任意桥梁截面自由扭转常数计算的快速方法

张 恒

(中铁十九局集团有限公司 北京 100176)

1 引言

目前桥梁设计、施工计算中已经普遍采用空间结构分析方法。在空间分析时，首要是把截面特性计算准确，不仅要计算截面和各主轴的惯性矩，还要包括自由扭转常数和约束扭转分析的各种参数。自由扭转常数的计算是约束扭转参数计算的基础，对空间计算结果的影响也非常大。

当前计算截面自由扭转常数的方法，一是针对简单截面如矩形、圆形截面，使用理论公式计算。如果可以分割为多个矩形截面，可对每个小块单独计算再累加，这种简化方法可用于对精度要求不高的情况。对于薄壁截面，可把截面简化为多个带厚度的线段，采用薄壁杆件扭转理论进行计算[1－3]，这种方法结果精度较高但简化截面工作量较大，且只对薄壁杆件有效。对于薄壁箱型截面，还可以采用空间有限元方法，按细长悬臂梁端部受纯扭矩来建模，采用块体单元计算[4－6]。由于细长杆件箱型截面约束扭转效应较弱，此时计算出来的刚度就是自由扭转常数，这种方法计算量很大。另外一种方法是直接采用国外大型通用有限元软件进行位移法平面有限元分析[7]，这种方法能计算任意截面形式，但代价较高[8－10]。

从这些研究成果可见，计算任意截面的自由扭转常数，采用有限元方法，结果精度较高而且只要在CAD软件画出截面，不用大量的人工处理数据。但这种方法存在两个问题:一个是位移法有限元计算的是自由扭转常数的上限，结果比理论值偏大；另一个是要计算满足精度的结果，网格划分要很密，实际计算中要从疏到密反复计算，计算量很大，如果一开始设置的网格太密，计算时间很长甚至可能超出软件计算能力。

采用位移法有限元，其基本原理是从弹性三维问题入手引入假设，建立微分方程[11]，用翘曲函数作为未知量，按最小势能原理建立有限元方程。还有一个思路是用应力函数作为未知量，按最小余能原理建立有限元方程，此种方法计算的结果是自由扭转常数的下限。综合最小势能原理和最小余能原理这两种方法，采用二者结果平均值作为自由扭转常数，就有可能解决单一方法刚度较大和自动选择网格划分尺寸的问题。

本文模型采用如图1所示的等截面悬臂梁，坐标系沿杆件轴向为z轴，截面上为x、y轴，与z轴成右手坐标系。柱体一端固定，一端自由，自由端受外力扭矩。

图1 等截面悬臂梁模型

2 最小势能原理

3 最小余能原理

4 算例对比分析

4.1 矩形截面

如图2所示，对于宽为1 m、高为2 m的矩形，其自由扭转常数理论值为0.457，用两种方法分别计算，取其平均值作为最终结果。把三个计算结果与理论值对比，结果见表1，三种方法计算值随网格尺寸变化曲线见图3。

图2 矩形截面(单位:m)

表1 矩形截面计算

图3 三种方法计算值随网格尺寸变化曲线

4.2 薄壁开口截面一

如图4所示，针对宽为1 m、高1 m、壁厚0.04 m的薄壁开口截面，用两种方法分别计算，取其平均值作为最终结果，该截面扭转常数理论值约为5.48×10－5。 把三个计算结果与理论值对比，结果见表2，计算结果对比见图5。

图4 薄壁开口截面一(单位:m)

表2 薄壁开口截面一计算结果

图5 计算结果对比(截面一)

4.3 薄壁开口截面二

对于图6的薄壁开口截面，用两种方法分别计算，取其平均值作为最终结果，该截面扭转常数理论值约为0.000 128。把三个计算结果与理论值对比，结果见表3，计算结果对比见图7。

图6 薄壁开口截面二(单位:m)

表3 薄壁开口截面二计算结果

图7 计算结果对比(截面二)

5 结论与展望

(1)通过计算值与理论值对比可以看出，在网格划分规模相同、计算量基本相同的情况下，用本文的计算方法比只用位移法求解结果精度大大提高。

(2)采用相同误差控制结果精度的情况下，无论求解时间和绝对精度本文所述方法更好，而且在网格划分较疏、单元个数较少的情况下，就表现出较高精度。

(3)用新方法虽然要求解两次，但二者可以共用同一个网格，而且单元刚度矩阵相同，所以计算量与位移法相比略大。

(4)对于薄壁开口截面，使用新方法对提高精度的效果尤其明显。

(5)本文采用了三节点三角形单元，为了能提高计算精度，更好地适应钢梁截面的计算，有必要对本文方法采用高次单元，如八节点四边形等参元，展开进一步的研究。

(6)对于闭口截面，最小势能原理的方法依然可以计算，但最小余能原理中边界条件，即公式(5)，只对非闭口截面有效，因此闭口截面的最小余能原理计算方法需要进一步研究。