一对多无线电能传输理论分析研究*

王迪晟，秦会斌，范翠红

(杭州电子科技大学 新型电子器件与应用研究所，浙江 杭州 310018)

0 引言

传统的电力输送采用有线输送的方式，然而有线输送存在一定的局限性。例如家用电器插拔过程中容易产生插座松动，产生火花甚至发生火灾。户外用电设备随着时间的推移，线路会出现老化、磨损，使其安全系数降低。此外在一些特定的场合有线供电方式不能满足其需求，如植入式医疗器械，需要定期更换其内部的电池，而无线电能传输技术能够有效解决植入式医疗器械充电问题，因此研究无线电能传输技术具有一定的现实意义和经济价值。

无线充电可分为小功率无线充电[1-2]和大功率无线充电。小功率无线充电常采用电磁感应式[3-4]，一般用于手机的充电，其传输距离只有几毫米，限制用户在充电的时候使用手机，也无法实现快充的效果。大功率无线充电常采用磁耦合谐振式[5-9]，一般用于电动汽车充电，具有传输距离远、功率大、效率高的优点[9-11]。其原理主要是磁感应能量转换，由交变的电流在发射线圈上产生交变的磁场，接收线圈又由交变的磁场转换为电流，且发射端的固有频率与接收端固有频率相同，从而产生共振，此时传输效果最好，辐射损失的能量也小。

目前采用磁耦合谐振式的电动汽车充电的充电效率在85%～90%，且采用单负载系统。但是单负载系统也存在一些不足之处：其一，负载唯一，使整个系统的利用率较低；其二，位置存在局限性，接收线圈和发射线圈只能共轴才能达到最高的传输效率[12-13]。另外，由于无线充电的电子产品的增加，单负载也无法满足多台设备同时供电的需求。而一对多无线充电采用[14]的是松耦合系统，具备便捷性、通用性、多用性的特点，且充电位置局限性小，传输效率可达90%的优点，因此在研究一对多无线充电也势在必行。

本文建立了一对三的无线充电系统模型，分析了两线圈比例、水平偏移距离、垂直距离对互感值的影响，进而分析了系统的传输效率、系统最佳状态以及负载的功率分配，证明了一对多系统的可行性。

1 磁耦合谐振电路模型

磁耦合谐振电能传输是高频谐振，接收线圈和发射线圈耦合谐振时，由于具有处于松耦合的状态下，传输效率比较低，为了提高传输能力，通常会对谐振电路进行一定的补偿，补偿有四种基本拓扑结构，即PP(并联-并联)、PS(并联-串联)、SP(串联-并联)和SS(串联-串联)。一般来说，串联谐振是等效于一个电压源，则其输出的内阻等效于0，而并联谐振等效于一个电流源，其内阻等效于无限大。发射线圈的谐振电容与负载无关，所以在选择电路的拓扑结构时通常采用SS 拓扑结构。

系统的谐振电路主要包含线圈L 和谐振电容C，在忽略电源内阻与谐振电容C 等效电阻时，一对三无线电能传输系统的电路模型如图1 所示。

图1 无线电能传输等效电路

其中：VS为交流电源，RS为交流电源的内阻，R1、R2、R3、R4为发射端和三接收端线圈内阻，RL为负载电阻，L1为发射线圈电感，L2、L3、L4为接收线圈电感，C1、C2、C3、C4为谐振电容，M12、M13、M14为发射线圈与三接收线圈的互感。

2 一对多电路模型分析

无线电能传输系统相当于一个传输介质为空气的耦合变压器，通常根据耦合、互感、漏感等建立电路模型[15-16]，数学上则通过建立一系列的微分方程组，来求解方程组各个单元的状态，从而分析整个系统的电气性能。在耦合状态下，基于基尔霍夫定律的理论，忽略电容等效内阻和电感自身损耗，从图1 的等效电路图中可以列出KVL 的回路方程(1)和(2)：

其中N1=(R1+Rs)+j(ωL1-)，Ni=(Ri+RL)+j(ωLi-)(i=2、3、4)。，In分别为线圈n 的回路电流，当处于谐振状态时，ω=(其中n=1、2、3、4)。

可以计算出系统的发射平均功率如式(3)所示、交流电源负载功率如式(4)所示、负载接收的平均功率如式(5)所示：

根据推算出来的公式可以看出，系统输出平均功率与接收回路所接负载和两线圈的互感M 有关，源内阻消耗的平均功率还与电源内阻有关，而与谐振频率无关，接收回路负载所接收到的功率则与负载、互感值、谐振频率有关，因此需要对互感值进行分析以消除谐振频率所带来的影响。

3 系统参数的推导与分析

3.1 互感M 的分析与推导

根据式(3)～式(5)可得，系统功率、源内阻消耗功率以及负载接收到的功率与互感系数M 有关，因此其传输效率关系也应计算互感系数M 的关系。三个接收线圈处于同一平面的水平位置，且相对于发射线圈的位置相同。接收线圈与发射线圈平行，且两圆心不在同一垂直于两线圈的平面上，位置如图2 所示。

图2 两线圈坐标图

两个线圈的互感量M 根据诺伊曼公式[1，13，16]获取，于是可以得到：

其中A=abcos (φ-θ)，B=(acosφ-bcosθ)2，C=(asinφ-bsinθd)2+h2，N1、N2为接收线圈、发射线圈的匝数，a 为接收线圈的半径，b 为发射线圈的半径，d 为两线圈水平的偏移距离，h 为两线圈的垂直距离。

由式(7)可以看出互感大小与接收线圈和发射线圈的半径、水平偏移距离、垂直偏移距离有关。为具体研究其对互感系数的影响，假设N1=N2=1，M0=，发射线圈的半径a=1 m，b/a=0.5，垂直距离与互感的关系如图3所示，从图中可以看出当偏移距离一定时，两线圈平面垂直距离越大，互感M 越小，当两线圈的垂直距离小于特定距离时，偏移距离对互感值影响不大。当d/a=0.4时，垂直距离与互感的关系如图4 所示，从图中可以看出当偏移距离一定时，互感随两线圈平面垂直距离增大而减小，当两线圈一样大且重叠的时候，互感达到最大。

图3 不同水平偏移距离互感值与垂直之间的关系

图4 不同线圈比例互感值与垂直距离之间的关系

3.2 传输距离对系统的影响

线圈的缠绕方式是螺线柱型，其缠绕非常紧密，线圈的自感可由式(8)推导出：

其中：r 是线圈的半径，N 是线圈匝数，μ0是真空磁导率，为4π·10-7H/m，a 是线圈线的半径。设发射线圈r=5.5 cm，N=4，a=0.63 mm，可以计算出其电感值为5.03 μH，若与50 pF 电容进行匹配，那么可以得出谐振频率约为10 MHz。接收线圈r=2.75 cm，N=4，a=0.61 mm，则接收线圈的电感值为2.13 μH，匹配电容值为118.9 pF。根据前面互感的分析，可以得到互感M 与传输距离h 之间的关系如图5 所示。

图5 互感值与垂直距离之间的关系

简化各个功率的公式，引入：

发射线圈和接收线圈的半径不同，其电阻值都比较小且阻值相近，所以设接收发射线圈的内阻为Rs=R2=R3=R4=1 Ω，源阻抗为R1=49 Ω，负载RL=49 Ω，Vs为家庭用电电压220 V，则可以得到系统发射功率、源电阻消耗功率和接收功率以及系统的传输效率与传输距离之间的关系如图6 所示。从图中可以看出随着两线圈之间的距离增加，系统发射功率和源电阻消耗功率先急剧增加最后趋向于稳定，负载所接收到的功率先增加后减少，两线圈距离在3.5 cm 内(其发射线圈大小5.5 cm)，传输效率可达到90%以上。

图6 各个功率、传输效率与距离之间的关系

3.3 系统最佳状态的分析

在整个系统中，发射端所产生的功率有一部分被电源内阻以热量的形式消耗掉，从而降低了整个系统的传输效率，因此要分析系统的最优阻抗匹配，则该系统可以简化为如图7 所示。

图7 等效电路图

系统处于谐振状态时，可得：

根据式(10)、式(11)可得：

根据式(12)可以了解到，Z0+R+Z2+Z3+Z4为系统输入阻抗，(n=2，3，4)为线圈n 的等效阻抗Zn，并且系统电源阻抗匹配时与负载阻抗之间应满足：

图8 耦合系数k 与距离之间的关系图

从图8 中可以看到k 的值范围在0～0.23，设负载为49 Ω 时，线圈的内阻为1 Ω，分别求K12=K13=K14为0.1、0.15、0.2 时的情况，则可以得到匹配电阻为26.3 Ω、58.1 Ω、102.5 Ω。在分析的过程中，为了准确分析整个系统的性能，还需引入电路的品质因素Q，用于消除发射功率、源内阻消耗功率、接收负载接收功率中的无关因素ω，而在该串联谐振的电路中，品质因素的公式，可以得到在阻抗匹配时Q1分别约为12.06、5.46、3.094 4，Q2=2.68，以及各个功率表达式：

根据上面的分析，分别画出k 不同时功率分配情况，如图9 所示。从图中可以看出源电阻所消耗的平均功率与三负载所获得的总平均功率分别在对应的k 值相等，并且在对应的位置三负载所获得的总功率最大。图10为k 取不同值时阻抗匹配所得到源电阻不同的传输效率，可以看出其传输效率曲线图是重合的，因此无论系统源电阻如何变化，整个系统的传输效率是不变的。

图9 阻抗匹配源电阻消耗与负载接收功率

图10 不同源电阻的传输效率

3.4 接收端功率分配研究

在实际电路设计中，由于负载不同所需的功率大小也不同，因此需要对功率分配进行研究。在前面已经推导出系统最佳状态的阻抗分配，得出三个接收端Z1、Z2、Z3的公式，则可以认为三个接收端的等效阻抗即为三个接收端回路所获得的平均功率。因此研究三个接收端负载所获得功率只需研究如何分配Z1、Z2、Z3上所获得的平均功率即可。

从上式可以看出，任意两个接收回路负载所获得的功率之比，与接收回路互感之比的平方成正比，与接收回路内阻和的比值成反比，因此可以通过改变每个接收端回路的耦合系数的比例，或者改变另外两个接收端线圈互感的乘积来调节每个接收端负载所获得功率，根据前面的分析可得到通过改变线圈的水平偏移距离从而改变线圈的互感值大小。

4 结论

一对多无线电能传输是基于磁耦合谐振式一对一无线电能传输的扩展，通过该原理对一对多系统进行理论分析。由于每个接收端回路之间没有关联，相互独立，因此该方法便于分析整个系统的性能。利用基尔霍夫定律对电路进行分析得到一系列数学方程组，从而得到系统的输出功率、源内阻的消耗功率、接收回路负载所获得功率、传输效率的相关公式，根据公式可以看出影响整个系统的性能的因素有两线圈的互感值、谐振频率、回路中的内阻，从而通过求解互感得到传输性能与距离之间的关系，证明在有效的传输距离内传输效率达90%的可行性。且系统在最佳状态阻抗匹配时，可以得到此状态下负载的接收功率可达到最大值，源电阻的变化并不会影响系统的传输效率。而在负载功率分配上，主要与线圈的互感值和负载有关，互感值可通过改变水平偏移距离，不需要改变线圈的规格，因此实际操作也更加简单。