水工闸门面板结构空间有限元分析原则

张雪才，杨顺群，侯庆宏，王正中

(1.黄河勘测规划设计研究院有限公司博士后科研工作站，河南 郑州 450003；2.黄河勘测规划设计研究院有限公司，河南 郑州 450003；3.西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西 杨凌 712100)

0 引 言

水工闸门作为泄水建筑物的调节咽喉，作用是封闭水工建筑物的孔口，并能按需全部或局部开启，以调节上下游水位、泄放流量、电站运行、通航及其他控制功能，其造价在水工建筑物总造价中一般占10%～30%，在江河治理工程中达50%以上[1]。通过闸门的灵活启闭，对水库进行实时调节，以满足防洪、发电和水资源调配的需要，保证水利水电工程发挥其应有的社会和经济效益。闸门主要由门叶结构、埋件部分和启闭设备组成，其中门叶是由面板、梁格及支承等结构构成，面板是闸门结构必不可少的构件，承担着作用在闸门上的水荷载，并将其传给梁格，还参与承重结构的整体工作，其工作性质较为复杂。闸门面板主要有弧面(见图1a)和平面(见图1b)2种类型，现行SL 74—2019《水利水电工程钢闸门设计规范》[2]和NB 35055—2015《水电工程钢闸门设计规范》[3]规定弧形闸门面板可忽略曲率的影响按平面结构进行设计。我国现行闸门设计规范[2-3]、美国闸门设计标准[4-5]等都是根据薄板理论设计面板的，该理论基于Kirchhoff-Love假定，在其控制微分方程中忽略了横向剪切变形的影响，当面板为薄板时，该理论具有足够的精度，但随面板厚度的增加，忽略横向剪切变形将对结果产生较大影响，进而诞生了考虑横向剪切变形的中厚板理论，其中以Mindlin-Reissner中厚板理论应用最为普遍。

图1 闸门结构中的面板

随着高坝大库的兴建和金属结构制造水平的提高，大中型闸门愈发普遍，尤其是面板厚度愈加增大，如小湾底孔弧形闸门面板[6]和小浪底孔板洞闸门面板[7]都达到了中厚板水平，若再继续使用薄板理论对此同类型闸门面板进行设计已不尽合理且不能满足工程设计的需要，危及闸门结构、水工建筑物和下游人民生命财产的安全，所以根据实际工程中面板类型(薄面板或中厚面板)选择既安全又简洁的理论方法进行设计，具有重要的工程价值和科研意义。

因采用解析法求解中厚板问题较为复杂，不少学者如黄义[8]采用变分解法对弹性地基上四边自由中厚板进行了求解；钟阳等[9-10]采用Hamilton原理拓展了中厚板弯曲问题的辛几何解法以及采用解耦法和改进重三角级数法对中厚板问题求解；Pugh等[11]、Hughes等[12-13]、Spilker等[14]学者以Mindlin-Reissner理论为基础提出了一系列中厚板通用单元体，这些单元体采用了简化数值积分，理论上不够完善，求解过程复杂；武秀丽利用胡海昌中厚板理论建立了轨枕板的计算模型[15]，求解过程同样复杂，不利于工程设计人员应用，亦不便于推广。

空间有限元法在结构分析中具有深厚完善的理论基础，实践中有强烈迫切的需求，水利行业其他规范[16-25]都进行了明确规定，随着GB/T 33582—107《机械产品结构有限元分析通用规则》[26]的颁布实施、商业化软件的完善成熟，已具备使用有限元法的条件，并且相对于采用传统材料力学计算方法来说，有限元法应用范围更广、计算精度更高。我国绝大多数设计单位和高校从20世纪70年代已将空间有限元法应用于闸门设计，近50年来采用空间有限元法对闸门结构静力特性进行分析越来越普遍[27-35]。从精确结构计算和安全验算来讲，采用空间有限元法对闸门面板结构设计计算是非常必要的，龙述尧等[36]采用基于Mindlin中厚板理论的三维弹性力学有限元法对中厚板的位移和应力进行了计算。但上述研究几乎都是由面板的几何模型直接过渡到有限元模型，最后给出分析结果，而没有事先判断面板的结构类型(薄板或中厚板)、给出恰当的单元类型和合理的单元网格数，而恰恰这些因素对分析结果至关重要，只有把这些因素详细交代清楚，并可重复才能保证计算理论的恰当性、有限元模型的正确性、网格划分的真实性和分析结果的合理性。所以采用基于薄板理论和中厚板理论的有限元法对闸门面板进行分析时，需先明确面板的结构类型(薄板或中厚板)，再选择合适的单元类型及合理的单元网格数，最后才能得到较为真实的分析结果。该研究可为厘清工程设计人员对面板设计方法和构造处理等方面的认识误区，完善和丰富相关闸门设计规范，倡导更加规范和精确的闸门面板设计理念，摒弃增加次梁保障面板安全的设计思想等提供理论基础，进而提高闸门设计的效率和精度，为空间有限元法在闸门分析中的推广应用奠定技术基础，为闸门设计规范的修订完善提供理论基础。

1 闸门薄面板区格数值分析原则

我国现行闸门设计规范[2-3]根据闸门结构的布置将面板区格分为四边固定(或三边固定一边简支，或两相邻边固定、另两相邻边简支)等情况的正方形或矩形板，为确保研究成果的普适性，分别对四边简支、四边固支的正方形和矩形区格等情况进行系统研究，从而确定采用有限元法对面板分析时单元类型、边界条件和单元网格数等定量的分析原则。

采用有限元法对闸门进行分析时，面板一般采用壳单元模拟，面板被梁格分割成不同区格(见图1)的小正方形或小矩形，采用通过与理论解对比的方式确定有限元分析闸门面板区格的恰当单元类型和合理单元网格数(单元网格尺寸)。分别对正方形四边简支薄板区格、矩形四边简支薄板区格、正方形四边固支薄板区格、矩形四边固支薄板区格进行分析，大量工程实践表明闸门薄面板的厚度量级在10 mm左右，由薄板理论[37]确定出各薄面板区格的边长可分别为0.6、0.8 m和1.0 m。由弹性力学理论可知，薄板中心挠度理论解[37-38]为

(1)

式中，a为薄板的短边；b为薄板的长边；h为薄板的厚度；α取值由薄板长边与短边的比值，即b/a比值决定。对受均布荷载作用的四边简支和四边固支薄板α与b/a的关系见表1。

表1 均布荷载作用下薄板 α值

1.1 闸门薄面板区格的合理单元类型

单元类型决定着有限元计算的精度和效率。有限元软件Ansys中常用于分析板壳单元的类型有Shell 43、Shell 63、Shell 181和Shell 281等。为消除单元网格数对分析薄面板梁格的影响，以边长0.8 m×0.8 m，厚0.01 m的薄板为例，计算结果见表2及相应的挠度云图(见图2、3)。

表2 闸门薄面板区格不同单元类型挠度计算结果

由表2及图2、3知，对闸门薄面板区格采用不同单元类型Shell 43、Shell 63、Shell 181和Shell 281模拟时，数值计算结果与理论计算结果都很接近。故当闸门面板处于薄板水平时，采用上述常用Shell单元，并保证单元网格数取值合理，方可满足计算精度和效率的统一。

图2 不同单元类型时四边简支矩形薄板的中心挠度(0.8 m×0.8 m-0.01 m)

1.2 正方形薄面板区格的合理单元网格数

第1.1节说明了采用常用Shell单元可较好的对薄面板进行模拟，为探究有限元分析时单元网格数对分析结果的影响，本节采用式(1)和有限元法对正方形薄板在四边简支和四边固支时的中心挠度进行计算，采用Shell 181单元类型，该单元为4结点有限应变壳单元，每个结点有6个自由度，适用于模拟不同类型和不同形状的板壳。不同薄面板区格和不同单元网格数时有限元分析结果见表3。

由表3得正方形四边简支和四边固支薄面板区格中心挠度数值结果误差与单元网格数的关系见图4。

由表3及图4知，闸门薄面板区格的单元网格数不能过小，也即单元尺寸不能过大，否则导致计算结果错误或误差过大；但单元网格数也不能过大，否则会导致计算量过大。而合理的单元网格数是既可满足计算精度的要求又可满足计算经济的要求，对正方形薄面板区格，网格划分时尽可能保证相同边长的单元网格数相等，但要大于2份，一般为6～12份或单元网格尺寸为0.03～0.15 m时可得到精确结果。

图3 不同单元类型时四边固支矩形薄板的中心挠度(0.8 m×0.8 m-0.01 m)

表3 正方形四边简支和固支薄面板区格中心挠度

图4 正方形薄板中心挠度误差与单元网格数的关系

1.3 矩形薄面板区格的合理单元网格数

1.3.1 四边简支矩形薄面板区格

第1.2节探究了正方形薄面板区格有限元分析时合理单元网格数，为更加全面探究实际工程中闸门面板区格的合理单元网格数，同样采用公式(1)和有限元法对矩形薄面板区格在四边简支时的中心挠度进行计算，结果见表4。

由表4知，b/a为2.0的四边简支矩形薄面板区格，当单元网格数为4×4，即长边划分4份，短边划分4份，数值计算挠度值为6.84 mm，理论计算值为6.71 mm，误差仅为1.96%；而当长边划分4份，短边划分2份，保证各边划分份数与其相应的长度成比例时，数值计算挠度值为5.10 mm，此时误差达到24.05%，所以对矩形薄面板区格，网格划分时尽可能保证各边划分的网格数相等，一般都要大于2份，在6～12份或单元网格尺寸为0.03～0.25 m时能得到精确结果。该结论对矩形薄面板区格边长比分别为1.2、1.4、1.6和1.8时同样成立(结果见表5)。所以对闸门薄面板区格进行网格划分时尽量不要根据其边长来按比例划分，划分的份数要大于4份，建议在6～12份或单元网格尺寸为0.03～0.25 m时且各边的划分份数要尽可能相等。

表4 矩形四边简支薄面板区格中心挠度理论解和数值解(b/a=2.0)

表5 矩形四边简支薄面板区格中心挠度理论解和数值解

1.3.2 四边固支矩形薄面板区格

同理采用公式(1)和有限元法对矩形薄面板区格在四边固支时中心挠度进行计算，结果见表6。

由表6知，b/a为2.0的四边固支矩形薄面板区格，当单元网格数为4×4，即长边划分4份，短边划分4份，数值计算挠度值为1.76 mm，理论计算值为1.68 mm，误差仅为-4.59%；而当长边划分4份，短边划分2份，保证各边划分份数与其相应的长度成比例时，此时误差达到99.26%，所以对矩形薄面板区格，网格划分时尽可能保证各边划分的网格数相等，但一般都要大于4份，在6～12份或单元网格尺寸为0.03～0.25 m时能得到精确结果。该结论对矩形薄面板区格边长比分别为1.2、1.4、1.6和1.8时同样成立(结果见表7)。所以建议对闸门薄面板区格进行网格划分时尽量不要根据其边长来按比例划分，划分的份数要大于4份，建议在6～12份或单元网格尺寸为0.03～0.25 m时且各边的划分份数要尽可能相等。

表6 矩形四边固支薄面板区格中心挠度理论解和数值解(b/a=2.0)

由表7知，四边固支的矩形区格薄板，网格划分时尽可能保证各边网格数相等，一般都要大于4份，在6～12份之间都能得到精确的结果。对矩形薄板边长比分别为1.2、1.4、1.6、1.8和2.0时同样成立，所以建议对闸门薄面板区格进行网格划分时尽量不要根据其边长来按比例划分，各边单元网格数要大于4份，建议取6～12份或单元网格尺寸0.03～0.25 m且各边的网格数要相等。

表7 四边固支矩形薄板中心挠度理论解和数值解

综上，对闸门进行空间有限元分析时，不论薄面板区格是正方形还是矩形、亦或边界条件是四边简支还是四边固支，对其进行网格划分时都不应按照区格长度与宽度的比例关系进行网格划分，而应尽可能保证其长度和宽度方向上网格数相等且每单位长度不少于4份或单元尺寸长度保证在0.03～0.25 m时，采用有限元分析时可得到较为理想的计算效率和精度。

2 闸门中厚面板区格数值分析原则

由第1节分析结果知，采用有限元法对闸门面板区格进行分析时，当单元类型确定时，合理单元网格数不受面板区格的形状(正方形或矩形)、边界条件(四边简支或四边固支)等因素的影响，限于篇幅，当单元类型确定时，仅对闸门正方形中厚面板区格的合理单元网格数进行研究。

2.1 闸门中厚面板区格的合理单元类型

同理采用Shell 43、Shell 63、Shell 181、Shell 281来模拟闸门中厚面板区格，以边长1.0 m×1.0 m，厚0.05 m的中厚板为例进行分析，并与文献[9，39]计算结果对比，结果见表8。

由表8知，对闸门中厚面板区格采用不同的单元类型Shell 43、Shell 63、Shell 181和Shell 281进行模拟时，除Shell 63单元类型外，数值计算结果与理论结果都很接近，因在ANSYS中，Shell单元采用平面应力单元和板壳弯曲单元的叠加，而Shell 63没有考虑横向剪切变形，所以采用Shell 63单元类型模拟中厚面板区格时计算误差较大(分别达到11.87%和15.51%)。所以对闸门中厚面板区格进行模拟时，所选单元类型要具有考虑横向剪切变形的功能，如Shell 43、Shell 181和Shell 281等。只有选择恰当的单元类型，并且单元网格数合理，才能得到较为精确结果。

表8 闸门中厚面板区格不同单元类型挠度计算结果

2.2 闸门中厚面板区格的合理单元网格数

首先采用文献[9，39]的求解方法对中厚板解析解进行求解，并与有限元方法验证，两种方法的计算结果见表9。由上文知采用有限元法对面板进行分析时，当单元类型(Shell 181)确定后，合理单元网格数与面板区格的边界条件关系不大，限于篇幅，仅对四边固支中厚面板区格的合理单元网格数进行探究。

表9 四边固支中厚面板区格中心挠度理论解和数值解

由表9知，对四边固支中厚板矩形区格(跨厚比分别为10、15和20)，当单元网格数为2×2，即中厚面板区格各边都划分2份，最大挠度的理论解与数值解误差分别达到82.09%、91.33%和49.60%，也即因网格单元数过少导致有限元计算结果失真，当区格网格数划分4份及以上时理论结果与数值结果的误差均在0.5%左右。综上知，对高水头大泄量闸门面板区格进行有限元分析时合理单元网格数每单位长度不少于4份或单元尺寸长度尽可能保证在0.03～0.25 m时，采用有限元法可得到较为精确的结果且满足工程应用。

3 两种理论计算结果对比

Shell 181等单元类型可模拟薄面板区格和中厚面板区格，为探究现行闸门设计规范[2-3]中薄面板区格计算理论与采用中厚面板区格理论计算结果的差别，采用上文已验证的方法进行计算，对边长1.0 m×1.0 m，厚度由0.01～0.1 m范围的面板区格进行系统计算，单元网格数为32×32，计算结果见表10。

表10 薄板理论、中厚板理论和有限元法计算结果

由表10知，当面板区格的跨厚比为40～100(即薄板)时，采用薄板理论、中厚板理论和有限元法的结果较接近；当跨厚比为10～20(即中厚板)时，采用薄板理论计算结果与中厚板理论和有限元法结果相差较大，即薄板理论不再适用跨厚比较小板的计算；采用中厚板理论和有限元法对薄板和中厚板都适用，且具有较高的精度。这是由于薄板理论基于Kirchhoff-Love理论，不考虑板的横向剪切变形的影响，中厚板理论基于Mindlin-Reissner理论，考虑横向剪切变形的影响，而横向剪切变形对薄板的力学特性影响小于对中厚板力学特性影响的缘故。

4 结 论

通过对闸门面板区格结构空间有限元分析原则的系统研究，指出单元类型和单元网格数对计算结果至关重要，而科学合理选取单元类型和单元网格数可保证计算经济性和精确性的统一。分析了单元类型、单元网格数、边界条件对面板区格计算结果的影响，给出了面板区格空间有限元分析的相关原则，为空间有限元法在闸门分析中的推广应用奠定技术基础，为闸门设计规范的修订完善提供理论基础。主要结论为：

(1)对高水头大泄量闸门面板仍采用现行闸门规范设计已不尽合理且不能完全满足工程设计的需要。

(2)应采用中厚板理论和具有横向剪切变形功能单元类型的有限元法对中厚板和薄板类型的闸门面板进行合理设计，而不具有横向剪切变形功能单元类型的有限元法仅适用于薄板类型的闸门面板。

(3)面板区格的单元类型、边界条件对其合理网格数影响不大，也即对面板结构进行有限元分析时，各边每单位长度网格数不少于4份或单元尺寸长度尽可能保证在0.03 ～0.25 m时，可满足计算精度和效率的统一。

(4)采用具有横向剪切变形功能单元类型的有限元法不仅可弥补基于中厚板理论解析法求解复杂的不足，还可对任意几何形状、边界和荷载条件的中厚板、薄板及其组合结构结构进行更高精度地分析。