一类半线性椭圆型方程Dirichlet问题解的存在性

周 冉, 韦玉程

(1. 吉林大学 数学学院, 长春 130012; 2. 河池学院 数理学院, 广西 宜州 546300)

0 引 言

非线性问题解的存在性可等价转化为适合映射的不动点或适当变分、 半变分问题临界点的存在性, 而变分法是研究椭圆型方程解存在性的有效方法之一, 也是微分方程理论的重要组成部分. 变分法的主要思想是将微分方程解的存在性转化为对应泛函临界点的存在性, 通常涉及两方面选择: 函数空间的选择和能量泛函的选择. 对于函数空间, 具有紧性或能紧嵌入到某类具有较好性质的可积空间(如L2或Lp空间)为最佳; 对于能量泛函, 一般要求是适定的, 且具有尽可能高的正则性. 但在实际应用中这些条件通常很难满足. Moameni[1]在研究非凸自对偶Lagrange算子导出的向量场及发展方程时, 提出了一种新的变分原理, 该变分原理可较灵活地处理势函数问题; Moameni[2-3]用这种新的变分原理, 研究了不具有弱紧性结构的凸变分问题, 得到一些具有超临界增长的椭圆对称边值问题解的存在性； Cowan等[4]用该变分原理研究了超临界Neumann问题解的存在性； Moameni[5]对该变分原理进行了抽象概括, 并应用于一些超临界增长的微分方程解的存在性研究中. 该理论允许将临界点理论应用于给定Banach空间的闭真子集, 并在闭子集上找到临界点, 从而得到关于整个空间的临界点. 将该新的变分原理与经典非线性方法相结合, 可解决一些经典变分原理不能处理的具有变分结构的非线性问题.

本文考虑如下具有超临界增长非线性项的半线性椭圆方程Dirchlet问题:

(1)

其中Ω⊂n是有界开集,f:Ω×→是Carathéodory函数. 对方程(1)的研究目前已有很多结果, 人们利用极小化方法、 山路引理、 Morse理论、 环绕等变分法[6-11], 以及拓扑度理论、 上下解方法、 不动点定理等拓扑方法[12-14]对方程(1)解的存在性、 多重性等进行了一系列研究, 但这些成果大多数针对非线性项f是次临界的情形.对于超临界的情形, 用变分原理进行研究的结果目前文献报道较少.本文在假设f具有超临界增长的条件下, 用Moameni[1]提出的变分原理, 证明问题(1)解的存在性.

1 预备知识与主要结果

设V是实Banach空间,Ψ:V→(-∞,+∞]是一个真、 凸且下半连续函数,K⊂V是凸弱闭子集,Ψ在K上Gteaux可微,DΨ表示其Gteaux导算子,Φ∈C1(V,).根据变分原理, 求算子方程

DΨ(u)=DΦ(u)

(2)

的解, 可转化为在集合V上求方程Ψ(u)=Φ(u)的解, 即证明能量泛函I(u)∶=Ψ(u)-Φ(u)存在具有某种特征的临界点.

记Ψ在K上的限制函数为

定义泛函IK:V→(-∞,+∞]为

IK(u)∶=Ψk(u)-Φ(u).

一般地, 泛函IK是非光滑的.

Moameni[1]提出的新变分原理是通过寻找泛函IK在V闭凸子集K上的临界点得到V上I(u)的临界点, 进而证明方程(2)解的存在性.

定理1[5]设V是自反Banach空间,Ψ:V→是真、 凸的下半连续泛函,K是V的闭凸子集,Ψ在K上处处Gteaux-可微,Φ∈C1(V;).如果下列两个条件成立:

1)(临界点存在条件) 泛函IK:V→(-∞,+∞]：IK(u)=ΨK(u)-Φ(u)存在临界点u0;

2)(逐点条件) 算子方程DΨ(w)=DΦ(u0)在K中有解.

则u0是方程(2)的解, 即DΨ(u0)=DΦ(u0).

对定义在自反Banach空间V上的凸Gteaux可微且下半连续函数Φ:V→, 记Φ*为Φ的Fenchel对偶, 即

其中〈·,·〉表示V*与V的作用.令Λ: dom(Λ)⊂V→V*是线性对称算子.对V的闭凸子集K, 定义ΨK:V→(-∞,+∞]:

定义泛函IK:V→(-∞,+∞]:

IK(w)∶=ΨK(w)-Φ(w).

如果DΦ(u)∈∂ΨK(u), 即

ΨK(v)-ΨK(u)≥〈DΦ(u),v-u〉, ∀v∈V,

则u∈dom(ΨK)称为IK的临界点.

下面给出定理1的另一种形式.

定理2[4]设V是自反Banach空间,Φ:V→是Gteaux-可微、 凸且下半连续泛函,K是V的闭凸子集, 线性算子Λ: dom(Λ)⊂V→V*是对称正算子.如果下列两个条件成立:

1)(临界点存在条件) 泛函IK(w)=ΨK(w)-Φ(w)存在临界点u0∈K;

2)(逐点条件) 线性方程Λw=DΦ(u0)在K中有解.

则u0∈K是方程Λw=DΦ(w)的解.

本文主要结果如下.

定理3设Ω为n中具有C1,1边界的有界域, Dirichlet问题(1)有上下解满足是常数.f:Ω×→是Carathéodory函数, 且满足下列条件:

(i)f(x,u)关于u是增函数;

(ii) 存在02, 使得

注1这里只对非线性项f(x,u)的增长性做p>2的限制, 因此允许f(x,u)关于u是超临界增长的.

2 主要结果的证明

则(V,‖·‖V)构成Banach空间,V*为其拓扑对偶空间.定义线性算子A: dom(A)⊂V→V*,Av∶=-Δv+λv.对函数f:Ω×→, 令F:Ω×→,F(x,u)=f(x,s)ds, 定义Φ:V→为

则问题(1)可改写为Au=DΦ(u).

下面分别验证满足定理2的条件.

证明: 对u∈Lp(Ω),Au∈Lq(Ω)显然成立.设u,v∈dom(A), 则

证毕.

引理2泛函Φ(u)是凸的、 Gatéaux-可微且下半连续.

证明: 因为f是Carethéodory函数且满足定理3中增长性条件(ii), 所以Φ(u)∈C1[15], 因此Φ(u)是Gatéaux-可微和下半连续的.

下面证明泛函Φ(u)是凸的.由定理3中条件(i)知,f(x,u)关于u是增函数, 对固定的x, 有

因此F(x,u)关于u是凸函数.于是对任意u,v∈V,t∈[0,1], 有

证毕.

定义F(x,t)的Fenchel对偶F*(x,s)为

引理3Φ(u)的Fenchel对偶

证明: 对任意的v∈Lq(Ω), 由V在Lp(Ω)中的稠密性, 得

注意到F(x,0)=0,Φ(0)=0<∞, 由文献[16]中命题2.1得

证毕.

引理4Ψ(u)是V上的凸函数.

证明: 对任意的u,v∈V和t∈[0,1], 有

下面证明IK临界点的存在性.

即IK(u)在V中的最小值点是IK(u)的临界点.

证明: 由于ΨK是凸的, 故有

于是

证毕.

即IK(u)有可达的下确界.

于是

于是

另一方面, 由un∈K知

综上可得

由于V是自反的, 故存在u∈V使得un⇀u(或{un}的子列), 由K是闭集知u∈K.对u∈dom(Ψ),

Au=-Δu+λu∈Lq(Ω),Ψ(u)=Φ*(Au),

易验证{un}在W2,q(Ω)中有界.于是在W2,q(Ω)中有un⇀u, 即u∈K∩W2,q(Ω).

下面证明ΨK(u)的弱下半连续性.令v∈Lp(Ω), 由Fenchel对偶的定义, 有

于是

对所有的v∈Lp(Ω)取上确界, 得

即ΨK(u)是弱下半连续的.

下面证明逐点条件成立.

引理7假设f(x,u)满足定理3的条件, 则线性Dirichlet问题

(3)

考虑问题(3)对应的能量泛函

由弱极值原理得

注意到a(x)∈L∞(Ω), 故有

进一步, 存在适当的常数Ca, 使得