“新思维具象图”在初中一元二次方程中的运用

李碧秀

（晋江市潘径中学，福建 晋江 362271）

一元二次方程在中学数学教学中占有重要的位置.一方面，它起到了贯通前后知识的作用，不但对前面学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识进行巩固，又对今后将学习的其他高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下良好的学习基础；另一方面通过一元二次方程的教学过程可以将高中数学学科六大核心素养等渗透到课堂中.为让学生能更好地理解和掌握一元二次方程的运用方法，需要运用更有效的教学方法来培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等能力.笔者在近三年的教学中，运用了“新思维具象图”这一新的教学法对一元二次方程的解法进行梳理、归类，通过新教学法的开展，促进了学生思维能力的提升.

一、认识“新思维具象图”的内涵及价值

“新思维具象法”是福建师范大学物理与能源学院陈祖标老师在传统“思维导图”的启发下，通过与认知科学、思维科学、可视化理论等相关学科研究成果相结合，创造性地提出了这一新的教学法.晋江市侨声中学张鹉老师在教育部重点课题中做了进一步的研究，并在侨声潘径教育集团校全科推广.［1］笔者将此法运用在初中数学科的教学中，经过三年多的教学实践，教学效果显著.

“新思维具象法”的内涵是：通过借助拟人化或拟物化的“图片”方式，将在头脑中“看不见、抽象的知识关联、结构、思维路径等”转化成为“看得见、具象化的图形”表达出来，这样就使得“看图知其意”.这种全新的思维教学法运用到我们的实际教学中，将知识结构等绘制成“新思维具象图”，除了有助于培养学生科学思维，还可以让教师及时发现学生的思维中存在的不足之处并进行纠正，这样长期坚持下去，将有力地促进学生的思维提升.

提高教学的有效性，教学方法和学习方法至关重要.目前很多学校基本上都是以课堂中的“灌输”为主，缺乏对学生思维能力的培养.我们立足“可视化理论”来研究数学课堂教学的有效性，从而改进教学方式，促使学生转变学习方式、提升学科思维能力.从心理学角度来看，初中12 至16 周岁这个年龄段学生，对以“图片”方式呈来的知识内容兴趣大而且记忆深刻，“新思维具象图”正符合了这一年龄段学生的学习需求.“新思维具象图”是知识可视化理论和认知工具理论相结合的产物，在抽象的数学教学中，运用“新思维具象图”能够帮助学生降低认知负荷、激发探究兴趣、构建良好的认知结构.以独创的“新思维具象法”理念为指导，重新审视、理解和创新初中数学课堂教学，有独到的探索意义，对于丰富拓展数学教学理论和达成初中数学、物理等多门课程的总目标即“提高全体学生的科学素养”，均具有重要的作用.

二、“新思维具象图”在一元二次方程解题中的运用

一元二次方程的基本解法一共分为三种：直接开平方法、配方法和因式分解法.我们在授课中可以用两种方式进行对照.

一是用“思维导图”（如图1）：

图1

二是用“新思维具象图”（如图2）：

图2

我们可以从图1、图2 明显体会到它对学生的兴趣和吸引力不同，用“新思维具象图”开展教学活动，可以做到既有趣又提高学生记忆力.其实此方法也对培养学生“数学抽象”能力有很大的帮助，因为“新思维具象图”可以帮助学生从图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.

（一）“新思维具象图”在一元二次方程的概念中的运用

一元二次方程在培养学生“数学建模”能力方面有重要作用，它可以化成统一的“模型”形式：［2］

（1）对整式方程先进行去分母、去括号、移项、合并同类项等变形；

（2）一般形式中的b、c 可以是任意实数，而二次项中的系数a≠0，若a=0，方程就不是一元二次方程了，但也未必就一定是一次方程，这需要对b 进行讨论才能决定；

（3）要确认一元二次方程的各项系数，必须先要将此方程转化为一般形式，再确定a、b、c 的值，一定不要漏掉符号；

（4）项与项的系数一定要区分开来；

（5）一元二次方程的根：如果x0满足ax02+bx0+c=0（a≠0），则x0就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根.

“新思维具象图”形式生动有趣，既能让学生掌握数学概念，又能便于记忆，能有效提升学生对一元二次方程的学习效果.教师用“新思维具象图”在给出相关概念之后，再配以适当的练习（如图3），就可以让学生通过练习掌握什么是“一元二次方程”了.

图3

例：判断下列方程是不是一元二次方程.

①2x2-kx-1=0（k 为 常数）

②4/(x+3)=1

③1-x2=0

④5x2=0

⑤x2+y=0

⑥（x+3）2=（x-3）2

⑦mx2-3x+2=0（m 为常数）

⑧（a2+1）x2+（2a-1）x+5-a=0（a 为常数）

解析：①③④⑧易错点：二次项前面的系数不为0，和一次项前面系数及常数项无关；②是分式方程；⑤是二元方程；⑥整理后是一元一次方程；⑦当m=0时，是一元一次方程；⑧因为a2+1≠0 永远成立，所以无论a 为何值，方程⑧都是一元二次方程.

（二）直接开方法解一元二次方程

直接开方法：形如（x+a2）=b（b≥0）的方程可用直接开平方法求解，两边直接开平方得：

（1）直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件是b≥0，若b＜0，则方程（x+a）=b 无实数根；

（2）在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解.

运用直接开方法求解过程中，对于形如x2=m或一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解（如图4）.

图4

例2：用直接开平方法解关于x 的方程：

（1）（3x+2）（3x-2）=12

（2）2（x-4）2/3=6

（3）（x-m）2=n

（4）（2x-1）2=b+4c

解析：

（1）x1=4/3，x2=-4/3

（2）x1=1，x2=7

当b+4c＜0 时，无实数根.

此法可以很好地培养学生的“逻辑推理”能力.此处的“新思维具象图”主要是可以激发学生的学习兴趣，帮助学生掌握从特殊到一般的推理或从一般到特殊的推理，从面建构起一元二次高中生的知识框架，形成有有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学学习能力.

（三）配方法解一元二次方程

配方法是“数学运算”中的一种常见的方法，它是指在明确运算对象的基础上，依据“运算法则”解决数学问题的过程.通过此法可以促进学生数学思维发展，使之养成程序化思考问题的习惯.用配方法解一元二次方程的一般步骤，可制作一张如图5 所示的“新思维具象图”.当然也可以引导学生根据自己的兴趣爱好，制作自己的“新思维具象图”，这样帮助学生掌握和牢记“配方法”解一元二次方程的方法和步骤，再配合一定的习题去练习，以达到巩固所学知识和技能的目的.

图5

例3：用配方法求方程：

（5）无实根（或无实数根）.注意，不能说无解！

（四）因式分解法解一元二次方程

因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若ab=0，则a=0 或b=0.

因式分解法的一秀解题步骤的“新思维具象图”如图6：

图6

归纳：

（1）采用因式分解法可以将“一元二次方程”作为两个“一元一次方程”来求解，它体现了一种“降阶”要求和降低难度的思想；

（2）将方程右边变形为0，左边化为(ax+b) (cx+d)=0

（3）因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑;

（4）为便于运算，应先把方程整理成一般形式，并且首项取为正号.

因式分解法解一元二次方程是大家在三种解法当中觉得最困难的一种，其中不仅是因式分解的过程比较困难，而且在计算的时候也比较容易出错.所以，教学中一定要让学生注意：一是解方程时，不能两边同时约去含未知数的项；二是因式分解法的前提是方程一边等于0.

例4：用因式分解法解方程：

“新思维具象图”教学法，让学生深刻理解并掌握一元二次方程的三大解法，并对学生掌握每一种解法都给出了实质的建议和解题技巧.在培养学生数学能力的同时，可以很好地将数学学科素养落实到课堂上来，让我们的课堂教学既有趣，又便于学生学习掌握、深刻记忆，从而提高课堂教学效率.