例谈柯西不等式在解题中的应用

罗文军

(甘肃省秦安县第二中学)

柯西不等式可以很好地考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力,因而成为高中数学各类考试中的热门考点.n维柯西不等式的一般形式:对任意的实数a1,a2,…,an及b1,b2,…,bn,有

1 利用柯西不等式求最值

例1 已知函数f(x)＝|2x－m|,若f(x)≤1的解集为[1,2],且a＋3b＝m(a＞0,b＞0),求a2＋9b2的最小值.

例3 已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|.

(1)求不等式f(x)≥7的解集;

(2)记函数f(x)的最小值为a,正实数m,n满足

2 利用柯西不等式证明不等式

3 利用柯西不等式解方程组