框架—自复位墙结构弹性地震反应分析的简化方法

刘汉赋，陆 晨，胡晓斌

(武汉大学土木建筑工程学院，武汉 430072)

地震具有极强的破坏性和毁灭性，可能给社会和经济各方面造成无法估量的损失。传统的抗震结构在强烈的地震作用下，可能会产生较大的残余位移[1]，因而难以恢复正常使用，甚至不得不拆除。而自复位结构在震后几乎不产生残余位移，无需修复或经过少量修复便可以正常使用，因此在地震工程领域引起了广泛关注[2]。具有自复位性能的构件包括自复位墙(或摇摆墙)、自复位梁柱节点、自复位支撑等，由此可形成不同的自复位结构，如自复位墙结构、自复位框架结构、自复位框架-支撑结构[3−7]。框架-自复位墙结构是由自复位墙结构和框架结构组合而成的一种新型结构形式，主要由自复位墙、框架以及连系梁组成。

近年来，少数学者对框架-自复位墙结构的抗震性能进行了深入研究。在数值分析方面，Ajrab等[8]使用DRAIN-2DX 对框剪结构以及摇摆墙-框架结构进行了非线性时程分析，结果表明：与框剪结构相比，框架-摇摆墙结构在地震作用下层间位移分布更加均匀。Wada 等[9]采用ABAQUS 分析了增加摇摆墙前后框架结构在地震作用下的动力响应，结果表明增加摇摆墙后框架结构的地震响应显著降低。胡晓斌等[10]通过时程分析的方法比较了附加自复位墙前后框架结构的动力响应，结果表明：附加自复位墙后框架结构的动力响应减小且基本不产生残余位移。Sun 等[11]研究了布置阻尼器的基础铰接式摇摆墙-框架结构的力学性能，结果表明：结构响应可以达到设计时的目标性能水平，其中结构位移角小于目标值，且不存在薄弱层的失效。吴守君等[12]提出了框架-摇摆墙结构的分布参数模型，并利用该模型分析了摇摆墙刚度对结构侧移分布、摇摆墙和框架承载力的影响，研究结果表明：摇摆墙能使塑性铰的分布更加均匀，增设预应力钢筋和金属屈服型阻尼器提高了结构耗能能力，减小了结构的残余变形。杨树标等[13]提出了一种新型的摇摆填充墙-框架结构，并进行了静力非线性分析，结果表明：在墙体摇摆之后摇摆填充墙能够改变结构层间变形分布，使结构层间变形趋于均匀，结构破坏机制变为整体型破坏，有效提高了框架结构的延性。

在试验研究方面，Toranzo 等[14]较早开展了框架-自复位墙结构缩尺模型的振动台试验，试验表明结构没有出现残余变形，并且墙体底部角点处的撞击区域保持完整。张富文等[15]提出了框架-摇摆墙结构连接节点的新型构造方法，并通过拟静力试验，对比研究了框架-摇摆墙结构与框架结构的抗震性能，结果表明框架-摇摆墙结构具有震后可恢复的特性。董金芝等[16]提出了一种框架-预应力摇摆墙新型结构形式，并开展一榀框架试件和一榀框架-预应力摇摆墙试件的拟静力试验，结果表明：框架-预应力摇摆墙结构的破坏有效地集中在耗能连接件上，梁端、柱端以及梁柱节点区的破坏相对较轻；极限承载能力提升显著，耗能能力较对比框架大幅提升，且各层层间变形趋于均匀。蒋璐等[17]研发了一种受控摇摆墙，结果表明设置碟形弹簧的框架-摇摆墙较对比框架承载力有较大提高，且具有更好的刚度退化性能与耗能性能，框架结构的变形模式得到改善，各层的层间位移趋于均匀。

由上述可知，目前对框架-自复位墙结构的研究还较少，且主要表现在数值模拟与试验研究层面，而在理论层面很少，尤其在地震响应分析方面。此外，我国规范采用了“三水准、二阶段”的抗震设计思路，为了满足第一阶段抗震设计的需要，有必要针对框架-自复位墙结构开展弹性地震反应分析方法研究。因此，本文针对框架-自复位墙结构，首先提出简化分析模型，建立其在地震激励下的运动方程，给出相应的Simulink 动态仿真模型，然后针对一个典型的算例，分别采用本文的方法及有限元方法进行弹性地震响应对比分析，以验证本文方法的计算精度。本文的研究成果可为框架-自复位墙结构的抗震设计提供重要的理论支撑。

1 框架-自复位墙结构简化分析模型

借鉴框架-剪力墙结构的受力分析思路[18]，可以将框架-自复位墙结构沿受力方向简化成平面结构(如图1 所示)，主要包括：自复位墙、连系梁及框架。对于自复位墙，在其底部设置水平缝，墙体可绕两端产生转动，此外假设预应力筋沿竖向布置在中部，阻尼器布置在墙体底部两侧。

图1 框架-自复位墙结构计算简图Fig. 1 Schematic diagram of framed self-centering wall (FSCW) structure

已有试验研究表明[19−20]，对于高宽比不大的自复位墙，在往复荷载作用下仅底部两端有轻微损伤，而整体上仍为刚体。因此，为简化分析，可将自复位墙简化为刚体，框架部分简化为多自由度体系，从而将框架-自复位墙结构简化为刚体-多自由度体系。按照是否考虑连系梁与自复位墙之间的约束[18]，上述刚体-多自由度体系还可分为铰接体系与刚度体系。二种体系的分析思路较为类似，为节省篇幅，本文仅针对框架-自复位墙结构铰接体系(如图2 所示)进行研究。

图2 框架-自复位墙结构铰接体系Fig. 2 Pin-jointed system of FSCW structure

2 地震激励下框架-自复位墙结构运动方程

根据图2 所示的分析模型，可建立地震激励下框架-自复位墙结构的运动方程。由于进行弹性地震反应分析，因此除墙体及阻尼器外，其余各部分均假设为弹性。分析时假设墙体顺时针转动为正，水平位移向右为正。

2.1 墙体逆时针转动

2.1.1 运动方程的建立

在图2 中，在连系梁处沿竖向将自复位墙-框架结构剖开，分别得到墙体及框架部分的受力简图，如图3 所示，其中：l为自复位墙对角线长度的一半；m、b及h分别为墙体的质量、宽度及高度；α 为墙体对角线与垂直线之间的夹角；θ 为墙体转动的角度；x为墙体顶点的水平位移；u¨g为地面运动加速度。

图3 墙体逆时针转动时受力简图Fig. 3 Mechanical analysis diagram of FSCW structure when wall rotates counterclockwise

假设墙体绕O′转动，墙体转动时产生的切向惯性力、径向惯性力以及转动惯性力矩分别为fIt、fIr及MI；预应力筋、左侧阻尼器以及右侧阻尼器的恢复力分别为fp、f1及f2；预应力筋的初始荷载和弹性刚度分别为fp0、kp；框架部分第i个质点的惯性力、阻尼力及恢复力分别为fIi、fci及fri，水平相对位移为xi，质量、层刚度及高度分别为mi、ki、hi；自复位墙与框架第i个质点之间的水平相互作用力为pi。

对于墙体，假设不考虑阻尼，根据达朗贝尔原理，对O′点取矩，列出力矩平衡方程如下：

其中，a、b为阻尼矩阵系数，可用如下公式确定：

式(7)即为墙体逆时针转动时框架-自复位墙结构在地震激励下的运动方程。可以看出，利用本文提出的简化分析模型，可将原多自由度体系转化成单自由度体系，因此求解得到大大简化。

2.1.2 运动方程的简化

由式(7)可以看出，该方程为高度非线性微分方程，求解起来较为困难，需要进一步将其简化。

阻尼器是典型的滞回元件，需要采用滞回模型描述其滞回行为。但由于本研究开展的弹性地震反应分析，为简化起见，假设其始终处于屈服状态，则有：式中，fd表示阻尼器的屈服力。该假设对于屈服力较小的金属阻尼器或摩擦型阻尼器是近似成立的。

此外，由墙体小转动假设可得：

将式(8)、式(9)代入式(7)，并利用式(6)，可化简得到：

其中：

式(14)即为墙体逆时针转动时框架-自复位墙结构在地震激励下运动方程的简化形式，该方程为二阶常微分方程，求解较容易。

2.2 墙体顺时针转动

假设墙体绕O点转动，如图4 所示。对于墙体，假设不考虑阻尼，根据达朗贝尔原理，对O点取矩，列出力矩平衡方程如下：

图4 墙体顺时针转动时受力简图Fig. 4 Mechanical analysis diagram of FSCW structure when wall rotates clockwise

由式(15)、式(17)及式(6)，可得：

式(18)即为墙体顺时针转动时框架-自复位墙结构在地震激励下的运动方程。与上节类似，利用式(8)、式(9)及式(6)，对式(18)进行化简可得：

式(14)与式(19)分别为地震激励下框架-自复位墙结构在墙体逆时针和顺时针转动时的运动方程。不考虑墙体底部与地面碰撞时的能量损失，将上面二式进行合并，可得：

式(20)即为地震激励下框架-自复位墙结构铰接体系的综合运动方程。

3 框架-自复位墙结构弹性地震反应求解

由第2 节可以看出，获取框架-自复位墙结构弹性地震反应的关键在于求解式(20)，以得出墙体或框架顶点的响应，进而根据相关的条件求得其他响应，如各层的位移、框架部分各质点的惯性力等。因此，本节重点给出式(20)的求解方法。值得注意的是，尽管式(14)与式(19)分别为二阶常系数线性微分方程，但其合并式(20)为一非线性方程，难以给出解析解，需要采用数值方法求解。

本节采用MATLAB/Simulink，建立与式(20)相应的动态仿真模型，如图5 所示。可以看出，该动态仿真模型比较简单，需要输入的参数主要包括二类：一是地面运动加速度u¨g；二是各增益模块中的增益值，包括2ωξ、ω2、 γ 及 α。求解时采用ode23tb 求解器。

图5 Simulink 动态仿真模型Fig. 5 Simulink dynamic simulation model

4 应用及验证

前述二节给出了框架-自复位墙结构弹性地震反应的分析方法，其实质上是将原体系等效成一个单自由度体系，因此计算量小，计算效率高。但是，该方法在推导过程中采用了一些假设，因此有必要对其计算精度进行检验。本节针对一个典型的框架-自复位墙结构算例，分别采用本文提出的方法及ABAQUS 软件进行对比分析，以验证本文方法的分析精度。

4.1 分析对象概况

图6 所示为一个典型的6 层框架-自复位墙结构，自复位墙厚度为0.24 m、宽度为3 m、层高为3 m，总高度为18 m，墙体底部两端布置有阻尼器，阻尼器的屈服力fd为7.1 kN，墙体中部沿竖向设置一根竖向预应力筋，初始力fp0为50 kN，弹性刚度kp为4.272 ×106N/m。自复位墙、连系梁以及框架均采用C30 混凝土，弹性模量为3×104MPa，密度为2400 kg/m3。

图6 算例尺寸及配筋详图 /mmFig. 6 Dimensions and details of typical FSCW structure

4.2 地震波选取

考虑到地震动的离散性，选取7 条地震波进行弹性时程分析，如表1 所示，包括：从PGMD数据库[21]中选取的6 条天然波(LA1～LA6)；采用本课题组开发的选波系统SWS[22]生成的1 条人工波(LA7)。

表1 选取的地震波Table 1 Selected seismic waves

4.3 弹性地震响应分析

采用集中质量法计算自复位墙的质量及框架各质点的质量，使用D 值法[18]计算框架部分各层的刚度。采用国际单位，可求出式(20)中各参数值如下：ξ=0.035，ω=17.273 rad/s，γ=1.4105，α=1.0081 m/s2。代入上述参数，利用Simulink 动态仿真模型求解式(20)，可求得上述7 条地震波作用下所给算例的顶点水平位移及加速度响应。

4.4 ABAQUS 对比分析

4.4.1 ABAQUS 建模

采用ABAQUS 软件建立所给算例的有限元模型，如图7 所示。整个模型由混凝土基础、自复位墙、预应力筋、阻尼器、连系梁以及框架6 部分组成，其中基础用来模拟自复位墙的转动，其底部固定，自复位墙与基础之间定义面面接触。混凝土和预应力筋均设置为弹性材料。自复位墙和连系梁分别采用壳单元(S4R)和梁单元(B31)模拟；为模拟二者之间的铰接，首先采用Merge 功能直接连接，然后通过关键字“release”来释放约束。采用Tie 连接，将预应力筋分别连至墙顶及基础顶面。阻尼器采用Axial 连接器模拟，假设其为摩擦阻尼器，本构模型采用理想塑性模型，屈服力为7.1 kN。框架部分各质点通过Translator 连接器模拟。

图7 ABAQUS 模型Fig. 7 ABAQUS model

4.4.2 计算结果

采用上述ABAQUS 模型，计算得到算例在7 条地震波作用下的弹性地震响应，部分地震波作用下框架顶点相对水平位移时程及绝对加速度时程分别如图8、图9 所示。可以看出：在整体上，采用本文方法与ABAQUS 模拟所得结构的顶点位移时程曲线和加速度时程曲线具有较好的一致性；两种方法也存在一定的差异，其主要原因在于本文所建立的简化分析模型采用了一些必要的假定。

图8 位移时程曲线对比Fig. 8 Comparison of displacement time - history curves

图9 加速度时程曲线对比Fig. 9 Comparison of acceleration time - history curves

两种方法计算得到的结构顶点最大相对水平位移和最大绝对加速度分别如表2 和表3 所示，相应的条状图如图10 所示。可以看出：除少数地震波(如LA6)外，大部分地震波所得结果误差很小；在总体上，本文方法与 ABAQUS 模拟所得的相对位移和绝对加速度最大值误差较小，平均值在10%左右，在工程上是可以接受的。

图10 计算结果对比Fig. 10 Comparison of calculation results

表2 结构顶点最大相对位移 /mmTable 2 Maximum relative displacement on top of structure

表3 结构顶点最大绝对加速度 /(m·s−2)Table 3 Maximum absolute acceleration on top of structure

由上述可知，在7 条地震波作用下，两种方法计算得到的结构顶点位移及加速度响应吻合得较好，误差处于可接受的范围。因此，本文提出的方法，可用来近似计算地震激励下框架-自复位墙结构的弹性地震响应，且其分析效率很高。

5 结论

本文针对框架-自复位墙结构，将自复位墙假定为刚体，框架简化为多自由度体系，得到了“刚体-多自由度体系”分析模型，建立了地震激励下的运动方程，给出了相应的Simulink 动态仿真模型。针对典型算例，在多条地震波激励下，采用本文方法进行了弹性地震响应分析，并与ABAQUS 模拟结果进行了对比。基于本文的研究，可以得到以下主要结论：

(1)利用“刚体-多自由度体系”分析模型，将原体系等效成一个单自由度体系，可以大大简化框架-自复位墙结构在地震作用下的响应分析。

(2)本文方法及ABAQUS 模拟得到的结构顶点位移及加速度在总体上吻合较好，表明本文提出的简化方法具有较高的分析精度，能进一步应用于框架-自复位墙结构的抗震设计。