同方向同频率简谐振动的合成在光的干涉和衍射中的应用

徐红霞

(上海工程技术大学数理与统计学院，上海 201620)

目前，理工科《大学物理》课堂学习简谐振动的合成时往往只讨论两个简谐振动的合成，对两个以上同方向、同频率简谐振动的合成问题不予讨论，或是在教材中属于带*号内容[1]。但这部分内容却是定量研究光的干涉和衍射的基础，其尤为重要。

本研究从多个同方向、同频率且同振幅的简谐振动的合成结果出发，给出光的双缝干涉和衍射的光强的定量表达，分析其条纹特点。

1 多个同方向、同频率且同振幅的简谐振动的合成

多个振动方向相同、振动频率相同的简谐振动的合运动仍然是同方向、同频率的简谐振动，其合运动的复杂程度取决于各分振动的振幅和相位。对于N个同方向、同频率并且振幅相同、相位依次相差相同的Δφ的简谐振动，若振动的表达式分别为：

x1=A0cos(ωt)

x2=A0cos(ωt+Δφ)

x3=A0cos(ωt+2Δφ)

……

xN=A0cos[ωt+(N-1)Δφ]

可以用多种方法证明[2]这N个简谐振动的合振动x=Acos(ωt+φ)的合振幅为：

(1)

当Δφ=2kπ(k=0,±1,±2，…)时，由式(1)可知合振幅为：

(2)

属于是00型不定式。根据洛必达法则，这时的合振幅最大，有Amax=NA0。

当NΔφ=2k′π(k′=±1,±2，…)且Δφ≠2kπ(k=0,±1,…)时，由式(1)可知合振幅有最小值Amin=0。需要注意的是，在这里k′的取值只能为k′=±1,±2，…，±(N-1),±(N+1)…,±(2N-1),±(2N+1)…，k′不能取值N的倍数(k′≠0,±N,±2N,…)。这表明，对于这N个简谐振动的合成，在合振幅取两个最大值之间，有N-1个极小值，同时还有N-2个次级极大值。

2 两个同方向、同频率且同振幅的简谐振动的合成与双缝干涉

当N=2时，由式(1)得合振幅为：

干涉叠加的光强可写为：

3 N(=很大)个同方向、同频率、同振幅且相位差Δφ很小的简谐振动的合成与光的单缝衍射

(3)

相应的光强为：

(4)

表1 单缝夫郎禾费衍射部分明纹的光强Tab.1 Part of bright light intensity of single slit Flanghefer diffraction

4 N(=很大)个同方向、同频率、不同振幅且Δφ很小的简谐振动的合成与光栅衍射

(5)

(6)

相应的光强为：

(7)

当(a+b)sinθ=kλ, (k=0, ±1, ±2, …)时，由式(7)得：

(8)

当N(a+b)sinθ=k′λ但(a+b)sinθ≠kλ时，由式(7)得I=0。这组衍射角光线的汇聚处即为光栅的暗纹。k′不能取N的倍数，k′的取值为k′=±1,±2…±(N-1),±(N+1),…,±(2N-1),±(2N+1)，…。对于有N条缝的光栅，每两条主明纹之间，光强有N-1个极小，还有N-2个次级极大。缝数N越多的光栅，暗纹和次级明纹越多，主明纹的宽度则越细。

式(8)同时满足sinNβ=0但sinβ≠0即sinu=0但u≠0可以得到缺级条件，在此不作详细讨论。

5 结语

目前，大多数大学物理课程中关于光的干涉和衍射，一般只讨论条纹的位置和定性结果，对光强不给予详细分析。从以上分析可以看出，在讨论光的干涉和衍射问题时，从简谐振动的合成出发，分析光强问题相对比较简洁，学生并不难理解。以这条主线学习波的干涉、光的干涉和衍射，有助于学生对物理知识系统性的把握。此部分内容可作为光的干涉和衍射的总结课内容，也可以作为具有“挑战度”的课外作业布置给学生，有助于学生的分析解决问题能力的提高。