基于数学核心素养的三程递进式教学过程设计

栾珺玄， 程 岭

(江苏师范大学 教育科学学院， 江苏 徐州 221116)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)为高中数学确定了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学核心素养，为核心素养的培育研究在政策层面指明了方向，相关研究的快速出炉也说明了研究者们很快对该政策给予了积极回应。回顾近些年来关于数学素养、数学核心素养的研究，主要包括以下几个方面：一是数学核心素养评价体系建构，例如有研究者通过建构数学核心素养中品格与价值观的评价指标体系、数学核心素养评价框架对数学核心素养的关键能力和必备品格的评价做出积极探索[1-2]。二是数学核心素养教学目标建构，例如有学者提出了重构教学目标促进学生核心素养发展，研究了新课标背景下教学目标取向及要素结构[3]。三是数学核心素养内涵明晰，例如研究者通过辨析数学精神、数学思想与数学素养来厘清数学核心素养[4]，也有学者直接提出了高中生数学学科核心素养的内涵、价值与特质[5]。

上述研究成果带来了关于数学核心素养的激烈探讨，丰富了数学核心素养培育的理论和实践成果，为中国基础教育数学学科的研究与实践指明了方向。但是，仔细分析过去的研究成果发现，理论研究占主体，与落实到基础教育实践尚有距离。关于这个问题，学者也早有提醒，刘祖希在梳理中国核心素养的研究进展基础上，提出未来研究工作应关注分析数学核心素养的生成机制、探索数学核心素养生成的教学策略等[6]。但这一点，在最近的一些研究中得到了一定程度的补充和纠正，例如数学核心素养视角下的“三线四环节”公式教学研究[7]，做了数学核心素养的尝试实践。但是梳理这类文献时发现，在探索数学素养生成的教学策略中缺乏层次性。具体来说，《课标》仅明确了数学核心素养的成分，但核心素养的养成并不是一蹴而就的，在对学生核心素养的培育过程中，存在不同水平的差异。因此，立足于数学核心素养的课堂教学必须关注素养的水平差异，进而要求课堂教学设计必须环环相扣、逐级递进，才能让数学核心素养真正深入学生内心，而不是纯粹的“口号操作”与“文字游戏”。但这样递进式的教学设计不能凭空而来，该从何处入手呢？余文森教授在《论学科核心素养形成的机制》一文中提到：“学科知识与学科活动是学科核心素养形成的两翼，学科知识是学科核心素养形成的主要载体，学科活动是学科核心素养形成的主要路径。”[8]从这句话中不难体会到，知识仍是培养学生核心素养的主要内容工具，学科活动是通往学生内心成长的主要路径。因此，本文将从知识的学习阶段出发，以不同的学习活动为载体，构建一个三程递进式的教学过程设计，实现数学核心素养的真实落地。

一、关于数学核心素养

本文主要目的是培养学生的数学核心素养，那么首先应当明确什么是数学核心素养。

(一)何为数学核心素养

根据核心素养这个上位概念的定义，可以将数学核心素养界定为：学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键的数学能力。另外，《课标》为高中数学确定了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学核心素养；关于小学数学核心素养，也有专家通过严密的数据收集和分析讨论，将应用意识、运算能力、推理能力、几何直观作为小学数学核心素养的基本内容[9]。二者实际上都在强调“抽象、推理和模型”。具体来说，前者提到的“直观想象”是高阶抽象的思维基础，“数学运算”是抽象、推理和模型的集合体，经由该集合体所承载，而“数据分析”实际上是模型的具体运用，因为数据的收集、处理和分析实际上就是一个建模过程，并有推理贯穿其中[10]。后者也是如此，其中“运算能力”同“数学运算”，“几何直观”同“直观想象”，而“应用意识”是指要有应用数学的意识，建立数学与生活的联系[11]，这就是指数学模型在生活中的应用。也就是说，基础教育阶段的核心素养实际上可以整合成“抽象、推理和模型”，这三个要素贯穿基础教育阶段数学教育全过程，是构成数学三个基本特征的思维基础。那么，到目前为止，关于数学核心素养的基本概念和成分有了较为明确合理的概括。但是，核心素养作为基础教育的培养目标，它的深度仍值得探究，因为能力与品格的淬炼不是一蹴而就的，因此，数学核心素养的层次探讨显得尤为必要。

(二)核心素养的层次性

数学核心素养即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键的数学能力，从实质上来说，它描述的是一系列的目标，因此，我们探讨的是这些目标的层次性，即目标的纵向分类。关于目标分类，现有的模型主要是以下几种：

1.加涅的学习结果分类理论

加涅的学习结果分类包括认知、动作技能和态度三方面，其中，认知和态度领域又各有分类。认知结果又可分为言语信息、智力技能、认知策略三个方面。智力技能又分为辨别、概念、规则、高级规则四类，由简单到复杂构成一个层级关系。加涅没有对技能领域进行分解，而态度领域则分为情感因素、认知因素和行为后果三类。加涅认为学习的结果就是形成学生的智力技能、认知策略、言语信息、运动技能和态度五种能力。

2.布鲁姆的教育目标分类理论

美国教育心理学家布卢姆用分类学方法分析学生的学习目标，将其分为认知、情感和动作技能三个领域，并将认知领域目标分成六大主类，分别是识记、领会、应用、分析、综合及评价，这六大类是环环相扣、互相制约、互相依存的。

3.我国新课改提倡的三维目标分类

2001年6月8日国家教育部印发的《基础教育课程改革纲要(试行)》，提出了三维目标的概念，即知识与技能、过程与方法、情感态度价值观这三个方面。

4.数学核心素养培育的三程递进模式

分析前文三种分类方式，我国的三维目标分类在关注目标广度的基础上也兼顾了目标的深度，知识与技能、过程与方法、情感态度价值观在一定程度上有层层递进的内在关系，但是仍然偏重目标的横向划分。而加涅和布鲁姆的目标分类，则主要是以学生发展的不同领域为主线，也在某些领域做了纵向划分，但不难看出他们也偏重目标的横向划分。显然，上述的目标分类主要从横向角度出发，有助于学生在不同领域的发展，但是不利于学生核心素养培育的深度推进，因此，在前面这些目标分类的基础上，需要建构一个逐级递进的三程递进式数学核心素养构想。前文谈到了余文森教授的观点“知识仍是培养学生核心素养的主要内容工具”，也就是数学核心素养产生于知识，那么数学核心素养的水平结构划分就应当从知识的角度切入，参照加涅的学习结果分类理论、布鲁姆的教育目标分类理论、三维目标分类，提出如下一种数学核心素养培育进程的理论构想：将数学知识的学习分为知识习得、知识迁移、知识转化三种学习结果。由此产生的三种学习过程即为数学核心素养培育的三程递进模式的“三程”：基础知识的厘清与应用(知识习得)、思维方法的辨析与获得(知识迁移)、价值情感的追问与阐发(知识转化)。

(1)基础知识的厘清与应用(知识习得)

数学知识习得包括了数学知识的厘清和应用。所谓知识厘清是指学生通过学习全面、准确地获得知识的含义、本质、逻辑、内在关系以及知识间的关系的理解。例如，人教版小学六年级上册《圆的周长》一课中，学生先通过合作探索等学习方式归纳总结出圆的周长公式这一过程，就是对知识的厘清，即学生掌握了圆的周长公式的背景，理解圆的周长的含义，并且结合了前一课时《圆的认识》的有关半径、直径的相关知识。所谓知识应用是将知识转化到实践中去，用以解决数学问题的过程。学生掌握了圆的周长公式，即可用以计算给定圆的周长，这就是解决数学问题的过程，也即知识的应用。马克思主义哲学启示我们，必须不断重复知识认知到知识应用再到知识认知这一循环过程，才能实现对数学知识的真正习得。

(2)思维方法的辨析与获得(知识迁移)

所谓知识迁移，就是将习得的知识迁移到不同的情境中去，解决不同问题和诉求的过程。知识迁移的过程涉及知识的准确提取、灵活应用，考验学习者对知识相关性的把握以及思维方法的提取，换句话说，这一过程反映了学习者的能力，也是数学核心素养的一种侧面体现。不同的情景不仅包括不同结构的数学问题，也包括实际的生活情景。因此，知识迁移不仅是知识的重现，也是知识学习过程中思维方法的辨析与获得。解决数学问题的过程中很难单纯应用某一个知识点，解决生活问题更不单纯是知识的简单组合，很多情况涉及数学思维方法的应用。例如，在学习初中数学二次函数这个单元时发现，在不同的数学题中，会出现不同的函数表达式，精准选择会大大降低解题的难度。运用数学图像还可以帮助解决极值、对称轴、零点等问题。当函数走进生活中，又不难发现，几乎不可能在真实情境中去解二次函数，这也让许多人误解了数学的生活化，认为数学学习只能用于考试。实际上，函数这一单元蕴含了很多数学思维方法：画图法、转化法、符号化、工具法等，而这些思维方法完全可以灵活应用于生活世界。因此，可以说思维方法的辨析与获得是知识学习的重要一步。

(3)价值情感的追问与阐发(知识转化)

学生在知识学习的过程中不能止步于知识迁移、解决问题，而是把握知识背后的情感和价值观，并将其转化为自身的品质，这才是知识能赋予个体的真正价值。传统的数学教育将数学作为一种工具，特别重视其作为科学的应用价值，而相对忽视数学的文化性功能，忽视数学作为文化的人文价值。实际上，数学知识背后也蕴含着人的情感、信念、审美等价值体系，在学习数学的过程中，学习者也会相应建构起个人对社会和人生的观念。例如，学习数学公式不仅锻炼了学生的推理运算能力，同时也培养着学生的缜密思维和科学态度。轴对称图形不仅让学生学会辨析图形结构，也在帮助学生感知对称美，中国自古以来讲究对称美，园林、建筑、行政区域划分等都能体现数学美学，从而促使学生形成良好的价值体系。以上就是知识的转化过程，当知识走过学习者的人生旅程，不应该简单留下“客观事实”的印象，而是让其以更深层次的意义系统刻在人的身上，激荡人的心灵。

二、基于数学核心素养的三程递进式教学过程设计

根据前文的数学核心素养培育的三程递进模式的“三程”学习过程，相应地形成了三程递进式的具体教学过程：

(一)创建学习共同体，在合作探究中实现基础知识的厘清与应用

新高考改革的到来，对学校教育提出了新的要求，这其中就包含师生关系的优化、学习方式的转化、教学方式的变化。师生之间早已不再是“教师讲、学生听”的状态，而是逐渐走向另一个师生关系模式——学习共同体。这为学生从被动接受转变为主动探究，从学生独立成长转变为师生共同实现增值性发展提供了可能性。作为共同体，从涉及的主体、内容、方式等角度而言，应当包含学习者、助学者、学习内容、学习环境和基本规则这几项基本要素[12]。其中，学习者主要指学生；助学者为教师，也可是学习共同体中在某些方面较为突出的学生；学习内容主要是围绕数学教材展开的多种课程资源；学习环境包括内部环境创设(学习氛围培养等)和外部环境(教学场所、信息技术等)；基本规则通常是成员要求共同接受并遵守的一系列行为规定。这样，一个“学生为中心，教师为主导”的大学习共同体就建设完成。但是，一个班的学生数量较多，为方便后续学习讨论，可以在大学习共同体的基础上建构小学习共同体，将班级学生分为几组，每组4～6人，并为每一组选出一个组长，类似于助学者的位置，在小学习共同体中负责协调人员、安排任务的工作。大小共同体既照顾到每一位学生，也不脱离教师的整体把握。

数学课堂学习共同体的建构主要分为以下五步：确定目标、整合资源、创设情境、进入任务、学习评价。第一，确定目标要求教师结合课程标准、教材资源、学生能力加以整体把握，与学生共同制定数学课程学习的最终目标，这是师生完成教学活动的焦点，也是整节课的起点。第二，整合资源要求教师不仅要评估可获得的和学生需要的资源，还要尽可能将这些资源加以整合，提供给学生。这些资源主要包括围绕教材的相关资源、跨学科资源、学生的学习经验等。第三，创设情境要求超越以往的学习观，将教学情境延伸到不同的区域中去，而不仅是传统的教室。另外，教学情境也要考虑内外部两种，外部情境主要包括教学场所、信息技术、教室布置等，内部情境主要包括学生的学习氛围、心境、学习动机、学习兴趣等。第四，进入任务，这是三程递进式教学过程第一步骤的核心，在前面一系列准备活动的铺垫下，由教师组织学生开展学习互动，注意突出学生的主体地位，给予学生充分的自主权和管理权。第五，组织学生进行学习评价，评价有自我评价和他人评价、书面评价和口头评价、过程性评价和结果性评价等不同的形式，注意在不同的学习活动中灵活应用不同的评价方式。这样，基本完成了第一步，实现了知识习得的目标。

(二)开展项目式学习，在问题解决中实现思维方法的辨析与获得

在数学学习中开展项目式学习主要以数学学科知识为载体，通过问题解决这一路径，利用相关知识和信息收集，实现数学思维方法的提取与应用，这是将数学知识应用于生活情境的重要方式。“项目”指的是从提出问题到解决问题、收获成果的完整活动[13]。根据这一概念可知，项目式学习主要是围绕问题展开的，那么项目式学习的基本步骤则可以分为以下五步：提出问题，作出假设，收集资料，验证假设，成果展示。

项目式学习的第一步，就是提出驱动性问题，问题的提出大有讲究，既不能脱离书本知识，也不能忽视实际生活意义，既不能超出学生的现有能力，也不能过于简单而失去研究意义。这里，实际上可以通过建设学校的数学教师团队，开发出一些适合学生能力、适应教材内容的项目案例，并且允许其进行校际间的共享。借助高质量的教师团队，避免随意开展项目式学习，违背该学习方式的初心。第二，对提出的问题作出假设，这时大小学习共同体的组织就能充分发挥作用，由小学习共同体提出小组假设，再送大学习共同体汇总修改，最终得出可行方案。第三，收集资料。漫无目的地收集资料对学生来说，特别是低年级学生，是极其困难的，他们对信息的收集、筛选、辨别、使用都非常生疏。因此，要为学生提供可供选择的资源包，让学生在相对准确的范围内选择资料。第四，验证假设，学习共同体通过前一步收集的资源对假设加以验证。第五，成果展示。成果展示的形式是多样的，可以是学生对问题的论证过程，可以是学生在进行项目活动时做出的成果，抑或是其他创意方式。总之，在问题解决的过程中，有意识地渗透相对应的数学思想方法，再配合动手操作、合作探究等活动，具身体会数学思想方法的应用，才能让数学思想方法真正成为学生素养的一部分。

(三)举办数学活动，在史实中实现价值情感的追问与阐发

数学核心素养不仅是能力的培养，也有品格的提升。如何将数学和学生的情感、价值观联系在一起是数学核心素养能否深入学生内心的关键。数学课程资源中有哪些可以为我们所用呢？首先，教科书本身就是具有数学知识魅力的存在，要善于挖掘知识产生的背景、概念形成与发展过程[14]。其次，借助数学史实的力量。数学教材中不乏一些数学家的故事、数学史图片，但却被长期的忽略了[15]。那么如何借助这些资源让数学塑造学生的情感和价值观呢，或许借助数学活动能够到达一定的成效。

数学活动主要包括：数学征文、数学故事会、数学辩论、数学艺术展等，只要将现有的活动形式结合数学知识加以融合，也能让数学学习更加丰富多彩。活动内容可以包括数学史，在读史中建立正确积极的价值观。古今中外的文化史实犹如璀璨明珠，是不可忽视的宝贵资源，特别是我国古代的数学家们。刘徽割圆术、祖冲之圆周率等故事完全可以以故事会、小品、图画、动画的形式展示出来，让学生在这些数学故事中感受数学精神、探索精神、批判精神、客观理性精神，感受祖国灿烂的数学历史文化。此外，还可以将自己在生活中的数学故事讲出来、写出来、画出来，体会到数学的可感可观可用，身体力行地将数学精神贯彻实践，而实践过程是符号学习向深层意义提升的机制[16]。▲