具有对抗关系和时变拓扑的耦合离散系统有界双向同步

翟世东 刘佩 高辉

同步(一致)行为是生物、生态、工程和社会科学等领域中最普遍的群聚现象之一.在过去十几年里,耦合系统中仅由局部交互引起的同步问题引起了大量研究者的关注[1-5].在自然和工程系统中,合作、竞争关系普遍存在,且很多实际系统同时存在合作与竞争关系,例如社会网络[6]、存在合作与竞争的种群[7]、竞争性细胞神经元[8]和个性化推荐[9].为了描述系统中的合作与竞争关系,研究者们引入了符号图,其中正数边表示合作关系,负数边表示竞争关系.

目前,越来越多的研究人员开始利用符号图来研究网络中的各种群聚现象[10-16].在文献[10]中,Altafini 研究了定义在符号图上的一个积分器网络,并得到了关于双向一致的一些定理.这里的双向一致表示所有的智能体都收敛到一个模量相等、符号不同的值.其中,作者假设符号图是结构平衡的,即所有节点可以被分为两个阵营,每个阵营内部是合作关系,两个阵营之间是竞争关系.这个假设对双向一致性结论的得出至关重要.文献[10]的结论推广到了更一般的线性多智能体系统[11-13],其中每个智能体都由一个线性时不变系统表示.例如对于有向图上的积分器网络,文献[13]在符号图含有生成树的情况下得到了达到双向一致的一些充分条件.很多研究者陆续对各种特定网络展开了双向同步问题研究,例如双向聚集[14]、区间双向一致[15]、含有时滞的双向一致[16]等.基于压缩性分析,文献[17]研究了耦合非线性网络的双向同步问题.对于耦合离散系统构成的网络,其双向同步问题也受到了很多研究者的关注[18-19].对于更多的关于双向同步的研究,可以参见综述文献[20-21].

在实际系统中,随着时间的推移,网络的拓扑结构可能会发生变化.而且,网络所形成的符号图可能不满足结构平衡特性.例如,在社会网络中,个体之间的关系可能会由合作(友谊)到竞争(敌意)变化,反之亦然;在多党制的国家,很多成员经常会从一个党派转向另一个党派.当符号图不满足结构平衡性时,网络不能达到双向同步.在文献[22]中,作者利用矩阵的最终为正性质,分别研究了连续和离散时间舆论动力学模型的动力学行为.当符号图随着时间变化的时候,网络构成一个切换系统.文献[23-24]考虑了所有符号图在结构上都是平衡的,且敌对阵营的成员随着时间的推移是不变的情况.具体地,在文献[23]中,作者得到了使非线性系统达到模同步的充分条件;在文献[24]中,作者设计了一种牵引控制,使闭环系统实现双向同步.如果这些符号图中的节点随着时间变化,那么双向同步将不可能达到.

本文将研究含有对抗性关系和时变拓扑的耦合离散系统的有界双向同步(Bounded bipartite synchronization,BBS)问题.考虑以下情形:1)在某些时刻,所有个体不能被分为两个敌对阵营;2)虽然所有个体可以被划分为两个阵营.但所形成敌对阵营中的成员会随时间改变.当情形1)和2)出现时,将这种耦合离散系统看成是一个特定网络的扰动,在这个特定网络中,所有的个体都可以被分成两个敌对阵营,且二者中的成员随着时间的推移会保持不变.在该特定网络的所有符号图都是连通的条件下,本文得到了使系统达到有界双向同步的一些充分条件.最后,利用一个数值例子来说明所得结论的有效性.

本文符号说明如下:|x|表示实数x的绝对值,Z+表示正整数域,||y||表示向量y的范数,IN表示N维单位矩阵,1N表示元素都为 1的N维列向量,运算符⊗表示Kronecker 积.对于矩阵A,符号λmin(A),λmax(A)分别表示矩阵A的最小特征值和最大特征值. diag{·}表示一个对角矩阵,sgn(·)代表符号函数.如果对于每个固定的s,函数β(r,s)是严格递增的且β(0,s)≡0,对于每个固定的r,函数β(r,s)是严格递减的且 lims→∞β(r,s)=0,那么函数β(r,s)称为 KL 类函数.

1 问题描述

考虑包含N个离散系统的网络

其中,i=1,2,···,N.xi∈Rn是第i个节点的状态,A,B是常数矩阵,ui(k)是控制输入.假设网络的拓扑在p个无向符号图G(Ek)(符号图定义见附录A),k=1,2,···,p之间切换,其中切换信号是σ(k):Z+→P:={1,2,···,p},它是一个分段右连续的函数.控制输入ui(k)设计为

其中,K是一个需要设计的增益矩阵,eij是图G(Ek)的边值.令是σ(k)的切换时刻.存在正常数T＞1,使得ki+1-ki≥T,∀i ≥0.

注1.网络在切换信号下构成一个切换系统.本文中要求存在正常数T＞1,使得ki+1-ki≥T,∀i ≥0.这里的T＞1 可以看成是驻留时间.如果没有驻留时间,那么在有限时间内可能会有无限次切换,对于系统的收敛性会有很大影响.

通常来说,如果符号图结构平衡,那么其所有节点可以划分为两个敌对阵营,其中每个阵营中的个体之间的关系是合作的,属于不同阵营的个体之间的关系是对立的.对于符号图G(Ek),k=1,2,···,p,可能存在以下情况:1)虽然每一个符号图都满足结构平衡,即每个符号图都可以划分为两个敌对阵营,但是每一个符号图的两个敌对阵营中的个体是不一样的,例如在多党派执政的国家,一些个体随着时间变化从一个阵营转移到另一个阵营;2)可能存在某些不满足结构平衡的符号图.在这些情况下,网络很难达到双向同步.为了研究这两种情况下的网络的同步问题,将这些符号图看成是某些特定结构平衡符号图的扰动.具体地,假设符号图G(Ek)的邻接矩阵可以分为两个邻接矩阵,即其中,是关于符号图G()的一个邻接矩阵.把控制输入(2)中的符号图改为G(可以得到一个新的输入

因此,由符号图GEk形成的耦合系统(1)和(2)可以看成是由符号图G()形成的耦合系统(1)和(3)的扰动.而且,假设符号图G(),k=1,2,···,p的节点{1,2,···,N}可以划分为两个敌对阵营V1,V2,且存在一个符号矩阵Ψ(Ψ=diag{σ1,···,σN},σi∈{±1}),使得矩阵 ΨE¯kΨ,k=1,2,···,p都是非负矩阵.

接下来,本文将研究当控制输入为式(2)时,网络(1)将在何种条件下达到有界双向同步.双向同步和有界双向同步的定义分别如下.

定义1.如果存在依赖于非零初始条件的函数ζ(k)≠=0,使得以下条件成立:limk→∞(xi(k)-ζ(k))=0,∀i∈V1,limk→∞(xi(k)+ζ(k))=0,∀i∈V2,那么控制输入为式(3)的网络(1)达到双向同步.

定义2.如果满足以下两个条件,那么控制输入为式(2)的网络(1)达到有界双向同步:1)网络(1)在形式为式(3)的控制输入下达到双向同步;2)存在一个正常数ξ(依赖于非零初始条件),一个KL 类函数β(·,·)(依赖于图G(Ek),k=1,2,···,p),使得||δ(k)||≤β(||δ(0)||,t)+ξ成立,其中δ(k)=x(k)-

2 主要结论

本节将研究以下两种情形:1)在某些时刻,所有个体不能划分为两个敌对阵营;2)虽然所有个体可以划分为两个阵营,但形成的敌对阵营中的成员会随时间改变.如果符号图G(),k=1,2,···,p都是连通的,那么可以得到条件使得控制输入为式(2)的网络(1)达到有界双向同步.为此,给出以下假设:

假设1.假设矩阵A的所有特征值是模为1 的半单特征值,即所有约当块都是一维的.

进而,针对存在对抗关系和时变拓扑的耦合离散系统,可以得到定理1.

定理1.考虑网络(1),假定假设1 成立且符号图G(),k=1,2,···,p连通.如果存在µ使得不等式(4)成立(其中 Δj=Lj-),

证明.选择K=µBTPTPA,则控制输入为式(2)的网络(1)变为

其中,i=1,2,···,N.式(5)可以写成如下所示的紧凑形式.

由于图G(),k=1,2,···,p的节点{i=1,2,···,N}可划分为两个敌对阵营V1和V2,且图G(),k=1,2,···,p是连通的,基于定理1[25],可知网络(1)和(3)在任意切换信号下达到双向同步.

令z(k)=(Ψ⊗P)x(k),则控制输入为式(2)的网络(1)可表示为

其中,不等式第1 部分可由条件(4)得到.由于图G(),k=1,2,···,p是连通的,因而存在正交矩阵Qσ(k)∈RN×N,使得

其中,0＜θ＜1.所以下面的关系成立:

当式(16)成立时,式(15)成立.

从而得到控制输入为式(2)的网络(1)达到有界双向同步.□

注2.由定理1 的证明过程可以看出,最终界为因此,为了使最终界比较小,可以选择使‖x(0)‖很小或者α很大的初始条件.

注3.在定理1 中,假设矩阵A的所有特征值是模为1 的半单特征值,即所有约当块都是一维的.在这种假设条件下,矩阵A是正交矩阵,即ATA=I.这时矩阵A是中立稳定的.

3 数值例子

本节将给出一个数值例子来验证所得结论的有效性.

例1.对于网络(1),令N=4,其中矩阵A,B为

因为矩阵A是正交的,所以假设1 成立.定义切换信号σ(k)如式(21),其中s∈Z+.

假设有两个无向图G(Ei),i=1,2,如图1 所示,图G(E2)的节点不能划分为两个敌对阵营V1和V2.假设分别对应于图2(a)和图2(b).可知图G(E¯i),i=1,2 的节点能划分为两个敌对阵营V1={1,2},V2={3,4}.

图1 无向图G(Ei),i=1,2Fig.1 The undirected signed graphG(Ei),i=1,2

图2 无向图G(),i=1,2Fig.2 The undirected signed graphG(),i=1,2

对于图G(),i=1,2,可选择符号矩阵 Ψ=diag{1,1,-1,-1}使得 ΨΨ,k=1,2 是非负矩阵,根据其拉普拉斯矩阵

图3 四智能体网络在拓扑为图2、切换信号为σ(k)时的时间演变过程Fig.3 Time evolution of 4-agent network with topologies in Fig.2 and switching signalσ(k)

图4 四智能体网络在拓扑为图1、切换信号为σ(k)时的时间演变过程Fig.4 Time evolution of 4-agent network with topologies in Fig.1 and switching signalσ(k)

图5 四智能体网络在切换信号σ(k)下的范数误差和终值Fig.5 Norm error of the 4-agent network with switching signalσ(k)

4 结论

当存在对抗关系和切换拓扑时,本文研究了耦合离散线性系统的同步问题.针对实际中可能存在的两种情形,研究了耦合离散系统的有界双向同步问题,得到了使闭环系统在任意切换信号下达到有界双向同步的充分条件.数值仿真验证了本文所得理论的正确性.本文的结论对于系统矩阵有一定的要求,后续工作将考虑更一般的情况.

附录 A 符号图

符号图G(V,ε)由一个有限节点集和一个边集组成,节点集记为V={1,2,···,N},边集记为ε={(i,j):i≠j,i,j∈V}⊆V ×V.令E=(eij)是图G的一个邻接矩阵,利用G(E)来表示邻接矩阵为E的符号图,图G(E)的拉普拉斯矩阵定义为L=Cr-E,其中由i到j的边 (i,j)∈ε是有向边,其中节点i,j分别称为父节点和子节点.如果 (j,i),(i,j)∈ε,那么图G(E)是无向图.文中定义ε+={(i,j)|eij＞0},ε-={(i,j)|eij＜0},ε=ε+∪ε-.由不同节点 (i1,i2),(i2,i3),···,(il-1,il)所组成的边的一个序列称为路径(路径长度为l-1).若符号图中的任意两个不同节点之间存在路径,则该图称为是强连通的.已知包含相同节点集的p个符号图G(Ek)= (V,εk,Ek),k=1,2,···,p,则在切换信号σ(k)下,可以定义一个时变符号图,即G(Eσ(k))= (V,εσ(k),Eσ(k)).

附录B 预备引理

考虑如下差分方程

其中,x∈Rn,f:Rn→Rn是连续的,f(0)=0.

引理1.令V:Rn→Rn是一个连续函数,且满足

其中,∀k ≥0,∀x∈Rn,c,c1,c2,c3是正常数.那么,对每个初始状态x(0),存在正常数ρ≥1,0＜γ＜1,有T≥0 (取决于x(0)和c),使得系统(B1)的解满足

证明.本引理证明类似于定理4.18[26]的证明.令Ωc={x∈Rn|V(x)≤c},若初始x(0)∈Ω,则系统 (B1)的解依赖于 Ωc,这是因为V(x(k))在边界上是负的.对于 Rn-Ωc内部的某个解,令T是它进入 Ωc的起始时刻,则对于所有的k∈[0,T]∩Z+,有下式成立:

又由于V(x(k))≥0,易得c3/c2＜1.所以(1-c3/c2)＜1.可以得到