带P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的唯一性

杨可丽，吴克晴

(江西理工大学理学院，江西 赣州 341000)

0 引言

分数阶微分方程理论因其广泛的应用而日趋完善，并取得了许多有意义的成果[1-7].P-Laplacian算子出现在非牛顿流体中的非线性现象，可以建立复杂的过程模型，中外学者越来越重视对于含有P-Laplacian算子的分数阶边值问题可解性的研究[8-13].利用非线性泛函分析技术来研究分数阶微分方程边值问题已有大量文献.但是，运用算子方程的不动点定理来研究带P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的相关文献较少见.

TUDORACHE等[4]研究了带参数的Riemann-Liouville型奇异分数阶微分方程：

(1)

具有非局部边界条件：

利用相关线性算子第一特征值的性质，结合不动点指数定理获得了该边值问题正解的存在性与多重性.当式(1)中的λ=h(t)=1，非线性项f具有变号且关于t=0和t=1均为奇异时，AGARWAL等[5]运用不动点定理以及特殊有界集上的高度函数得到该半正问题三个正解的存在性.当式(1)中的λ=h(t)=1时，LUCA[6]应用Krein-Rutman理论结合不动点指数定理获得了该边值问题正解的存在性与多重性.但是都没有考虑带P-Laplacian算子条件下正解的唯一性.

AFSHARI等[7]研究了以下分数阶边值问题唯一正解的存在性：

(2)

运用锥上的混合单调算子与γ-凹算子，得到边值问题(2)的唯一正解与逼近唯一正解的迭代序列，但该问题的非线性项未含有分数阶导数与线性算子.

受文献[4,7]的影响与启发，本文研究如下带P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题：

(3)

1 预备知识

定义1[14]若α>0，函数u∶(0,+∞)→R的Riemann-Liouville型分数阶积分为

定义2[14]若α>0，函数u∶(0,+∞)→R的Riemann-Liouville型分数阶导数为

引理3 设y∈C[0,1]，若Δ≠0，则分数阶边值问题：

(4)

(5)

(6)

结合边界条件u(0)=u′(0)=…=u(n-2)(0)=0，则有c2=c3=…=cn=0，从而式(6)变成

(7)

(8)

最后将式(8)代入式(7)中，则可得出结论成立.

引理4[5]假定Δ>0，则格林函数G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])具有如下性质：

定义3[17]设E为实Banach空间，对于锥P⊂E，定义E中的偏序关系，即y-x∈P⟺x≤y.若存在常数

引理5[7]令P为实Banach空间E上的正规锥，γ∈(0,1)，A,B∶P×P→P为混合单调算子，并且A∶P×P→P为γ-凹算子，B∶P×P→P为次齐次算子，且满足以下条件：

(i)存在h0∈Ph，使得A(h0,h0)∈Ph，B(h0,h0)∈Ph；

(ii)存在一个正常数δ，使得对∀u,v∈P，有A(u,v)≥δB(u,v).

则有以下结论：

①A∶Ph×Ph→Ph，B∶Ph×Ph→Ph；

②存在z0，w0∈Ph,r∈(0,1)，使得rz0≤z0≤w0，z0≤A(z0,w0)+B(z0,w0)≤A(w0,z0)+B(w0,z0)≤w0；

③算子方程A(u,u)+B(u,u)=u在Ph有唯一解u*；

④对任意初值u0,v0∈Ph，可以构造迭代序列un=A(un-1,vn-1)+B(un-1，vn-1)，vn=A(vn-1,un-1)+B(vn-1,un-1),n=1,2,…；当n→∞时，则有un→u*,vn→v*.

注 当引理5中的算子B为一个零算子时，引理5也成立.

2 主要结论

做出如下假设：

(H2)对λ∈(0,1),t∈[0,1],u,v∈[0,+∞),有g(t,λu,λ-1v)≥λp-1g(t,u,v)；存在常数γ∈(0,1)，使得对λ∈(0,1)，t∈[0,1]，u,v∈[0,+∞)，有f(t,λu,λ-1v)≥(λγ)p-1f(t,u,v).

(H3)存在正常数δ，使得对t∈[0,1]，u,v∈[0,+∞)，有f(t,u,v)≥δp-1g(t,u,0).

(H5)∃γ∈(0,1)，使得对∀λ∈(0,1)，t∈[0,1],u,v∈[0,+∞],有f(t,λu,λ-1v)≥(λγ)p-1f(t,u,v).

定理1 若Δ>0，且使得条件(H1)～(H3)都成立，则边值问题(3)有唯一正解u*∈Ph，其中，h(t)=tα-1，t∈[0,1]，对u0∈Ph，构造迭代序列：

当n→∞时，则有un(t)→u*(t).

证明 由引理3可知,边值问题(3)可以转化为如下等价的积分方程：

定义两个算子A,B∶P×P→E，

仅仅只有u满足算子方程u=A(u,u)+B(u,u)时，u是边值问题(3)的解.

结合假设条件(H1)与引理4易得出A,B∶P×P→P.

对于(u1,v1),(u2，v2)∈P×P,u1≥u2,v1≤v2,结合引理4和条件(H1)，有

对于γ∈(0,1)，λ∈(0,1),(u,v)∈P×P,结合条件(H2)，有

即A(λu,λ-1v)(t)≻λγA(u,v)(t)，所以A∶P×P→P为γ-凹算子.

即B(λu,λ-1v)(t)≻λB(u,v)(t)，所以，B∶P×P→P为次齐次算子.

结合引理4与条件(H1)，有

从而有0

所以，有A(h,h)∈Ph.

结合引理4与条件(H1)，有

由条件(H1)，有g(τ,1,0)≥g(τ,0,k*)>0，即0

所以，有B(h,h)∈Ph.

对于(u,v)∈P×P，结合条件(H3)，则有

所以，有A(u,v)(t)≥δB(u,v)(t).因此引理5中的条件都成立，从而u=A(u,u)+B(u,u)在Ph中有唯一不动点u*，对任意初始值u0∈Ph可构造迭代序列un=A(un-1,un-1)+B(un-1,un-1),n=1,2,…，当n→∞时，则有un→u*.从而边值问题(3)有唯一正解u*∈Ph，对于序列：

当n→∞时，则有un(t)→u*(t).

推论1 若Δ>0，且满足条件(H4)(H5)，则边值问题：

在Ph中有唯一正解u*，h(t)=tα-1,t∈[0,1].对于u0∈Ph，构造迭代序列：

当n→∞时，则有un(t)→u*(t).

3 数值算例

例1 分析以下分数阶边值问题：

(9)

对于t∈[0,1]，λ∈(0,1)，u,v∈[0,+∞)，有

令δ=1，有

所以定理1的所有条件都成立，根据定理1可得出边值问题(9)在Ph中有唯一正解u*，h=t7/2，t∈[0,1].对任意给定的初始值u0∈Ph，可构造如下序列：

当n→∞时，有un(t)→u*(t).

4 结语

带P-Laplacian算子的分数阶微分方程是一般微分方程的推广，在各种非线性现象、弹性问题、扭转蠕变问题、热辐射问题等建模中有广泛的应用.本文利用锥上混合单调算子的性质，根据相关算子方程的不动点定理获得了边值问题(3)唯一正解的存在结果以及逼近唯一正解的迭代序列.需要指出的是，文献[3-6]都只考虑了正解的存在性与多重性，未考虑带P-Laplacian算子的条件下正解的唯一性，本文对此进行了扩展.此外还可以进一步研究其在带有参数的条件下正解的不存在性.