具p(t)-Laplacian算子的Caputo型分数阶脉冲微分方程广义反周期边值问题解的存在性

张婷婷，胡卫敏,2

(1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆 伊宁 835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆 伊宁 835000)

0 引言

近年来分数阶微分方程广泛应用于众多领域，目前对分数阶微分方程边值问题的讨论已经有很多优秀的成果[1-3].脉冲微分方程作为微分方程的一个重要分支，它能够充分考虑瞬时突发现象对系统状态带来的影响，也吸引了国内外学者对其进行研究，于是此类研究工作也得到了很大的发展[4-6].p-Laplacian算子在非牛顿流体力学、多孔介质、湍流及非线性粘弹性力学等多领域发挥了重要作用，故对具p-Laplacian算子的分数阶微分的研究也成为了热门课题[7-8]，p(t)-Laplacian算子作为p-Laplacian算子的推广[9-12]，不具有后者的标准增算子的性质，而具有更加复杂的非线性性质，也相对更加复杂，因此鲜有文献讨论具p(t)-Laplacian算子的分数阶微分方程的边值问题.

邢艳元等[4]利用Banach压缩映像原理讨论了一类分数阶脉冲微分方程反周期边值问题：

(1)

张迪等[11]利用Banach压缩映像原理和schaefer不动点定理讨论了一类具p(t)-Laplacian算子分数阶微分方程反周期边值问题：

(2)

受上述工作的启发，本文将研究如下具p(t)-Laplacian算子的Caputo型分数阶脉冲微分方程广义反周期边值问题：

(3)

解的存在性与唯一性.

1 预备知识

定义1.1[4]函数f:[0,+∞)→R的α>0阶分数阶积分为

其中，等式右边是在[0,+∞)逐点定义的.

定义1.2[4]函数f:[0,+∞)→R的α>0阶Caputo型分数阶微分为

引理1.3[4](Arzela-Ascoli定理)K∈PC(J,R)是相对紧的，当且仅当任何函数u(t)∈K在J上一直有界，在Jk上是等度连续的.

它是将有界集映成有界集的连续映射，且满足：

引理1.5[8](Krasnosel’skiis不动点定理) 设Ω为Banach空间X上的非空有界闭凸子集，算子φ,ψ满足：(1)φu+ψv∈Ω，其中u,v∈Ω； (2)算子φ全连续；(3)算子ψ是压缩映射，则存在z∈Ω，使得z=φu+ψv.

引理1.6[8](Banach压缩映像原理) 设D是Banach空间X的非空闭子集，T是D到其自身内的映射，它在D内满足Lipschit条件，即对任意x,y∈D，有‖Tx-Ty‖≤l‖x-y‖，0

引理1.7 令Nf:C[0,1]→C[0,1]是Nemytskii算子，∀t∈[0,1]，Nfu(t)=f(t,u(t),u′(t))，则边值问题：

(4)

等价于积分方程：

故当t∈J0时，由引理1.1可得

当t∈J1时，有

故当t∈J1时，有

以此类推，当t∈Jk时，有

再由边值条件au(0)+bu(1)=0，可得

因此有

2 解的存在性

在PC1(J,R)中定义算子A:PC1(J,R)→PC1(J,R)，则由引理1.6可知(3)有解等价于如下定义的积分算子有不动点.

为了确保解的存在，需附加以下条件：

(H1)f(t,u(t),u′(t))∈C([0,1]×R2,R)及Ik(u(tk))∈C(R,R)，则存在常数ξ1,ξ2∈R，使得|f(t,u(t),u′(t))|≤ξ1，|Ik(u(tk))|≤ξ2.

(H2)对任意常数L1,L2>0，有

|f(t,u(t),u′(t))-f(t,v(t),v′(t))|≤L1(|u-v|+|u′-v′|),

|Ik(u(tk))-Ik(v(tk))|≤L2|u-v|.

令φ,ψ是集合Ω上的算子，定义如下：

易见，Au(t)=φu(t)+ψu(t).

定理2.1 若条件(H1)～(H3)成立，则根据引理1.5可知，算子A至少有一个解.

证明 对任意u,v∈Ω，t∈[0,1]，有

因此，|φu(t)+ψu(t)|≤r，故φu+ψu∈Ω.

对任意t∈[0,1]，存在常数λ>0，使得‖u-v‖∞+1≤λ‖u-v‖∞，根据

海外中餐馆是中华文化软实力的重要配置，中华美食是我们与世界对话沟通、情感交流、文明融合的适宜介质。2017年12月，中办、国办印发《关于加强和改进中外人文交流工作的若干意见》，要求“重点支持汉语、中医药、武术、美食、节日民俗以及其他非物质文化遗产等代表性项目走出去”。事实上，餐饮的文化传播已经纳入国家主导的国际传播顶层设计，以期与改革开放40年来中国新移民的发展趋势相适应。

(x+y)p≤2p(xp+yp)，其中，x,y,p>0；

xk0，k∈[0,1].

则有

由条件(H3)以及引理1.6可知，算子Q在ΩR中为压缩映射.

下面证明算子φ在Ω上是全连续的，即对任意u∈Ω，有

故可知算子φ在Ω上一致有界.

对任意t1,t2∈[0,1]，有

即算子φ在Ω上等度连续，由Arzela-Ascoli定理可知算子φ为全连续算子.

3 解的唯一性

证明 对t∈[0,1]，u,v∈Ω，有

因此，‖Au(t)-Av(t)‖∞≤δ‖u-v‖∞，由于0≤δ<1，故A为压缩算子，根据引理1.6，可知边值问题(3)有唯一解.

4 例题

考虑边值问题：

非线性项f(t,u(t),u′(t))=(t2+1)(cosu-sinu),u(t)=cosu,u′(t)=-sinu，故有

因此，由定理3.1可知该边值问题有唯一解.