基于定长扣索法的拱桥无应力合龙索力控制研究

成旭

摘要 采用斜拉扣挂法施工的拱桥，常会出现最大悬臂阶段的扣索索力与拱轴线形难以控制在目标范围内的情形。文章根据广义逆矩阵计算方法，提出了一种基于MATLAB的无应力合龙扣索索力优化算法。该算法使用广义逆矩阵，对扣索索力不断进行迭代优化，直到所有扣索索力都不超过目标范围。优化后的扣索索力，可以在实现无应力合龙的同时，将最大悬臂阶段的扣索索力都控制在目标范围内。

关键词 拱桥;无应力合龙;索力优化

中图分类号 U445.464 文献标识码 A 文章编号 2096-8949（2022）05-0114-03

0 引言

对于采用斜拉扣挂法施工的拱桥，控制最大悬臂阶段的扣索索力和拱轴线形，是施工控制中至关重要的一环。采用斜拉扣挂法施工，在拱桥合龙后需要拆除所有的施工临时扣索[1]。为了使卸索后的成拱线形与自重一次落架线形一致，常常会将实现合龙段的无应力安装作为重要的施工控制目标。然而要实现合龙段的无应力安装，很可能会出现最大悬臂阶段的拱轴线形以及扣索索力，超出控制范围。

该文采用广义逆矩阵计算方法，设计了一种基于MATLAB的无应力合龙扣索索力优化算法。

1 悬臂端控制点位置选取

要实现合龙段的无应力安装，首先需要实现最大悬臂端端点的坐标与切向角度一致[2]。

该文以悬臂端端点，以及轴线上纵向距离该点1 m的点（称为悬臂端校点）作为控制点，控制扣索索力对应的节点荷载。令这两个控制点的纵向坐标和竖向坐标都与设计线形一致，就能使悬臂端端口的坐标与切向角度都与设计线形一致。此时就能实现合龙段的无应力安装。

图1所示为新滩溪大桥拱肋控制点位置的标注。该桥采用斜拉扣挂法拼装的方式进行施工。该桥有两片拱肋，全桥共设置八个控制点，这八个控制点的位置，用三角标注如下：

2 无应力合龙扣索索力求解

为了实现无应力合龙，就需要控制悬臂端端点坐标和切线角度都与设计线形一致。如果采用零位移法计算扣索索力，那么在最大悬臂阶段，悬臂端端点与切线角度就会相对于设计线形产生偏移。每根扣索对应的节点荷载扣索索力的变化，都会使悬臂端端点与悬臂端校点产生一个竖向位移与轴向位移[3]。为了同时调整目标控制点的竖向位移与轴向位移，就需要构建一个竖向-轴向位移拼装柔度矩阵。拼装柔度矩阵、节点荷载索力、悬臂端位移的计算关系可表示為：

（1）

其中：k1，i—第i号扣索的单位节点荷载索力，产生的悬臂端端点竖向位移;

k2，i—第i号扣索的单位节点荷载索力，产生的悬臂端端点水平位移;

k3，i—第i号扣索的单位节点荷载索力，产生的悬臂端校点竖向位移;

k4，i—第i号扣索的单位节点荷载索力，产生的悬臂端校点水平位移;

ui—第i号扣索对应的节点荷载扣索索力增量;

—悬臂端端点的目标竖向位移;

—悬臂端端点的目标水平位移;

—悬臂端校点的目标竖向位移;

—悬臂端校点的目标水平位移。

式（1）中，构建了新滩溪大桥悬臂端控制点的横向、竖向位移节点荷载拼装柔度矩阵。该拼装柔度矩阵是不满秩的。对于任意给定的悬臂端目标位移，扣索索力都可以表达为特解+通解的形式。求取特解时，只取七、八、九、十号扣索的拼装柔度矩阵进行计算。计算通解时，需要解出拼装柔度矩阵的基础解系。由特解与基础解系构成的解空间，就是能够使悬臂端位移与给定目标位移相同的所有扣索索力的解集。

特解的计算方式如下所示：

（2）

通过只调整七、八、九、十号扣索的扣索索力，得到能使悬臂端位移与给定目标位移相同的特解。记该特解为η0。

前文所述的拼装柔度矩阵，一共有六个基础解系。记这六个基础解系分别为η1、η2、η3、η4、η5、η6。

于是得到了能够使悬臂端位移与给定目标位移相同的扣索索力通解，表达如下：

（3）

其中，ti为基础解向量ηi的系数。

以合龙段无应力安装为计算目标，计算扣索索力。计算实例如下：

最大悬臂初始状态，对应水富岸悬臂端相对于设计线形的位移：

（4）

对应绥江岸悬臂端相对于设计线形的位移：

（5）

水富岸七、八、九、十号扣索的节点荷载拼装柔度矩阵：

（6）

（7）

以最大悬臂初始状态为起点，要实现无应力合龙，则只需要使水富岸与绥江岸的指定位移为与的负值。此时得到一组能实现水富岸与绥江岸无应力合龙的扣索索力特解。

这组扣索索力特解，部分扣索索力值偏大，部分扣索索力值为负值。此时就需要使用广义逆矩阵方法进行调索。

3 应用广义逆矩阵法进行无应力状态合龙调索方案设计

广义逆矩阵是一种广泛应用于线性方程组求解中的数学方法。广义逆矩阵法认为，对于一个非齐次线性方程组，假设A是一个n×m阶矩阵，b是一个n阶列向量。如果，则说明该线性方程组无解。此时就会有便是该非齐次方程组的最小二范数解。其中，矩阵A的伪逆可以表示为A−1。

前述计算得到的扣索索力特解，部分扣索的索力并不合理。因此需要设计一种调索方案，使所有扣索的索力都调整到合理范围。

在式（3）中给出了能实现无应力合龙的扣索索力通解表达形式。该公式可进一步整理为如下形式：

（8）

其中，基础解向量η1、η2、η3、η4、η5、η6都是具有十个元素的单位列向量。这六个基础解向量共同构成通解的基础解系。t1、t2、t3、t4、t5、t6为这六个基础解向量的系数。η0为能够实现无应力合龙的扣索索力特解。

用任意指定的最大悬臂阶段节点荷载扣索索力β替换无应力合龙扣索索力η，此时有如下等式：

（9）

在该等式中，为对应任意指定索力的最小二范数解。将该解代入式（3）中，就可以得到在最小二范数意义上，最接近指定扣索索力的无应力合龙扣索索力。

在式（3）中给出了无应力合龙扣索索力的解空间。为了将无应力合龙扣索索力控制到合理范围内，需要在索力解空间中搜索合适的扣索索力，确定解空间中各基础解向量的系数。此时这一类调索问题，就转化为给定边界条件，确定线性方程组系数的线性规划问题。

指定扣索索力β，可以取任意的最大悬臂节点荷载扣索索力。求解得到的无应力合龙扣索索力η，在最小二乘意义上最接近指定扣索索力β。如果给指定扣索索力β一个增量，那么对应的无应力合龙扣索索力η同样会产生一个增量，并在最小二乘意义上接近调整后的指定扣索索力β。此时可以设计一种迭代求解无应力合龙扣索索力的计算方案：

（1）指定扣索索力β，并计算无应力合龙扣索索力，判断哪几根扣索索力没有处在合理的大小范围内。并判断这些扣索索力的调整方向。

（2）沿着判断得到的扣索索力调整方向，调整指定扣索索力β，随后再次计算无应力合龙扣索索力，并判断需要调整的扣索索力以及索力调整方向。

（3）当所有的扣索索力都调整到合理范围内后，迭代停止，并输出迭代后的无应力合龙扣索索力。

该方案的MATLAB算法如下所示：

D=pinv（A）*B;E=A*D;G=C+E;H=G;M=H;

for i=1：1000

a=find（G<50）;b=find（G>50&G<500）;c=find（G>500）;

if a'*a>0

M（a，：）=1;M（b，：）=0;M（c，：）=0;

B=M*30+B;D=pinv（A）*B;E=A*D;F=C+B;G=C+E;H=G;

else if c'*c>0

M（a，：）=0;M（b，：）=0;M（c，：）=1;  B=M*-30+B;D=pinv（A）*B;E=A*D;F=C+B;G=C+E;H=G;

else

H=G

fprintf（‘索力收斂’）

end

end

end

其中：A—无应力合龙扣索索力基础解系;

B—指定扣索索力;

C—无应力合龙扣索索力特解;

D—广义逆矩阵法确定的解空间中扣索索力基础解向量的系数;

E—由解向量系数确定的扣索索力增量;

G—应用广义逆矩阵法第一次求解得到的最大悬臂扣索索力;

M、H—大小与G相同，用来在算法中进行逻辑判断并实现迭代。

如果能够实现所有的扣索索力都在合理范围内，则输出‘索力收敛’，并将结果输出为H。该算法可以在无应力合龙扣索索力解空间中，搜索能够令所有扣索的索力都在给定范围内的基础解系数。

在指定索力中，令所有扣索的索力等于200 kN。应用该算法得到的无应力合龙扣索索力计算如表1。

应用该算法计算得到的无应力合龙扣索索力，对应的悬臂端控制点相对于设计线形的位移，最大不超过0.05 mm，并且能够同时将所有扣索的索力都控制在合理范围内。

4 结语

扣索索力线性规划，是拱桥施工控制计算中的一大难点。针对无应力合龙扣索索力优化，文中给出了一类基于广义逆矩阵扣索索力迭代优化计算方法。该方法算理简单，应用方便，具有较好的实用价值。需要指出的是，如果直接在施工过程中应用该算法得到的扣索索力，那可能会导致施工过程阶段的索力与控制点位移波动较大。可以适当放宽索力优化控制条件，使优化后的扣索索力更有利于施工进行。

参考文献

[1]周水兴， 江礼忠， 曾忠， 等.拱桥节段施工斜拉扣挂索力仿真控制研究[J]. 重庆交通学院学报， 2000（3）： 8-12.

[2]白先梅. 高速铁路斜拉桥二次调索计算分析[J]. 高速铁路技术， 2016（4）： 46-49.

[3]杨兴， 张敏， 周水兴. 影响矩阵法在斜拉桥二次调索中的应用[J]. 重庆交通学院学报（自然科学版）， 2009（3）： 508-511.