数学举例题的命制与评价实践

童其林

（龙岩市永定区城关中学，福建 龙岩 364100）

“举例问题”首次出现在2021 年全国新高考I 卷数学考试中，即填空题14 题.而走在高考改革前列的上海的高考，举例题除了出现在填空题里，也曾在大题里考查——比如，2007 年上海春季高考卷第17 题就放在大题中.所以研究上海卷的举例题，可以帮助我们迅速适应全国新高考I 卷举例题.

一、数学举例题的命制

数学举例题的命制是一个命题老师创造力的表现，也是学生解题富有创造力的表现.［1］举例题的命制或设计方向还比较广泛：一是提出一个逆向的数学问题；二是给定一些限制条件，提出一个正向的数学问题；三是给定一个数学结论或数学模型，提出一个有实际背景的应用问题等，关键是应试者能够完整地叙述一个数学思想、数学内涵的具体问题.

（一）逆向问题

举例题中一类提出逆向问题，必须提供正向问题作为引导，促发其创新思维.

例1 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.

例如：原来问题是“若函数f(x)=-(7 -3a)x在R上是减函数，求实数a 的取值范围”.求出a＜2 后，它的一个“逆向”问题可以是“若a＜2，讨论f(x)=(2 -a)x的单调性”；也可以是“若a＜2，求f(x)=x2-ax+5 的最小值”.

给出问题：“已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，若对于mϵ[-2,2],f(x)≤0 恒成立，求实数x 的取值范围.”（视你所给出的“逆向”问题的程度给出本小题的满分值）

解析：问题可变成关于m的一次不等式：(x2-x+1)m-6≤0 在［-2，2］恒成立，求x取值范围.

设g(m)=(x2-x+1)m-6,

即x 的取值范围是[-1,2].

“逆向”问题可以是：

问题1：已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≤0 恒成立，求实数m 的取值范围；

问题2：已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≥0 恒成立，求实数m的取值范围；

问题3：已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函数f(x)的最大值和最小值；

问题4：已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函数f(x)的单调区间；

问题5：已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，求函数f(x)的零点个数；

问题6：已知函数f(x)=mx2-mx-6 +m，x∈[-1,2]，若f(x)≤x3+mx2恒成立，求实数m的取值范围.

点评：给定的问题情境是函数和函数自变量的取值范围，6 个问题涉及面较为广泛，在对原问题求解后，深刻理解了问题的本质，再逆向提出如此问题，需要的能力必是经过数学研究性学习的训练后的成果.具体求解时，举出1 个即可.

（二）正向问题

例2 如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那我们称这个n面体的直度为，比如在如图1 所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，通过割补法得到四面体C1CDB（即三棱锥C1CDB）就是直度为的四面体.

图1

（1）请用割补法在如图2所示的正方体上，作出一个直度为1 的四面体.（作出一个并指出哪个四面体即可，不必说明理由）

图2

（2）如图3，P为棱AA1上的中点，Q为棱AD上一点，且PQ⊥C1P.请你举一个与图中有关“异面直线所成角或直线与平面所成角或二面角”的问题，并解之.

图3

（视你所举出问题的难度给出本小题的满分值）

问题（1）的解答：

答案不唯一，如图4 所示的四面体C1CDA，或如图5 所示的四面体C1CAB都可以.

图4

图5

问题（2）学生举出了不少有意义的问题：

案例1：求异面直线D1Q与PC1所成的角；

案例2：求直线PQ与平面C1D1P所成角；

案例3：求直线D1A1与平面C1D1P所成角的正弦值；

案例4：求平面C1D1P与平面ABB1A1所成的二面角的余弦值；

案例5：求平面C1D1P与平面A1B1C1D1所成的二面角的余弦值；

案例6：在线段AB上是否存在点F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值为，若存在求出线段PF的长，若不存在，说明理由.

点评：根据此题背景举一个问题并不难，难的是举一个有思维难度的问题.以上6 个案例中，案例6 最富有挑战性，问题难度相对较大，涉及的知识面也较大，有探索，有逆向思维，其他4 个案例与学生平时训练的问题基本相似.

案例5 的解答：

在线段AB上存在点F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值为.理由如下：

若点F在线段AB上，则二面角D1-PQ-F为钝角α，因为如图6，以CD为x，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，易知P(2,2,1)，平面D1PQ的一个法向量为=(1,0,0).

图6

因为几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以C1D1⊥平面ADD1A1，又PQ⊂平 面ADD1A1，所以C1D1⊥PQ，又PQ⊥C1P，C1D1⋂PC1=C1，所以PQ⊥平面C1D1P，所以PQ⊥D1P.

所以，在线段AB上存在点F，使得二面角D1-PQ-F的正弦值为，且|PF|=

（三）有实际应用的问题

此类问题是理论联系实际类，给出理论背景或数学模型，结合自己的学习经历与生活经历创作出一个数学问题，有点像写命题作文.

例3：在一些地方送报人先买了报纸然后送到顾客家，再向顾客收取报纸的费用.

假设有一天顾客对送报人说：“不像往常一样每星期收5 美元，而是随机地从这一袋中拿取2 张钞票（有10 美元和1 美元的若干张），怎么样？如果你愿意从袋中取钱的办法，从今以后每星期就采用这一方式.”

送报人作了简单的思考：若袋子里5 美元的钞票多于或等于1 美元的钞票，那就接受顾客的建议；若袋子里都是1 美元的，那就按原来的付款方式；若10 美元的钞票远远少于1 美元的钞票，就要算一算，长期下期会不会亏本.

请你帮助送报人和顾客设计一个袋中随机拿取2张钞票（假设只用10 美元和1 美元的钞票若干张），对送报人和顾客都不会吃亏的办法.

假如10 美元和1 美元各m,n张，则

所以设计袋子里10 美元钞票1 张，1 美元的钞票5张，对送报人和顾客都不会吃亏.

点评：能用期望的知识判断设计方案对双方公平即可得满分.

（四）语言问题

数学学科经常遇到的数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言.数学文字语言带有数学特有的本质属性——关系属性，比如线面垂直既有文字语言，也有符号语言和图形语言，这些约定俗成的语言是人们进行数学交流的工具.

例4（2008 福建省高考题改编）：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、（除数b≠0），则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，数集也是数域.请你各举出2 个数域和不是数域的例子.

解析：负整数组成的集合是数域.理由如下：

设a，b∈p，其中一个必定不等于零，设a≠0.则a-a=0 所以0∈p=1 所以1∈p.所以0-1=-1，-1-1=-2，-2-1=-3，…，所有负整数都属于p.是数域.

整数集不是数域.理由如下：

点评：以上所举的例子，是深刻领会数集、数域概念之后的选择.在评价过程中，只要符合数域的定义，而且表述正确，则举出一例可得整题分数的，能各举出2 个且正确，可得满分.

以上所举是解答题的举例题，目前的语境下，除了上海高考卷，举例题更多出现在填空题中.填空题的举例题，往往是要求考生通过给定的条件、结论、性质和定理等素材，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或是具体实例的一类题型.通常情况下，符合条件的对象有很多，从而增加了试题的开放度.同样的，填空题的举例题可以举一个正例，也可以举一个反例，还可以举一个语言类的问题等.

例5（2021 年新高考2 卷，第14 题）：写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=__________.

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；

②当x∈(0,+∞)时，f′（x) ＞0；

③f′(x)是奇函数.

点评：该题要求考生在理解条件①②③的基础上，构建出一个函数f(x).由于答案是开放的，所以在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用，同时也给不同水平的考生提供了充分发挥自己数学能力的空间.熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造.本题答案为f(x)=x4，答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N*)均满足.

二、数学举例题的评价

填空题中的举例题，由于答案开放，会增加评价的一些难度，但还是能看出对错.比较难评价的是解答题中举例题的评价，因为每一个学生的思维方式不太一样.

作为一道解答题中的举例题，一是要看其答题的完整性，二是要看其答题叙述的准确性，三是要看其举例问题提出的创新性.符合题设条件又满足这三条，应该是一个成功之作.我们先看下面的例子：

例6（2007 年上海春季高考，第17 题，本题满分14分）：求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.

试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P(2,1)到直线3x+4y=0 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

解 析：点（2，1）到直线3x+4y=0的距离为…………4 分

“逆向”问题可以是：

（1）求到直线3x+4y=0 的距离为2 的点的轨迹方程.…………10 分

设所求轨迹上任意一点为P(x,y)，则

所求轨迹为3x+4y-10=0 或3x+4y+10=0.…………14 分

（2）若点P(2,1)到直线l:ax+by=0 的距离为2，求直线l的方程.…………10 分

所以，直线l的方程为x=0 或3x+4y=0.…………14 分

意义不大的“逆向”问题可能是：

（3）点P(2,1)是不是到直线3x+4y=0 的距离为2 的一个点？…………6 分

所以点P(2,1)是到直线3x+4y=0 的距离为2 的一个点.…………10 分

（4）点Q(1,1)是不是到直线3x+4y=0 的距离为2 的一个点？…………6 分

所以点Q(1,1)不是到直线3c+4y=0 的距离为2的一个点.…………10 分

（5）点P(2,10 是不是到直线5x+12y=0 的距离为2 的一个点？…………6 分

所以点p(2,1)不是到直线5x+12y=0 的距离为2的一个点.…………10 分

评分说明：

（ⅰ）在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6 分中，应只给2 分，但第三阶段所列4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.

（ⅱ）当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.

这个题目，有个词特别醒目，即“有意义”的问题.如何评价学生提出的问题呢？难点在于评价学生提出问题的数学“意义”是否体验数学思维，反映数学本质.从本题的评分标准可以判断，提出的问题好、不够好、不好及解决问题正确与否能得的分数.

三、“有意义”的数学问题的定义、判断和制定

所谓有意义的问题可以从下面四点考察：

一是问题的准确性——叙述语言的准确.把一个问题说清楚，尤其是数学问题，必须突出叙述语言的准确性.如果逻辑不清、语言混乱，不可能提出一个“有意义”“有价值”的问题，所以要准确地使用数学符号，并赋予意义.而且如果数学概念不清也不能把问题说清楚.

二是问题的简洁性——叙述语言的简洁.一个问题能用30 个字说清楚就不要用31 个字，数学问题语言叙述的简洁最能体现数学的“美”，也最能反映问题的数学本质，更能显示一个人的数学思维能力.

三是问题的思维性——思维的宽度深度.一个问题“有意义”的度在很大程度上取决于问题思维的宽度与深度，数学思维的深度，条件隐含的深度，解决问题的宽度——方法的多样性.

四是问题的创新性——创设问题的角度.一个问题的“闪光点”充分体现在问题的创新性上，你提出问题的角度是否新颖？是否人们一看就会产生火花？

举例题是新高考的一个重要题型，能考查学生的思考能力、叙述能力、解决问题的能力.评价细则上，可以依据等级描述型评价法对问题求解部分制定；依据多重计分评价法对所举例的质量制定评价细则，即依据等级描述型评价法，将求解过程细分评定分数.依据多重计分评价法，分为三个等级：一级所举问题叙述完整，但思维量不大，难度不大；二级所举问题叙述不仅完整，思维量较大，但亮点不明显；三级所举问题叙述不仅完整，思维量较大，而且有明显亮点.分值上，可根据数学教育实际，此类创新题的分数控制在12 分左右为宜，难度把握在中档左右.

例7 要测量海岛上一座不能到达的山峰A的高度AH，要求用皮尺、三角板和量角器等仪器进行测量，举例说明你的测量过程、计算方法和结果.

案例1：在测量海岛上一座不能到达的山峰A的高度AH时，可立两根高a米的标杆BC和DE，前后两竿相距BD=b米，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行c米到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行d米到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，计算山峰AH的高度.

案例2：在测量海岛上一座不能到达的山峰A的高度AH时，如图8，选择一条水平基线BG，使H，G，B三点在同一条直线上.由在B，G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a，测角仪器的高是h，则可求得AH的高度.

图7

图8

解析：在△ACD中，根据正弦定理可得AC=

案例3：在测量海岛上一座不能到达的山峰A的高度AH时，可在平地上选择三个点P、Q、R（Q为PR的中点），可量出PR=2a，在P、Q、R三点处，用量角器测得A的仰角分别为α、β、γ，将测量数据绘制成一张草图（如图9），计算山峰AB 的高度.

图9

同理可得QR2+QH2-2QR·QHcos(π -θ)=RH2

两式相加可得2a2+2QH2=PH2+RH2，将上述各值代入计算可得

案例4：在测量海岛上一座不能到达的山峰A的高度AH时，假设沙滩上有一可攀登的建筑物，如图10，则可在同一垂线上选2 个测量点C，D，测得PC=a，CD=b，点C测得A的仰角为α，点D测得A的仰角为β，计算山峰AB的高度.

图10

评价细则：（1）可以依据等级描述型评价法对问题求解部分制定；（2）依据多重计分评价法对所举例的质量制定.即依据等级描述型评价法，将求解过程细分评定分数.依据多重计分评价法，分为三个等级：一级所举问题叙述完整，但思维量不大，难度不大；二级所举问题叙述不仅完整，思维量较大，但亮点不明显；三级所举问题叙述不仅完整，思维量较大，而且有明显亮点.按评价标准，案例1，2，3，4 都可以判定为三级.