“适度优化”烛照数学思维的光芒

范林伟 曹炯

【摘   要】学生在小学四年级时已经具备了用量角器量角和画角的经验，他们进入中学之后还将学习用尺规画角。由于《义务教育数学课程标准（2022年版）》在小学阶段引入了“尺规作图”，“用尺规画角”一课应运而生。通过本课教学，学生既丰富了画角的技能，又拓宽了对尺规作图的理解，深刻感悟数学作图的价值。

【关键词】适度优化;尺规作图;画角;几何直观

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）在小学阶段新增了“尺规作图”的内容，主要包括用尺规作三角形的周长、用尺规作等长线段和用尺规作三角形等，那么能否将“用尺规画角”进一步拓展渗透到小学阶段呢？经过数次实践，“用尺规画角”的教学路径逐步清晰，它既丰富了学生画角的技能，巩固了他们尺规作图的方法，而且还使学生深刻感悟了这种新的作图方式的数学价值。

【课前慎思】

随着“2022年版课标”的颁布，“尺规作图”作为新增内容进入教师的视野。为了使学生深刻感受“尺规”的功能及其作图的数学价值，本节课教师立足画等长线段、画三角形的教学基础，在六年级设计“用尺规画角”一课，使学生在画角中进一步熟悉尺规作图的数学道理与基本方法，充分体验“数学好玩”的魅力，为中小衔接做好准备。本节课的教学目标如下。

1.会用尺规作图的方法作一个角等于已知角，能作一个角等于两个角的和，会验证三角形的内角和是180度。

2.经历用尺规画角、验证三角形内角和的过程，提高动手操作、推理论证的能力，进一步发展推理意识与几何直观。

3.感受尺规作图的数学价值与魅力，提高数学学习的兴趣。

【教学实践】

一、关联经验，探索新知

师：同学们，这节课我们将要挑战一个新任务——用尺规画角。

1.尝试画角

师（呈现任务一，如图1）：第一个任务是用尺规作图的方法画一个与∠A同样大小的角。注意，画角时请保留作图痕迹，便于大家能更快地看懂你的想法。

（学生画角，教师巡视）

2.交流反馈

师（投影呈现学生作品，如图2）：大家能看懂吗？请这位同学说一说是怎样画出这个角的。

生：首先，我把这个角的两个端点连起来，变成了一个三角形。（教师在图上标出三角形B、C两个顶点）接着，我在右边画了一条射线，用圆规量出AB的长度，在射线上截取和AB同样的一个长度;用圆规量出AC的长度，以A' 为中心画出一段弧;用圆规量出BC的长度，以B' 为中心再画出一段弧。最后，我把这个交点和A' 点连起来。

师：谁听懂了？他是怎么想的？

生：他先画了一个三角形，再画了和它一样大的三角形，这个角就画好了。

师（呈现作品2，如图3）：让我们再来听听这位同学的想法！

生：我的方法和刚才这位同学的方法是一样的，只是我没有把第三条边补出来。

师（小结）：看来大家都是先在这个角的基础上创造了一个三角形，然后通过画三角形的方法画出了一个与∠A同样大小的角。

（设计意图：教学中，教师引导学生自觉地将画线段与画三角形的数学活动经验迁移到畫角的探究过程中，成功画出了与∠A同样大小的角。这说明学生能够借助用尺规作三角形的办法来画角。）

3.丰富体验

师（呈现任务二，如图4）：锐角会画了，其他的角你们会画吗？请大家拿出练习纸，分别画出与∠B、∠C一样大的角。

（学生画角，教师巡视）

师：谁愿意和大家分享一下，你是怎么画出和∠B同样大的角的？

（师投影呈现学生作品，如图5）

生：首先，我在原来这个角上，把这两个点连起来，补全了一个钝角三角形。然后，我画了一条射线，用圆规在上面画了一条与AB一样长的线段，用圆规量出线段BC的长度，并以这个点（射线顶点）为圆心、BC为半径画弧，量出这段连接线AC的长度，以这个点为圆心再画了一段弧。最后，我把这个交点和顶点连起来。

师：仔细观察右边这个角的作图痕迹，他画对了吗？

生：画对了。

师：你们画对了吗？请用尺规作图的方法帮你的同桌也来验证一下。

（同桌相互验证）

（设计意图：教师改变学习任务再次驱动学生画角，使他们在画钝角、直角的过程中熟练掌握画角的技能，为后续学习优化方法做准备。）

4.微课学习

师：刚才大家借助画三角形的方法画出了指定大小的角。还有不同的画角方法吗？我们一起来看一个微课！（如图6）

（学生观看微课后，教师呈现关键步骤）

师：你们都看懂了吗？微课中的画法和你们刚才的画法有什么不同呢？

生：微课中的画法是任意定一个长度，画一条弧。

生：这条弧与角的两边各有一个交点。

生：比我们多了一次用圆规画弧。

师：请大家再仔细观察，微课中的画法和大家刚才的画法，有什么相同的地方？

（学生没有反应，教师追问）

师：微课中的画法有没有创造出三角形呢？

生：有的，把点B和点C连起来之后就是一个三角形。

师：仔细观察，微课中创造的这个三角形有什么特别之处？

生：这是一个等腰三角形。

生：我发现微课中的画法也是借助画三角形来画角的。

5.优化画角

师：微课中介绍的这种方法，在后面的学习中你会发现它的好处的。下面，我们就来练习一下这个新的方法，请在刚才的两个角中任选一个，用微课中介绍的新方法来画一画。

（学生画角，教师指导）

师：你们画好了吗？谁来说说你是怎么用新方法来画角的？

（师投影呈现学生作品，如图7）

生：我先用圆规在原来的角上画了一条弧，标出点B和点A，然后以CA为半径在下面的射线上画一条弧，再以AB的长度为半径画一条弧，最后把这两条弧的交点E和射线的端点连起来。

（设计意图：教师通过微课向学生介绍了画角的新方法，并引导他们将其与之前的方法进行比较。这既有利于发展学生的数学眼光，发现此方法背后的数学原理，又有利于发展学生的推理意识，发现优化方法的数学本质。）

二、拓展转化，思维挑战

1.理解问题

师（呈现任务三，如图8）：同学们，我们再来挑战一个任务“画一个角，使它等于∠1+∠2”。

（学生画角，教师巡视）

（设计意图：从“画一个角”到“画一个与两角度数之和相等的角”对学生来说是一次思维的挑战，是培养学生作图能力的有效途径，也为学生后续用尺规作图的方法验证三角形的内角和是180°做准备。）

2.对比分析

师：老师收集了两幅作品，先来看第一幅，请他来介绍一下想法。

（师投影呈现学生作品1，如图9）

生1：我先用刚才微课中介绍的方法画了一个∠1，再以∠1的一条边为起点，最后用同样的方法画出∠2。

师：第一位同学重复了两次画角的过程。我们再来看第二位同学的方法。

（师投影呈现学生作品2，如图10）

生2：我先画了一个∠2，再以∠2的一条边为∠1的起始边，取了与∠2一样的长度（即圆的半径不变），画了一个∠1。

师（整体比较）：你们觉得哪种方法简便一些？简便在哪里？

生3：第二位同學的方法简便一些。因为她画弧的时候半径没有变，可以少画一次。

生4：第二位同学的方法看起来也比较清楚。

师：我们来整理一下这个好方法。第一步，确定同一个半径的长度，用圆规分别在∠1和∠2上画弧;第二步，先画出其中的一个角，弧要画的长一些，再画出另一个角。

（设计意图：通过对两种不同画法的比较，学生在观察、理解和比较中优化画角的方法，再次体验前面微课中介绍的画角方法的优越性，充分感知数学操作活动中的简洁美。）

三、适度迁移，空间再塑

1.自主尝试

师（呈现任务四，如图11）：求两个角的和你们会画了，求三个角的和行不行？

生：行。

师：接下来，我们就进入本节课的终极挑战——任意画一个三角形，用尺规作图的方法验证三角形的内角和等于180度。这个问题其实是让我们解决什么问题？

生：就是把三个角拼在一起。

（学生尝试，教师巡视）

2.汇报展示

师：如果你已经完成了，可以把自己的想法说给组内的同学听一听。

（生交流。数分钟后，师投影呈现学生作品，如图12）

师：我们来看这位同学的作品，他是怎么画的？

生：他先画了一个三角形，然后把这个三角形的三个角分成三大块，接着在右边画了一条射线，再用拼接的方法，把这三个角依次画下来，拼起来正好是一个平角，就是180度。

生：他画弧的时候，半径保持不变，这样比较简便。

师：我们来观察一下他的作图痕迹，他画了三段弧，所创造的这三个三角形有什么特点？

生：它们都是等腰三角形。

师：画弧的时候，半径保持不变，有什么好处呢？

生：我们在后面把三个角拼在一起时，可以先画一条长的弧，后面要拼几个角，只要再画几次就可以了。

师：我们来数一数，拼三个角，我们只画了四次弧，简便了不少啊！

（设计意图：教师组织学生使用优化的方法来进行验证，即先用同样长的半径，构造了三个等腰三角形，再将三个角拼接在一起，既体验了方法的简便性，又了解了用尺规作图的方法验证三角形内角和的操作步骤，掌握了作图的关键，发展了几何直观水平和空间观念。）

四、课堂总结，深度交流

师：今天我们学习了用尺规作图的方法来画角，这节课中令你印象最深刻的是什么？

生：我知道了，不用量角器也能画出与已知角同样大小的角。

生：要把多个角画在一起时，用同样的半径画弧能更加简便。

【教学反思】

“2022年版课标”在第四学段中提出“能用尺规作图：作一个角等于已知角”。显然，这是初中数学的教学要求，所以本节课属于小学阶段的拓展课，安排在六年级。实践表明，在前面两节课的教学基础上引导学生自主探究“用尺规画角”是完全可行的。这节课既有效地利用了学生用尺规画线段和画三角形的操作经验，又衔接了第四学段尺规作图的相关内容。

一、从动到静，内化思维过程

课始，教师唤醒学生“画三角形”的经验，开门见山地提出第一个画角任务。大多数学生自然地想到将角补成三角形，用圆规量出三条边的长度，再借助画三角形的方法画出与∠A同样大小的角。在画完钝角、直角之后，学生对于画角的步骤、方法以及原理已经了然于胸了。可见，多样化的画角活动丰富了学生的操作体验，使其成功地将作图的道理内化于心、外化于行。

二、从会到慧，提升思维品质

课中，教师通过微课引入中学阶段的画角方法，使学生感到耳目一新。为了使学生充分感知此方法的优越性，教师运用对比策略使他们明白“通过画一条长弧创造出一个等腰三角形，相当于少画一条边”。之后，教师组织学生利用优化的方法二次画角，落实“做中学”的教学理念。在画一个度数等于两角之和的角时，教师及时引导学生对作图痕迹进行辨析，感受解决问题策略的多样化，体会“取同样长的半径画长弧”的巧妙之处。这两次优化便于学生体会数学的简洁美，使他们的数学思考更加通透与敞亮，也为后续通过作图解释三角形的内角和为什么是180°提供了经验。

三、从习到用，体验作图价值

“尺规作图”源于古希腊的数学课题。它要求在限制工具的条件下，用有限次操作解决数学作图问题。教学本节课时，当学生掌握画一个度数等于两角之和的角的作图方法之后，教师组织学生利用尺规作图的方法来验证三角形的内角和是否为180度。这其实就是在引导学生打破原有的量角、拼角、撕角的经验，利用尺规作图的方法进行数学的“再创造”。

这节课不仅有利于学生进一步提高动手操作能力和几何直观，而且能使他们充分感悟尺规作图在小学数学学习中的重要价值，深刻地体会尺规作图是一种有效的解决问题的新方式。

（1.浙江师范大学附属嘉善实验学校   314100

2.浙江省嘉兴市嘉善县教育研究培训中心   314100）