薛定谔方程的一种教学方式

任智

薛定谔方程的一种教学方式

任智

（百色学院 材料科学与工程学院，广西 百色 533000）

从薛定谔方程原始推导方法入手，再现了薛定谔如何在德布罗意波的基础上创造性地推导出了物质波的相速度与能量之间的关系，进而利用流体力学中的一个现有的机械波波动模型推导出了薛定谔方程．分析了利用该方法进行薛定谔方程教学的利与弊．

薛定谔方程；量子力学；教学方式

学习量子力学第一个重点和难点是波粒二象性和与之密切相关的薛定谔方程的推导．国外量子力学教材大多不采用薛定谔的原始推导方法[1-2]，国内则由对满足光子波动方程的单色平面波函数特解的求导而拼凑出来[3-4]，回避了薛定谔方程原始推导过程的介绍．虽然国内有学者提及用薛定谔原始推导方法的益处[5]，但对推导过程中最核心的部分[6]缺乏相应分析说明．本文仔细地分析了薛定谔方程原始推导过程，并讨论了将它做为理工本科生量子力学入门学习方法的利与弊．

1 波粒二象性如何融入薛定谔方程的推导

1.1 势能保守场中的质点运动经典力学描述

1.2 德布罗意物质波概念的应用

在几何光学中，光在通过一个折射系数不均匀的媒介时会发生弯曲，这种光线的传播遵守费马定律

将式（3）代入式（2）得到

显然式（5）和式（3）几乎是倒数关系，不可能相等，此时必须采用波包和群速度的概念来处理，也即粒子其实是等价于波包，波包的群速度为粒子速度，而波包的群速度和相速度的定义是

又因为

式（9）减去式（8），得

上述的推导是薛定谔方程推导的核心部分，它将德布罗意物质波的波粒二象性通过粒子和波包的对等（包括运动轨迹和速度）形神兼备地表达出来．

2 由波动方程推导出薛定谔方程

2.1 经典流体力学机械波模型

考察一个封闭容器中的弹性流体，其压强的波方程为

该方程的解为

2.2 薛定谔不懂薛定谔方程——波函数的统计解释

代入式（14）得到

式（16）正是定态薛定谔方程．对波函数做拓展

并约定

3 结语

国内本科理工生必学的数学包括微积分和线性代数，在学习量子力学之前并不一定都学习过泛函分析、分析力学等预备课程，所以要读懂薛定谔在1926年发表的奠定量子波动力学基础的4篇文章是困难的[7]，但薛定谔在1928年所做的4篇演讲中的第1个演讲[8]（也即本文所主要依据的文献）却是十分适合本科量子力学初学者的．如本文，薛定谔生动地从质点（经典力学）和波（物质波的波动方程）2个不同侧面来描述同一个微观体在不随时间变化的保守力场中的运动方程的一致性（运动轨迹和运动速度相同），这对于理解物质波的波粒二象性本质是十分有效的视角和教学方法．但该方法仍然要求学生对分析力学和最小作用量原理有相当的认知，这对初学者是个不小的挑战．另外注意到国内外有些观点[9-10]，认为薛定谔方程是量子力学的基本假定，不是从理论中推导出来的，这显然与事实不符，只不过这些更底层的理论目前科学界还没有明确的判断和结论．如德布罗意物质波推导过程中会出现超光速的相速度，而薛定谔在非相对论中在考察微粒的能量和频率之间的关系时，不将物质的静止质量能量计算在内，才避免了超光速问题．这种历史上的学术争论应该在教学中尽量按原貌体现出来，能增加学生的学习的兴趣，不仅提示学生科学理论也是在不断完善的过程中，而且可以激发学生的研究激情，这正是我国理工科教学中的薄弱环节．

[1] David J Griffiths，Darrell F Schroeter．Introduction to quantum mechanics[M]．New York：Cambridge University Press，2018：16．

[2] John Dirk Walecka．Introduction to quantum mechanics[M]．New Jersy：World Scientific Publishing Co，2021：16-17．

[3] 钱伯初．量子力学[M]．北京：高等教育出版社，2006：27-29．

[4] 曾谨言．量子力学教程[M]．北京：科学出版社，2014：15-16．

[5] 黄永义．薛定谔方程的教学探讨[J]．大学物理，2020，39（6）：25-26．

[6] 薛定谔．薛定谔演讲集[M]．范岱年，译．北京：北京大学出版社，2007：5-10．

[7] Schrodinger E．Collected paper on wave mechanics[M]．London＆Glasgow：Blackie＆Son Limited，1928：1-146．

[8] Schrodinger E．Four Lecture on Wave Mechanics[M]．London＆Glasgow：Blackie＆Son Limited，1928：1-13．

[9] Shankar R．Principles of Quantum Mechanics[M]．New York：Plenum Press，2011：115．

[10] 井孝功，赵永芳．量子力学[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009：33

Teaching method of Schrödinger equation

REN Zhi

（School of Materials Science and Engineering，Baise University，Baise 533000，China）

The original deduction of Schrödinger equation is elucidated to show how the relationship between the phase velocity of the micro-particle and its energy is worked out innovatively，based on the De Broglie postulate．This relationship was incorporated to a mechanic wave equation of fluid to get the Schrödinger equation．The pros and cons of this way of introducing Schrödinger equation is discussed．

Schrödinger equation；quantum mechanics；teaching method

1007-9831（2022）11-0099-04

O411∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.11.020

2022-04-30

任智（1972-），男，湖南津市人，副教授，博士，从事量子力学及电子封装材料研究．E-mail：roger-ren@bsuc.cn