基于对偶四元数移动机械臂运动学建模与控制

陈良港 ，张 方，张建光，蒋 祺，朱 伟

（1.南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏 南京 210016；2.昆山华恒焊接股份有限公司，江苏 昆山 215300）

移动机械臂由可移动底座和机械臂组成，兼具了移动底座的移动性和机械臂的灵活性，由于这些优势移动机械臂在许多方面都有应用，例如仓储物流、汽车装配等。然而移动机械臂的高冗余度和灵活性使得运动控制问题变得复杂，其运动学建模与控制可分为2 种基本方法。一些研究学者认为移动底座和机械臂是2 个独立的子系统，该方法侧重于解耦2 个子系统的控制，这使得无法使用一个控制器控制系统。其他研究者则将移动底座和机械臂视为一个系统，考虑它们之间的动态影响。由于本文的任务要求机械手和底座同时工作，故本文采用后一种方法。

在运动控制背景下，移动机械臂的协调控制通常忽略移动底座与机械臂运动跟踪精度的差异，并且不考虑机械臂的关节极限。单位对偶四元数相比于齐次变换矩阵更加紧凑，计算效率更高，已经被用于机器人运动学建模和位姿控制。本文针对冗余移动机械臂，采用单位对偶四元数来进行运动学建模，并由对偶四元数微分求得微分运动方程。通过闭环算法来进行运动学控制，在不影响主任务的前提下，使关节变量尽可能接近关节极限范围的中点。

1数学基础

1.1 四元数

1.2 对偶四元数

2 移动机械臂运动学模型

本文所采用的非完整移动机械臂模型由差速驱动底座和六轴机器人组成，如图1 所示。

图1 移动机械臂简化模型

采用MD-H 参数法建立六轴机器人的运动学模型，图2 为所有关节角为零位时连杆坐标系的分布情况，由图2 得MD-H 参数见表1。

图2 六轴机器人简化图和坐标分布

表1 六轴机器人MD-H 参数

图3 差速驱动底座简化示意图

3 移动机械臂微分运动学

对任意的关节位形，末端执行器速度与关节速度之间是线性相关的，可以通过雅可比矩阵建立起二者的映射关系。空间雅可比建立末端执行器空间运动旋量与关节速度之间的映射关系。

将式（19）对时间求导：

4 移动机械臂运动学控制

4.1 微分逆运动学方程

对于冗余系统，从末端执行器任务空间速度到广义速度映射不唯一，式（31）的通解为：

式中，qiM（qim）表示关节极限的最大（最小）值，qˉci表示关节范围的中值。

4.2 闭环算法

假定任务空间轨迹与速度，根据末端执行器速度由式（32）得到广义速度，基于欧拉前向积分法，给定积分时间间隔△t，将速度对时间的积分离散化：

5 仿真及结果分析

为验证上述算法，仿真程序在Python 平台完成，仿真所使用六轴机器人的关节角限位见表2。

图4 闭环逆运动学算法框图

表2 关节角度限位

设定末端执行器轨迹表达式为：

图5 表示运动过程中移动底座位置、转向角和机械臂关节角随时间的变化，可以看出末端执行器做曲线线运动时，移动底座在移动平面y 方向运动距离非常小，并且机械臂关节变量趋近于关节范围中值的同时变化平稳。

图5 移动机械臂广义坐标变化图

图6 表示基于反馈修正后末端执行器位置误差与四元数表示的姿态误差变化图，可以看出在使用基于反馈修正项的闭环逆运动学算法后，误差在减小并且在数量级上非常小，在实际应用过程中，这将大大减少运动过程中的误差。

图6 基于反馈修正的末端执行器位姿误差图

6 结论

本文通过单位对偶四元数来建立冗余移动机械臂的运动学模型，并由对偶四元数微分推导出末端执行器任务空间速度间的映射关系，相比于传统方法通过齐次变换矩阵来推导更加便捷，无需单独考虑机械臂与移动底座间的速度传递关系。提出在给定始末姿态的末端执行器轨迹规划的方法，通过闭环逆运动学来跟踪轨迹。通过验证算法有效性，可以看出采用闭环算法后，位置和姿态误差减小显著，并且各关节角在运动过程中轨迹平滑，都趋向于关节范围中值。