变质心喷砂除锈移动平台自适应全局鲁棒超螺旋滑模控制

王永尚，高国琴，方志明

（江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212013）

0 引言

钢箱梁作为大跨径桥梁的常用结构，进行喷砂除锈可延长大桥使用寿命［1-2］。由于工业喷砂除锈机器人体积庞大、机构复杂，需要围绕施工单位构建大型厂房，无法满足钢箱梁随桥梁建设流动施工的要求，难以胜任钢箱梁除锈作业。

为此，本文基于Stewart 并联机构自主研发一种钢箱梁喷砂除锈并联机器人。该机器人主要由并联机构、升降机构、移动平台等构成，具有刚度高、承载能力强、可移动性等优点，能任意移动、自由升降、六自由度位姿精确运动。喷砂除锈并联机器人实物图如图1 所示，1 为末端喷枪，2为并联机构，3 为喷砂软管，4 为移动平台，5 为升降机构，6为电气控制柜，7 为上位机。移动平台作为喷砂除锈并联机器人的载体，采用阿克曼前轮转向结构，通过电动缸控制移动平台转向轮，使其在喷砂作业过程中与钢箱梁保持平行。

Fig.1 Parallel robot for sand blasting and rust removal图1 喷砂除锈并联机器人

由于钢箱梁体积庞大，需要升降机构配合并联操作机构与末端喷枪对不同高度钢箱梁面进行喷砂除锈。在实际操作过程中，升降机构运动会导致移动平台质心位置发生变化，从而引起动力学模型惯性矩阵参数发生改变，进而影响控制器输出力矩，降低移动平台轨迹跟踪控制性能。因此，需要研究质心变化情况下，移动平台高性能轨迹跟踪控制问题。

1 相关研究

建立考虑质心变化的移动平台数学模型是设计高性能轨迹跟踪控制器的基础，目前已有学者针对移动机器人质心偏移与质心不确定问题进行相关研究，并建立考虑质心位置未知的移动平台模型。例如，Filho 等［3］从运动学模型角度推导分析移动机器人质心位置对其轨迹跟踪误差的影响。耿新等［4-5］在移动机器人质心与几何中心不重合的情形下，建立移动平台质心偏移的运动学模型，并将该模型中移动机器人质心与几何中心之间的距离d视为常量。但在生产实践中，由于硬件形变、碰撞磨损、测量误差等原因，实际距离通常无法精确测量。孙忠廷等［6］认为质心仅在移动平台两后轮中轴线上变化。Huang 等［7］针对全向移动机器人质心偏移问题，采用极坐标表示质心位置，然而该方法更适用于构建全向移动机器人的动力学模型。

为此，本文根据移动平台质心坐标与其轨迹跟踪参考点坐标在全局坐标系下的几何位置关系方程，推导质心速度与轨迹跟踪参考点速度的代数方程，由此建立考虑质心变化的移动平台动力学模型。该模型考虑移动平台质心侧偏变化的情况，为动力学控制器设计奠定基础。

移动平台是一类具有非完整约束的多输入、多输出、非线性系统［8-9］。在质心变化情况下，系统的不确定性问题更为突出［10］，将影响移动平台轨迹跟踪精度。因此，针对移动机器人系统存在的不确定性问题，设计滑模控制器提高系统鲁棒性［11］。孙忠廷等［6］针对移动机器人质心位置变化引起的运动学参数不确定性问题，设计关于质心偏移距离d的自适应律，对系统运动学模型参数变化进行自适应控制，然而该方法仅适用于质心沿两后轮中轴线变化情况，难以应用于质心侧偏变化的动力学控制。Peng等［12］针对移动机器人轨迹跟踪控制中出现的参数不确定性与外部干扰问题，提出自适应模糊输出反馈控制算法克服系统不确定性和外部干扰，并削弱滑模控制抖振，但需要预先知道不确定性上界信息。

此外，传统一阶滑模控制存在趋近阶段鲁棒性较差，存在控制抖振问题，系统收敛速度较慢等问题。为此，本文提出一种自适应全局鲁棒超螺旋滑模轨迹跟踪控制算法，既保证系统的全局鲁棒性［13］，又解决传统滑模控制因系统不确定性引起的增益过量问题，同时在一定程度上提高系统收敛速度［14］。

该方法的创新点包括：建立考虑质心变化的移动平台动力学模型，解决现有动力学模型建模不准确的问题，弥补由质心变化引起的误差；设计一种自适应全局鲁棒超螺旋滑模轨迹跟踪控制算法，保证移动平台在质心变化的情况下仍然能够进行高性能轨迹跟踪控制。

2 问题描述

2.1 喷砂除锈并联机器人移动平台运动学模型

本文以车式移动平台（Car-Like Mobile Platform，CLMP）为研究对象［15-16］，质心变化情况下的移动平台结构示意图如图2 所示。其中，OXY 是以地面为参考系的全局坐标系，OrXrYr则是以机器人自身为参考系的局部坐标系。

Fig.2 Vehicle type mobile platform structure图2 车式移动平台结构

选取移动平台两后轮中心点作为移动平台轨迹跟踪参考点，该点为移动平台局部坐标系坐标原点，在全局坐标系中坐标为(x，y)。定义移动平台的位姿为q=[x y θ δ φ]T，其中θ为移动平台运动方向与x轴方向的夹角，δ为前轮转向角，φ为前轮角速度，r为CLMP 的车轮半径，b为CLMP 两后轮间距的1/2，l为CLMP 的前后轮轴间距，G为CLMP 实际质心的位置，在局部坐标系中坐标为(f1，f2)。

假设移动平台在移动过程中，满足纯滚动无滑动即移动平台运动方向始终垂直于车轴，可满足非完整约束方程：

简化后可用矩阵进行重写为：

根据式（1），车式移动平台的运动学模型为：

式中，为满秩的速度转换矩阵，为速度向量V=[v w]T，v表示车式移动机器人的线速度，w为前轮转向角速度。

定义轨迹曲率σ为：

因此，车式移动平台的运动学方程可以表示为：

根据式（4），对时间求导可得：

1.2 质心变化喷砂除锈并联机器人移动平台动力学模型

移动平台质心局部坐标系中的坐标为(f1，f2)，全局坐标系中的坐标为(xG，yG)，全局坐标系下建立移动平台质心位置坐标(xG，yG)与轨迹跟踪参考点坐标(x，y)几何位置关系方程：

求导得：

由于移动平台在水平地面上行驶，其势能近似为零（即U=0），由拉格朗日函数法建立质心偏移喷砂除锈并联机器人移动平台的动力学模型，如式（10）所示：

式中，E(q)为输入转换矩阵，τ为力矩输入向量，AT(q)为非完整约束矩阵，λ为拉格朗日乘子。移动平台的总动能K可表示为：

式中，Kp表示质心偏移喷砂除锈并联机器人移动平台车体的动能，Kw表示移动平台驱动与转向轮的动能，如式（12）、式（13）所示：

式中，mp表示移动平台车体的质量，mw表示车轮的质量，Ip表示车体的转动惯量，Iw表示车轮的转动惯量。

将式（9）、式（12）、式（13）带入式（10）得移动平台动力学模型的矩阵形式为：

式中，M(q)为系统惯性矩阵，为与速度和位置相关的离心力和哥氏力项，τ1、τ2分别为驱动电机输出力矩与转向电机输出力矩。

对式（14）左乘JT(q)消除动力学模型非完整约束项ATλ，并将式（5）代入式（14）得到变换后的动力学方程：

最终，移动平台的动力学模型可表示为：

式中，d(t)为钢砂地面地形阻力等外部干扰。

3 质心变化的移动平台高性能轨迹跟踪控制器设计

首先，从运动学与动力学模型的角度出发，依据运动学模型的位姿误差方程，选择合适的Lyapunov 函数。然后，引入双曲函数趋近律，设计运动学反演滑模控制器。最后，通过控制器的输出线速度vc和轨迹曲率为动力学控制器虚拟速度输入量。移动平台轨迹跟踪控制流程如图3所示。

Fig.3 Controller flow图3 控制器流程

3.1 运动学控制器设计

定义移动平台的参考轨迹位姿qd=[xd yd θd]T，其实际轨迹位姿q=[x y θ]T，可得期望轨迹与实际轨迹的位姿跟踪误差qe：

对式（16）关于时间t求导得：

引理1对于任意x∈R并且|x|＜∞，有ϕ(x)=xsin(arctan(x)) ≥0，当且仅当x=0时等号成立。当xe=0时，考察Lyapunov 函数［17］可得：

求导可得：

当xe=0 时，，根据引理1 可知θe=-arctan(vdye)，则：

其中，当且仅当yevd=0时等式成立。

因此，只要xe收敛至0 且θe收敛至-arctan(yevd)时，系统状态ye收敛为0。根据上述结论设计切换函数：

令ξ=arctan(yevd)，对滑模变量求导得：

将式（19）代入式（24）可得：

整理式（25）可得控制律：

为使滑模变量远离平衡点时快速趋近滑模面，提高系统到达阶段的收敛速度，进一步抑制滑模控制抖振，引入一种新型的双曲函数趋近律［18］：

式中，s为滑模变量，k1、k2、a、b均为大于0 的可调参数，q为正奇数幂次项为双曲正切函数，为反双曲正弦函数。当滑模变量s远离滑模面，滑模变量导数主要由式（27）的第二项-k2asinh(bsq)决定；当滑模变量s趋近零时的主要由式（27）的第一项-k1tanh(as)决定。

滑模变量的收敛速度随着滑模变量s变化而变化，当滑模变量远离滑模面时，反双曲正弦函数可加速滑模变量趋近滑模面；当滑模变量趋近于零时，双曲正切函数可保证滑模变量无限趋近于零而不会绕过零。最终达到加快滑模变量到达阶段的收敛速度的目的，并以双曲正切函数tanh(as)代替符号函数消除滑模控制抖振。

根据式（28）可知，当s=0 时当s＞0 时，tanh(as) ＞0 且asinh(bsq) ＞0，因此；当s＜0 时，tanh(as) ＜0 且asin(bsq) ＜0，因此。综上，当且仅当s=0时成立。

3.2 全局鲁棒超螺旋滑模控制器设计

为保证移动平台的实际速度收敛至运动学控制器所产生的控制速度，本文使用全局鲁棒超螺旋滑模控制方法设计动力学控制器。引入虚拟速度量跟踪误差及其导数为：

设计全局滑模面如下：

式中，滑模变量S(t)=[s1s2]T，移动平台速度跟踪误差分别为移动平台期望速度向量和实际速度向量，且Vc=分别表示移动平台期望线速度与和实际线速度分别表示移动平台期望转向曲率的导数与实际转向曲率的导数，βv＞0，βσ＞0，λ=diag(λ1，λ2)，λ1、λ2为可调正的实数，ϕ(0) 为ϕ(t) 的初始值。

由此可见，当t=0 时滑模变量S=0，滑模控制处于无趋近阶段，从而能够保证控制系统具有较强的全局鲁棒性。

对S(t)求导可得：

在不考虑系统的不确定项的情况下，结合移动平台动力学模型式（16）可得：

选取如下超螺旋滑模控制律为：

其中，α=diag(α1，α2)，ω=diag(ω1，ω2)为可调正定对角矩阵。结合式（28）、式（29）可得移动平台全局鲁棒超螺旋滑模控制器：

基于考虑质心变化的移动平台动力学模型，将式（16）中的外部干扰项转移至超螺旋滑模控制律中，结合式（16）、式（37）可得：

3.3 增益自适应律切换

本文自适应律［14］如下：

式中，βi、γi、μi、ηi、εi为任意正数，αmi为任意小的正常数。

该自适应律基于滑模变量si自适应切换超螺旋滑模控制增益αi、ωi，且无需获取有界不确定性上界的信息。

3.4 有限时间渐进稳定性证明

引理2对于一个连续的系统x∈Rn，假设存在一个连续可微的正定函数V(x)：U→R，并存在正实数a、b和m∈(0，1) 及包含原点的开邻域U0⊂U［20］，使得下式成立：

则系统能够在有限时间内稳定，若U=U0=Rn则系统全局有限时间稳定，收敛时间t满足：

选择如下Lyapunov 函数：

4 实验结果与分析

为验证本文算法的鲁棒性及收敛速度，将考虑质心变化的自适应全局鲁棒超螺旋滑模控制（Centroid-Variation Mode based Adaptive Global Super-twisting Sliding Mode Control，CVM_AGSTSMC）算法与未考虑质心变化的自适应全局鲁棒超螺旋滑模控制（AGSTSMC）算法，考虑质心变化的自适应超螺旋滑模控制（CVM_ASTSMC）算法，考虑质心变化的全局鲁棒超螺旋滑模控制（CVM_GSTSMC）算法进行比较。由于移动平台运动轨迹为重复直线运动，故选取其中一段往返运动轨迹进行仿真实验。

定义移动平台位于钢箱梁一侧的初始位置为坐标原点，平行于钢箱梁的方向为X 轴方向，初始运动方向为X轴正方向，垂直于钢箱梁的方向为Y 轴方向，由此设计移动平台的期望运动轨迹为：

实际工程中通常选择先喷下后喷上的喷砂方式，以避免喷砂堆积物堆积影响钢箱梁底部喷砂除锈的质量。为避免漏喷的情况下提高喷砂除锈效率，升降机构在移动平台沿X 轴正方向运动的加速阶段与沿X 轴负方向的加速运动阶段进行升降运动。根据移动平台尺寸确定由升降机构引起的移动平台质心变化轨迹：

喷砂除锈并联机器人移动平台机构参数如表1所示。

喷砂除锈并联机器人移动平台轨迹跟踪仿真参数如表2所示。

Table 1 Mechanism parameters表1 机构参数

Table 2 Simulink simulation parameters表2 Simulink仿真参数

考虑到移动平台轨迹跟踪存在初始误差，同时为仿真验证移动平台轨迹跟踪转向性能，设置移动平台的初始位姿为

由图4 可见（彩图扫OSID 码可见，下同），CVM_AGSTSMC 控制算法可保证移动平台沿X 方向轨迹跟踪误差在2s 内收敛，相较于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 及AGSTSMC 算法，在移动平台X 方向轨迹跟踪误差的收敛速度更快。由式（61）知，移动平台在14～15s 沿X 正方向减速行驶，在16～17s沿X 轴负方向加速行驶。

由于移动平台先正向减速，再反向加速，且移动平台质心在16～17s 内发生变化，导致移动平台X 方向轨迹跟踪误差在14～18s内增大。

由14～18s 内X 方向轨迹跟踪误差曲线局部放大图可知，考虑质心变化模型的超螺旋滑模控制算法相较于AGSTSMC，轨迹跟踪误差更小。

由图5、图6 可见，CVM_AGSTSMC、AGSTSMC 相较于CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC，收敛速度更快，控制精度更高。

Fig.4 Displacement tracking error curve in X direction图4 X方向位移跟踪误差曲线

Fig.5 Displacement tracking error curve in Y direction图5 Y方向位移跟踪误差曲线

Fig.6 Heading angle tracking error curve图6 航向角跟踪误差曲线

由式（9）可知，移动平台质心位置会影响轨迹跟踪线速度。结合式（65）与图7 可知，在17s 时移动平台质心纵坐标偏移到最大位置，线速度轨迹跟踪误差变大，相较于未考虑质心变化模型的自适应全局鲁棒超螺旋滑模控制算法，考虑质心变化模型的超螺旋滑模控制算法可提高移动平台线速度控制精度。

由图8、图9 可见，所使用的自适应律可有效抑制驱动轮驱动力矩抖振，CVM_AGSTSMC、CVM_GSTSMC、CVM_ASTSMC 相较于AGSTSMC，当移动平台航向角稳态输出为0rad 时（即移动平台沿X 方向期望轨迹直线行驶，转向轮不进行转向），转向轮输出力矩输出更小，趋近于0N，更符合实际控制情形。

Fig.7 Linear velocity tracking curve图7 线速度跟踪曲线

Fig.8 Driving torque of driving wheel图8 驱动轮驱动力矩

Fig.9 Steering torque of steering wheel图9 转向轮转向力矩

4 结语

本文针对喷砂除锈并联机器人移动平台质心变化影响其轨迹跟踪控制精度的问题，提出一种基于考虑质心变化模型的自适应全局鲁棒超螺旋滑模轨迹跟踪控制算法，并通过仿真验证该算法的有效性。

然而，仅采用离线估计的方法获取移动平台质心变化轨迹，会使得系统具有一定的局限性。下一步，将结合智能控制算法实时获取移动平台质心，以提高算法的实用性和普适性。