Gorenstein FPn-内射模及维数

程志强，赵国强

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在同调代数中，内射模是非常重要的一类模。内射模的推广研究中，Bo[1]首次提出FP-内射模的概念，或称为绝对纯模[2]，用于刻画凝聚环。随后，FP-内射模受到广泛研究，Jain[3]给出了FP-内射环的概念，并得到一些等价刻画；Ding等[4]给出了FP-内射模的同调性质以及与凝聚环的关系。2016年，Bravo等[5]提出FPn-内射模的概念，全体记为FPnI，其中FP1I恰为FP-内射模。另一方面，2012年，Gao等[6]借助FP-内射模序列，提出了GorensteinFP-内射模的概念，它是相对同调代数中非常重要的一类模。受文献[6]的启发，本文引入GorensteinFPn-内射模的概念，主要研究GorensteinFPn-内射模在n-凝聚环和GorensteinFPn-内射模封闭环上的一些重要性质，并给出GorensteinFPn-内射维数的概念，得到一些类似于经典内射维数的结论。

1 预备知识

若Χ是一类R-模，且I⊆Χ，且对于任何R-模正合列0→A→B→C→0，其中A∈Χ，都有B∈Χ⟺C∈Χ，则称R-模类Χ是内射余可解的[8]。根据文献[5]定理5知，当R是n-凝聚环时，FPnI是内射余可解类。

定义1R-模M的FPn-内射维数FPn-id(M)定义为FPn-id(M)=inf{m|存在R-模正合列0→M→E0→E1→…→Em→0，其中每个Ei∈FPnI}。若不存在如上正合列，则称FPn-id(M)=∞。

命题1设R为n-凝聚环，M为R-模，m为非负整数，则下列条件等价：

(1)FPn-idR(M)≤m；

(4)对任意正合列0→M→E0→E1→…→Xm→0，若每个Ei∈FPnI，则Xm也是FPn-内射模。

(4)⟹(1)。取R-模M的内射分解0→M→I0→I1→…→Im-1→L→0，其中每个Ii∈I⊆FPnI，则L∈FPnI，所以FPn-idR(M)≤m。证毕。

2 Gorenstein FPn-内射模

定义2如果存在完备的FPn-内射模正合列E=…→E-1→E0→E1→…，使得M=Ker(E0→E1)，则称R-模M为GorensteinFPn-内射，全体记为GFPnI。其中序列E完备是指对于任意的Q∈FPn且pd(Q)<∞，都有Hom(Q,E)仍正合。

关于定义2，做如下说明：

(1)GorensteinFP1-内射模和文献[5]中定义的GorensteinFP-内射模一致，且GFP1I⊆GFP2I⊆…⊆GFPnI⊆…。

(2)此处定义和文献[9]中的定义不同。

(3)容易得到E中所有的核、像、余核都是GorensteinFPn-内射模，且FPn-内射模一定是GorensteinFPn-内射模，反之未必。

命题2GorensteinFPn-内射模类关于直积封闭。

当环R是n-凝聚环时，GFPnI具有更好的性质。

定理1设R是n-凝聚环，M是R-模，则下列条件等价：

(1)M是GorensteinFPn-内射模；

(2)存在R-模正合列…→E-1→E0→M→0，其中每个E-i∈FPnI；

(3)存在R-模正合列0→K→F→M→0，其中F∈FPnI，K∈GFPnI；

(4)存在FPn-内射R-模的正合列E=…→E-2→E-1→E0→E1→…，使得M=Ker(E0→E1)。

证明(1)⟹(2)，(1)⟹(3)和(1)⟹(4)显然成立。

(4)⟹(1)。只需证对任意的n-有限表现模Q且pd(Q)<∞，都有Hom(Q,E)正合即可。对m=pd(Q)<∞进行归纳，当m=0时显然成立，假设m-1时也成立，考虑正合列0→H→P0→Q→0，其中P0∈P且H∈FPn，那么pdR(H)=m-1，于是得到下列R-模正合复形

0→Hom(Q,E)→Hom(P0,E)→Hom(H,E)→0

容易知道，复形Hom(P0,E)和Hom(H,E)都正合，从而复形Hom(Q,E)也正合，所以M∈GFPnI。

(2)⟹(1)。考察M的内射分解0→M→I0→I1→…，于是存在FPn-内射R-模正合列…→E-1→E0→I0→I1→…，使得M=Im(E0→I0)，由(4)⟹(1)知，M∈GFPnI。

(3)⟹(2)。考察正合列0→K→F→M→0，其中F∈FPnI，K∈GFPnI，从而存在正合列…→E-1→E0→K→0，其中每个E-i∈FPnI，于是存在正合列…→E-1→E0→F→M→0，其中F∈FPnI，每个E-i∈FPnI。定理1证毕。

FPn-内射模一定是GorensteinFPn-内射模，反之未必。于是得到下述命题。

命题3设R为n-凝聚环，则每个GorensteinFPn-内射R-模是FPn-内射R-模当且仅当对任意非负整数m，使得每个GorensteinFPn-内射R-模的FPn-内射维数≤m。

证明必要性显然成立。这里进行充分性证明。设M为GorensteinFPn-内射模，由定义2可知，存在R-模正合列0→L→E1-m→E2-m→…→E0→M→0，其中每个E-i∈FPnI，L∈GFPnI，由于FPn-id(L)≤m，并由命题1可知，M∈FPnI。证毕。

定理2设R为n-凝聚环，0→A→B→C→0为R-模正合列，则下列结论成立：

(1)如果A∈GFPnI且B∈FPnI，那么C∈GFPnI；

(2)如果A∈FPnI且C∈GFPnI，那么B∈GFPnI。

图1 E0→C与B→C的拉回图

证明由定理1的(3)⟹(1)可以得到结论1。

由于C∈GFPnI，则存在正合列0→K→E0→C→0，其中E0∈FPnI，K∈GFPnI。构造的拉回图如图1所示。

由于A∈FPnI和E0∈FPnI，从而有L∈FPnI。由图1的正合列0→K→L→B→0和结论1可得B∈GFPnI。证毕。

由定理2的结论2可知，GorensteinFPn-内射模在扩张下未必封闭，从而引入如下概念。

定义3如果GorensteinFPn-内射模类在扩张下封闭，则称环R是GFPnI-封闭环。

图2 A→B与E→B的拉回图

定理3n-凝聚环R是GFPnI-封闭环当且仅当GFPnI是内射余可解类。

证明充分性显然成立。下面证明必要性，设0→A→B→C→0为R-模正合列，其中A∈GFPnI和B∈GFPnI，所以只需证C∈GFPnI。由于B∈GFPnI，从而存在R-模正合列0→G→E→B→0，其中E∈FPnI，G∈GFPnI。构造的拉回图如图2所示。

由于A∈GFPnI和G∈GFPnI，且由已知条件环R是GFPnI-封闭环，于是有D∈GFPnI，从而得到R-模正合列0→D→E→C→0，其中E∈FPnI，D∈GFPnI。由定理2知C∈GFPnI。定理3证毕。

推论1如果n-凝聚环R是GFPnI-封闭，则GFPnI关于直和项封闭。

证明根据定理3和文献[8]命题1.4可证。证毕。

3 Gorenstein FPn-内射维数

定义4R-模M的GorensteinFPn-内射维数GFPn-id(M)定义为inf{m|R-模正合列0→M→G0→G1→…→Gm→0，其中每个Gi∈GFPnI}；若不存在如上正合列，则称GFPn-id(M)=∞。

引理1设R是GFPnI-封闭环，如果存在R-模正合列0→A→G1→G0→M→0，其中G0,G1∈GFPnI，则存在R-模正合列0→A→G2→E→M→0，其中E∈FPnI，G2∈GFPnI。

证明由于G0是GorensteinFPn-内射模，则存在R-模正合列0→K→E→G0→0，其中E∈FPnI，K∈GFPnI。令L=Ker(G0→M)，从而存在R-模正合列0→L→G0→M→0和0→A→G1→L→0。构造的拉回图如图3所示。

图3 L→G0与E→G0的拉回图

从而存在正合列α：0→B→E→M→0，再次构造拉回图，如图4所示。

图4 G1→L与B→L的拉回图

由于G1,K∈GFPnI，从而有G2∈GFPnI，故存在正合列β：0→A→G2→B→0，根据正合列α和β可知，存在R-模正合列0→A→G2→E→M→0，其中E∈FPnI和G2∈GFPnI。引理1证毕。

定理4设R是GFPnI-封闭环和n-凝聚环，M是R-模，则GFPn-id(M)≤m当且仅当对于任意整数k(1≤k≤m)，存在R-模正合列0→M→G0→G1→…→Gk-1→Ek→Ek+1→…→Em-1→Em→0，使得当0≤i

图与的拉回图

假设GFPn-idR(M)≤m-1时，结论成立。当GFPn-idR(M)≤m时，则存在R-模正合列0→M→G0→G1→…→Gm→0，其中每个Gi∈GFPnI。令L=Coker(M→G0)，从而有GFPn-idR(L)≤m-1，由归纳假设可知，对任意整数k(2≤k≤m)有正合列0→L→G1→…→Gk-1→Ek→Ek+1→…→Em-1→Em→0，使得1≤i

α∶0→B→E2→E3→…→Em→0和β∶0→M→G0→G1→B→0

考察正合列β，其中G0∈GFPnI，G1∈GFPnI，根据引理1知，存在正合列γ∶0→M→G0→E1→B→0，其中G0∈GFPnI，E1∈FPnI。粘接正合列γ和α得到正合列0→M→G0→E1→E2→…→Em→0，其中G0∈GFPnI,E1∈FPnI。定理4证毕。

由定理4可以得到求模的GFPn-内射维数的一些方法。

推论2设R是GFPnI-封闭环和n-凝聚环，M是R-模，则有GFPn-idR(M)=inf{m|存在R-模正合列0→M→A0→A1→…→Xm→0,其中每个Ai∈GFPnI,Xm∈FPnI}=inf{m|存在R-模正合列0→M→Y0→B1→…→Bm→0,其中每个Bi∈FPnI,Y0∈GFPnI}。

4 结束语

在文献[6]提出的GorensteinFP-内射模概念基础上，本文进行进一步推广，在n-凝聚环和GFPnI-封闭环上得到GorensteinFPn-内射模是内射余可解类并且关于直和项封闭，并给出GorensteinFPn-内射维数的刻画。后续计划研究GorensteinFPn-内射模相对应的GorensteinFPn-平坦模及其之间的关联。