设2，对于任意的初始条件V(0)≤p，其中，p是给定正常数，存在设计参数ki，γi，Λi，ηi，λ使得闭环系统所有信号是半全局一致有界的，且系统跟踪误差y-yr渐近收敛到零。

证明 定义有界紧集

(38)

Ω2={V(t)≤ρ}

(39)

对式(37)求导得

(40)

根据引理1得

(41)

(42)

将式(41)、式(42)代入式(40)可得

(43)

对式(43)两边在时间[0,t]内求积分可得

(44)

(45)

根据Barbalat引理，考虑式(45)可得

(46)

这表明跟踪误差可以渐近收敛到零。

4 仿真分析

考虑以下死区非线性时滞系统

(47)

仿真结果如图1～3所示，图1表明本文的控制算法具有良好的跟踪性能，图2表明跟踪误差收敛到零的邻域内，图3表明控制器u有界。

图1 系统输出y与期望轨迹yrFig.1 System output y and expected trajectory yr

图2 跟踪误差z1Fig.2 Tracking error z1

图3 控制器uFig.3 Controller u

5 结论

本文研究了一类死区非线性时滞系统的控制问题，在自适应反推控制理论基础上，基于径向基神经网络和新型动态面技术设计控制器，该算法不仅能避免“微分爆炸”，还能有效消除边界层误差。除此以外，死区特性问题和神经网络误差可利用不等式转化为未知项并应用自适应技术进行在线估计。本文设计的控制器能够保证系统的跟踪误差渐近收敛到零，所提出神经网络动态面控制算法为系统跟踪误差收敛到零提供一种新的思路。