一类改进混沌Lur′e系统的滞后同步判据*

2022-07-19 03:09:54汤红吉余跃张正娣

动力学与控制学报 2022年2期

汤红吉余跃† 张正娣

(1.南通大学理学院，南通 226019)(2.江苏大学理学院，镇江 212013)

引言

若系统的动态行为中存在混沌现象，则称该系统为混沌系统[1-4].对于混沌系统研究的一个重要方面是混沌同步.在过去的几十年，混沌同步广泛应用于物理、化学反应堆、生态系统、安全保密通讯等众多领域.目前对于实现混沌同步的方法已在大量文献中得到相关研究和发展[5-8].

一些混沌系统如蔡氏电路以及超混沌吸引子是可以建立为Lur′e系统的模型.Lur′e系统的滞后反馈同步主要是利用主系统的滞后输出和从系统的滞后输出之差来作为反馈输入使得相应的误差闭环系统-时滞系统-渐近稳定[9-12]. 因此，关于时滞系统的若干研究成果可以应用到这个误差闭环系统. 目前，关于混沌Lur′e系统的滞后反馈同步已有大量相关的研究成果[7-12].例如, 在Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF)构造方面，Ge等[13]构造了时滞分解的LKF，Wang等[14]构造了增广的LKF，Zhang等[15]构造了含有多重积分的LKF.在估计LKF沿误差系统的导数方面，相关学者[16-18]则是利用了各种积分不等式，进而得到LKF导数更紧的上界.无论是构造更一般的LKF，还是利用先进的积分不等式，其目的都是为了得出时滞的最大上界.随着时滞系统分析方法的改进，可以期望在混沌Lur′e系统的滞后反馈同步问题上有更好的研究结果.

本文主要是考虑了混沌Lur′e系统滞后反馈的同步问题.同时，受Zhang等[19]学者的启发，构造了一个适当的增广LKF，在估计LKF沿误差系统的导数时，通过零等式引入自由矩阵，利用积分不等式得出该系统存在滞后反馈控制器的充分条件，并以LMI的形式表示. 最后数值算例表明本文方法的有效性和优越性.

1 系统描述及引理

考虑如下的主从混沌Lur′e系统

1．1 统描述及引理

(1)

(2)

U:u(t)=K(p(t-d)-q(t-d))

(3)

其中，x(t),y(t)分别是主系统和从系统的状态，A,B,C,H则是具有适当维数的常数矩阵，K是待定的控制器的增益矩阵.f(·)满足扇形条件，即

(4)

令e(t)=x(t)-y(t)，则误差系统可表示为

(5)

其中g(Ce(t))=f(Cx(t))-f(Cy(t)).本文的主要目的是设计形如系统(3)的控制器，使得系统(5)渐近稳定. 在给出本文的主要结果之前，我们首先给出相关引理.

引理[20]ω:(a,b)→Rn是向量函数，R,Z是对称正定矩阵，使得如下的积分有意义，则

(Γ1ξ(ω,a,b)),

Γ2ξ(ω,a,b)，

(Γ3ξ(ω,a,b)),

ξ(ω,a,b)=col(ω(b)ω(a)ω1(a,b,s)

ω2(a,b,s)),

2 主要结果

为表述简单，定义如下符号

定理1对于给定的d,a,误差系统(5)渐近稳定，若存在对称矩阵P,T,以及对称正定矩阵Q,Zi(i=1,2,3,4)，对角正定矩阵Λ1,Λ2，具有适当维数的矩阵G,Y,使得如下矩阵不等式成立，

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Ω=Ω1+Ω2+Ω3+Ω4+Ω5<0

(6)

其中，