与三角形有关的三类最值问题的解法

王琦

与三角形有关的最值问题在高中数学中十分常见，通常要求根据三角形的边、角及其关系，求三角形的角、边长、周长、面积的最值，与三角形有关的最值问题侧重于考查勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义、诱导公式、辅助角公式、两角和差公式等.下面结合实例来探讨一下与三角形有关的最值问题的解法.

一、求三角形中角的最值

△ABC的周长可用a+b+c来表示，由于a+c未知，所以需运用正弦定理将将角化为边，求得a+c的表达式，再运用两角的和差公式和辅助角公式将其化简为只含有正弦函数的形式，根据正弦函数的有界性求得最值.

三、求三角形面积的最值

可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角，在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180°;（2）三角形的兩边之和大于第三边;（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.

（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）