基于改进CPSO算法的无刷直流电机PI控制器

顾亚明

（上海理工大学光电信息与计算机工程学院，上海 200093）

0 引言

无刷直流电机（Brushless Direct Current motor，BLDC）具有控制灵活性、高转矩、无噪声操作、高效率和体积小等优点，在工业及日常生活中得到了广泛应用［1］。BLDC 的控制方式有模糊控制（Fuzzy Control）、比例积分控制（PI Control）和矢量控制（Field-Oriented Control，FOC）［2］等。目前，PI（Proportion Integration）控制器是BLDC 电机常用的速度控制器。

速度控制器的性能主要依赖于PI 参数的调整。调优是通过寻找合适的PI 控制器的比例、积分参数，以满足期望的控制效果。常规的Ziegler-Nichols 整定方法是Ziegler和Nichols 于1942 年提出来的，该方法是基于受控过程开环动态响应的某些特征参数进行PI参数整定，进行整定的经验公式是基于带有迟滞的一阶惯性模型提出的。这种手动调优的方法也将花费更多时间并可能损坏控制过程中所涉及的硬件。随着智能优化算法的兴起，文献［3］提出一种粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO），选择积分平方误差作为目标函数实现直流无刷电机PI 控制器的参数优化［3］，通过利用PSO 算法模仿鸟类生活的方式进行PI参数优化，解决了手动参数整定需要消耗大量时间的问题，且所寻参数优于Z-N 整定方法的参数。文献［4］提出利用花粉传播算法（Flower Pollination Algorithm，FPA）进行参数优化的方法，利用花粉算法对电机进行不同负载及不同速度下的PI参数优化并进行比较，花粉算法优化的参数能够取得很好的控制效果［4］。随着时间的推移，越来越多学者提出将遗传算法、粒子群算法等智能寻优算法应用于PI控制器参数整定，这些算法的应用也越来越成熟，但是这些单一的智能算法逐渐暴露出其缺点，例如：粒子群算法在粒子寻优过程中容易陷入局部最优、花粉算法在参数寻优过程中收敛速度过慢等问题。

目前，电机转速的控制需求正朝着高精度、高效率的方向发展，因而对控制系统的可靠性提出了更高要求［5-6］。基于此，本文在PSO 算法对PI 控制器参数整定的基础上，提出一种基于改进后混沌粒子群算法的电机PI 控制器参数智能调节方法，解决了粒子群算法容易陷入局部最优的问题，提高了电机转速控制效率。

通过仿真实验，本文证明了基于改进后的混沌粒子群算法（Chaos Particle Swarm Optimization，CPSO）对电机PI控制器的参数优化效果优于Z-N 整定方法、PSO 算法以及FPA 算法。同时，该算法极大地改善了各项性能指标，能够更好地进行电机转速控制。

1 无刷直流电机数学模型

1.1 BLDC电机建模

三相电机的定子绕组分为星形联接方式和三角形链接方式［7］，本文采用三相星形联接的二二导通方式。假设每一相的电阻都相等，定子绕组的三相电压可用式（1）表示。

式（1）中，R是相电阻，ia、ib、ic是相电流，Laa、Lbb、Lcc均为三相绕组自感率，Lab、Lbc、Lca均为三相绕组互感率，ea是a 相感应电动势。

假设每个绕组的所有自感都相等，同样的，所有互感也相等，如式（2）所示。

式中，L是绕组自感，M是绕组互感。

将式（2）代入式（1），可得到式（3）。

对于一个平衡的三相定子绕组，在任何瞬间，所有相电流的总和为0，即ia+ib+ic=0。

将式（4）代入式（3）中，族中的无刷直流电机相电压方程如式（5）所示。

由于相电压不好测量，根据两相导通之间的线电压可得到式（6）。

电机的数学模型函数为直流电压与角速度之间的关系。将电流用角速度表示，如式（7）所示。

式中，Kt为电机转矩系数，J为转子转动惯量，b为黏滞摩擦系数，Ω 为角速度。

因此，线电压方程如式（8）所示。

式中，Ke为反电动势系数。因此，可得传递函数如式（9）所示。

1.2 PI控制器设计

由于PI 控制器实现较为简单，且具有鲁棒性和可靠性，因此是当今行业中使用最广泛的方法［8］。本文采用PI控制方法对电机进行控制，PI控制原理图如图1所示。

Fig.1 PI control schematic图1 PI控制原理图

由图1 可以看出，目标转速与实际转速相减产生误差信号，误差信号e被输入到PI 控制器中，PI 控制器中的比例环节通过积分系数迅速对误差进行调整，但是结果还是会有一定的稳态误差；积分调节能够很好地减小系统的稳态误差，但是会减缓系统的控制速率。PI 控制器在连续时间域中的算法如式（10）所示。

式中，Kp是比例参数，Ti是积分时间常数。

在数字系统中实行采样操作，则式（10）中的积分过程需要离散化，离散的PI表达式如式（11）所示。

式中，Kp为比例参数，Ki为积分时间常数，T为采样周期。

实际上，实现一个理想的PI 控制器是不可能的。在设计PI控制器的方法中，Z-N 整定方法是PI控制器确定参数使用最广泛的一种方法。Z-N 整定方法依赖于人从一个长范围的值中选择合适的积分值，需要耗费一定的人力与时间，且容易产生较大的超调误差。随着智能算法的成熟，将智能算法应用于PI 参数整定也随之成熟，因此通过使用先进的优化算法，可实现更接近理想的响应［9］。

2 求解算法

2.1 粒子群算法

粒子群算法是受到鸟类群体活动的启发，模仿鸟类通过信息共享实现最优路径的行为而建立的一种算法［10］。

粒子是类似于鸟类的概念实体，每个粒子都有两个状态变量，即速度与当前位置［11-12］。每个粒子的位置和速度都是随机初始化的，在每次迭代之后，粒子的速度和位置都会进行更新。粒子的速度更新公式如式（12）所示，位置更新公式如式（13）所示。

式中，Vid（k+1）为第i个粒子在第K+1 次迭代中维度d上的速度为第i个粒子在第K+1 次迭代中维度d上的位置；pbest为当前个体粒子的最优位置；gbest为群体最优粒子的位置；ω 为惯性权重，用于平衡局部与全局寻优；η1、η2为加速系数；r1、r2为0～1之间的随机数。

2.2 改进的混沌粒子群算法

随着迭代次数的增加，传统的粒子群算法暴露出容易陷入局部收敛的缺点。文献［13］、［14］提出混沌粒子群算法（CPSO），在粒子群算法基础上引入混沌变异，在变异过程中可避免粒子产生重复解，改善了PSO 算法因重复粒子过多而产生局部收敛的问题。混沌粒子群算法的粒子混沌变异方式如式（14）所示。

式中，K是迭代次数，xidmax是维度d上第i个粒子位置坐标的最大值，Z（k+1）是第K+1 次Logistic 混沌方程。式（14）中的Logistic 混沌方程是个典型的混沌系统，如式（15）所示。

式中，μ为Logistic 参数，其范围在0～4 之间。当μ=4，且0≤Z（0）≤1（Z（0）≠0.5）时，Z的取值永远不会重复。

混沌粒子群算法虽然解决了粒子群算法容易陷入局部最优的问题，但是混沌粒子群算法的变异概率始终保持不变。若变异概率较低，当种群多样性较小时，则易陷入局部最优。

为了衡量种群多样性，引入了信息熵的概念。当一个系统的混乱程度越高，该系统的信息熵也越高，且越接近于1，因此信息熵可作为系统多样性的一个度量。一个系统的信息熵如式（16）所示。

式中，u是所有输出的集合，Pi是第i 类输出的概率函数。

在粒子群算法中，n 维空间中有m 个粒子，文献［15］、［16］引入了信息熵来改进算法，这些算法以粒子适应度的多样性来衡量粒子的多样性。当种群的粒子坐标差异较大时，由于适应度函数的缘故，这些粒子计算出来的适应度差异较小，则信息熵偏高。若在此时选择变异，粒子可能会偏离原来的寻优轨迹，延长了粒子寻找最优点的时间。本文根据粒子各维度的坐标差异，引入粒子在维度d上的概率函数确定方法，如式（17）所示。

式中，xid是第i个粒子在维度d上的位置坐标，xid min是第i个粒子在维度d上位置坐标的最小值，P（xid）是相应位置坐标的概率函数。

根据一个维度上所有粒子的概率值，用式（16）计算种群在这一维度上的信息熵。在计算的同时，需要对信息熵进行归一化处理，如式（18）所示。

式中，xid是第i个粒子在维度d上的位置坐标，m是粒子个数，P（xid）是相应位置坐标的概率函数。

由于混沌变异会产生不好的效果，因此设定一个信息熵的变异值Emax。若某一维度上的粒子信息熵超过了信息熵的变异值，对该维度上适应度较差的80%的粒子进行混沌变异。若没有超过信息熵的变异值，则认为该维度上的粒子还未出现局部收敛的情况，从而有效解决了混沌粒子群算法容易偏离正确轨道的问题。

本文将改进后的CPSO 算法应用于BLDC 电机的闭环速度控制，算法实现流程如图2所示。

为实现超调量和稳态时间等时域指标的统一优化，本文将积分平方误差与时间乘绝对误差积分准则的和作为适应度函数。基于积分平方误差准则优化的参数能够抑制大误差，基于时间乘绝对误差积分准则优化的参数能够减少系统调节时间，即在有限的迭代次数内寻求误差最小的闭环速度控制方法，如式（19）所示。

该算法对PI 控制器的参数优化流程如图2 所示。初始粒子个数为10，粒子迭代次数为50，惯性权重ω 为0.9，加速系数η1为1.2，η2为0.2，Emax为0.8。

3 仿真实验分析与讨论

为了验证本文方法的有效性，本文采用无刷直流电机作为仿真模型。BLDC 电机仿真模型如图3所示。

Fig.2 Improved CPSO algorithm flow图2 改进后的CPSO算法流程

Fig.3 Simulation model of BLDC motor图3 BLDC电机仿真模型

图3 中，Kt是电机转矩系数，Kt=0.2 kg.m/A；L为等效电感，L=0.36 mH；J为转子转动惯量，J=0.2 kg.m2；b为黏滞摩擦系数，b=0.004 N.m.sec/rad；R 为等效电阻，R=0.026 ohm；Ke为反电动势系数，Ke=0.21 V/rpm。

根据上述参数和式（9）可得直流无刷电机的数学模型公式，如式（20）所示。

本文采用积分误差准则作为目标函数，设定花粉算法的切换概率P 为0.8，粒子数量为10，迭代次数为50，Emax为0.8，变异比例为80%。

首先对电机转速目标值为4 000 转的系统进行参数寻优，通过Z-N 算法、PSO 算法、FPA 算法与改进后的CPSO算法优化的参数如表1所示。

Table 1 Values at 0～4 000rpm表1 0～4 000rpm参数

通过MATLAB 仿真，种群ISE 值优化过程如图4所示。

Fig.4 Optimization process of population ISE value图4 种群ISE值优化过程

通过图4 可以看出，随着迭代次数的增加，ISE 的数值也在不断减小。最终在迭代完成后，获得的最小适应度值为55 240.738。

改进后的CPSO 算法与Z-N 算法、PSO 算法、FPA 算法在电机从0到4 000rpm 的输出响应如图5所示。

Fig.5 Output response based on improved CPSO algorithms and 3 other algorithms图5 改进后的CPSO算法与另外3种算法输出响应

本文采用的上升时间tr是指响应曲线从零时刻到首次达到稳态值的时间，通常定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间，稳定时间ts是指控制对象的整体误差达到2%以内所需的时间，超调量Overshoot 则是指控制系统出现的最大偏差与稳态值的占比。通过MATLAB计算出系统的上升时间tr、稳定时间ts、超调量Overshoot 如表2所示。

本文还采用平方误差积分准则（ISE）如式（21）所示，时间乘平方误差准则（ITSE）如式（22）所示，绝对误差积分准则（IAE）如式（23）所示，以及时间乘绝对误差积分准则（ITAE）如式（24）所示。

Table 2 Comparison results of performance at 0～4 000rpm表2 0～4 000rpm性能对比结果

式中，e（t）为实际输出与期望输出的偏差，t为时间。通过MATLAB 进行计算，得到的系统性能对比结果如表3所示。

Table 3 Comparison results of system performance表3 系统性能对比结果

从图5、表2 中可明显看出：基于改进后CPSO 算法的PI 控制系统的超调和稳态时间小于基于另外3 种算法的系统，上升时间与另外3 种算法大致相同。从表3 可以看到，本文方法在ISE、IAE、ITSE、ITAE 4 个性能指标上的值均优于其他3 种算法。由此可知，经过改进CPSO 算法优化后的参数，在电机转速从0 到4 000rpm 的控制系统中的控制效果和性能指标明显优于另外3种算法优化的参数。

4 结语

为提高PI 控制器的性能，许多智能算法都在不断地更新迭代，如FPA 算法、PSO 算法已证明了其在确定PI 控制器参数方面的有效性。本文将信息熵与混沌粒子群算法的原理相结合，采用改进后的混沌粒子群算法对电机控制系统的PI控制器参数进行调节与优化，并利用MATLAB 进行直流无刷电机转速控制系统的仿真实验。结果表明，对于电机转速响应，改进后的混沌粒子群算法在控制电机速度方面的效果优于其他3 种算法，从而减小了系统误差，并控制系统具有更小的超调量。实验证明了采用基于改进后的混沌粒子群算法对BLDC 的PI 控制器参数调节与优化是有效的，能够获得更好的控制效果，为BLDC 电机驱动系统的控制器设计提供了一个新方法。