章动面齿轮传动点接触脂润滑弹流润滑分析

王广欣，范文仲，沈玉婷

(大连交通大学 机械工程学院，辽宁 大连 116028)

地铁，隧道等挖掘设备的工作环境恶劣、强度大、维修养护困难，进而导致传动装置的润滑问题日益明显.而润滑脂在常温下呈固态或半液态的膏体状，具有使用方便，粘附在物体表面不易流失的特点，可以为该类传动装置提供长期稳定的润滑.章动面齿轮传动是一种新型空间齿轮传动，因其具有速比大、结构紧凑、零件少、体积小、承载能力强等优点被应用到盾构机，隧道挖掘等设备的传动装置中[1].

Jonkisz和Krzeminsik[2]对线接触脂润滑弹流润滑问题进行了比较深入地研究，他们基于Herschel-Bulkley流变模型求得了脂润滑弹流润滑的完全数值解.对比油润滑的膜厚与压力的形状，发现二者的膜厚和压力形状类似，并给出了包含流变参数的脂润滑线接触膜厚计算公式.Rahnejat[3]等人分析了等温点接触脂润滑弹流润滑问题，除入口区和二次压力峰处外，脂润滑弹流润滑压力的分布和油润滑压力的分布十分接近，理论计算结果和Cameron等人的实验结果相吻合.

应自能和温诗铸[4]对脂润滑弹流润滑进行了比较全面的理论分析，他们将求解区域划分为顺解区和逆解区，求出了线接触下脂润滑弹流润滑的数值解.指出润滑脂的触变性、组成结构及入口区边界条件是影响油膜特性的主要条件.董大明[5]等根据四参数流变模型，导出了线接触纯滚动脂润滑的当量雷诺方程，通过多次迭代使计算参数收敛，分析计算数据得出了充分润滑条件下线接触脂润滑与基础油中心膜厚之间关系式.

本文以章动面齿轮传动点接触形式下的单对啮合齿轮副为研究对象，以具有非牛顿流体特性的Herschel-Bulkley流变模型为基础，借鉴数学中分离变量的思想方法，依据分离流速法建立润滑方程.利用多重网格积分法和微分法求出方程的数值解.讨论了模数，章动角，压力角及齿数对章动面齿轮传动润滑特性的影响.以期为章动面齿轮传动设计及预防润滑失效提供一定的参考.

1 章动面齿轮传动

章动面齿轮传动是由共轭啮合的两个面齿轮结合章动原理形成的一种传动形式.该传动主要是由输入轴带动围绕倾斜轴旋转的行星盘面齿轮，分别与固定盘面齿轮和转动盘面齿轮相啮合，从而实现章动运动.该传动装置结构图如图1所示.

图中代号1～21分别表示输入轴、键、密封圈、内六角螺栓、箱体、轴套、行星盘面齿轮、转动盘内六角螺栓、输出轴、输出端轴承盖、输出侧密封圈、轴承端盖内六角螺栓、圆锥滚子轴承、挡油盘、深沟球轴承、转动盘面齿轮、行星盘圆锥滚子轴承、固定盘面齿轮、固定盘内六角螺栓、调心滚子轴承、输入端轴承端盖.其中，固定盘和转动盘分别与行星盘的左右两侧相啮合，构成固定侧面齿轮副和转动侧面齿轮副[6].

图1 章动面齿轮传动装置结构图

2 点接触模型的建立

根据齿轮啮合原理[7]，通过章动面齿轮传动的齿面接触分析知，两面齿轮接触齿面属于弹性点接触.在传动过程中，啮合齿面在法向载荷的作用下，接触区域由点接触变形为椭圆接触[6].假设两等效椭球体在接触点处两主平面重合，且第一主方向与椭圆接触区域的长半轴重合，设为X方向.第二主方向与椭圆接触区域的短半轴重合，设为Y方向.如图2所示.图中a和b分别表示椭圆接触区的长半轴和短半轴，Fn表示法向载荷.

图2 章动面齿轮传动等效点接触模型

3 基本方程

3.1 基本方程

(1)本构方程

(1)

式中，τs表示屈服剪切应力,η表示塑性黏度,n表示流变指数.

(2)Reynolds方程

Reynolds方程的推导是解决弹性流体动力润滑的关键，借鉴分离变量法，参考流速分离法求解非牛顿流体润滑方程的思想[9]，推导Herschel-Bulkley非牛顿流体模型对应的Reynolds方程.

平衡方程：

(2)

式中，τzx表示X方向剪应力.由于剪切力流速uc和压力P无关，将式(1)代入式(2)得

(3)

对式(3),沿膜厚Z方向积分，并利用表面边界条件，即当z=0时，u=UI；当z=h时，u=UC[9].可以求出润滑膜中任意点沿着X方向的剪切流速为:

(4)

Y方向的剪切流速vc为：

(5)

压力流流速

(6)

将式(6)进行积分，压力流流速up的分布在膜厚Z方向是沿着中线上下对称分布的，并且在边界上的流速为零[9].根据流速边界条件x=0，up=0；x=h，up=0；可以得到X方向压力流速：

(7)

同理可得Y方向的压力流速vp为：

(8)

所以X方向流速u等于剪切流流速和压力流流速之和:

(9)

再次沿着膜厚积分得到截面流量qx：

(10)

同理可得Y方向的流速和截面流量.

根据分离流速法可以求得Herschel-Bulkley模型的Reynolds方程是：

(11)

(3)膜厚方程[9]

(12)

式中，h0代表中心膜厚，Rx和Ry分别表示X和Y方向等效曲率半径，Ε表示综合模量，Ω代表椭圆计算域.

(4)载荷平衡方程[10]

(13)

式中，ω表示章动面齿轮副点接触载荷.

(5)润滑脂性能方程[10]

黏-压方程：

(14)

式中，η0润滑脂初始黏度,p0表示压力黏度系数，取1.96×108.

密-压方程

(15)

式中，ρ0表示润滑脂初始密度.

3.2 量纲一化方程

引入下列无量纲量对Reynolds方程进行无量纲一化[10].

(1)量纲一化后的Reynolds方程

(16)

(17)

(2)量纲一化后的膜厚方程

(3)量纲一化的载荷平衡方程

(18)

(4)量纲一化的性能方程

黏-压方程

(19)

密-压方程

(20)

3.3 无量纲方程离散化

(1)离散后的Reynolds方程

(21)

ΔX=Xi-Xi-1，ε0=εi+1/2,j+εi-1/2,j+εi,j+1/2+εi,j-1/2.

(2)离散后膜厚方程

(22)

(3)离散后的载荷平衡方程

(23)

式中:Pij表示节点(i,j)处的压力值；ΔXi表示X方向节点间距；ΔYj表示Y方向节点间距.润滑脂性能方程无需离散可直接进行数值计算.

4 算例及计算方法

取单对啮合齿轮副节圆中点进行分析，计算出模数、章动角、刀具压力角以及齿轮齿数不同时，齿宽中点处的等效曲率半径，卷吸速度，赫兹接触力等分析润滑性能影响.

表1中各参数说明如下：Z1，Z2，Z3，Z4分别表示固定盘面齿轮齿数，行星盘固定侧面齿轮齿数，行星盘转动侧面齿轮齿数，转动盘面齿轮齿数；Zs1和Zs2分别表示固定侧刀具的齿数和转动侧刀具的齿数；β代表章动角；α表示刀具压力角；Us表示卷吸速度；Rx和Ry分别表示椭圆接触区域X和Y方向的等效曲率半径；m表示面齿轮模数；FH表示赫兹接触力.

表1 各参数变化值

表1 各参数变化值 (续表)

润滑脂选用MOLYPROX RV润滑脂，该润滑脂在正常工况下工作温度为-40～130℃，也可短期在150℃工况下工作，具体成分及性能指标见表2.

表2 MOLYPROX RV润滑脂性能指标

利用多重网格法[10]编制Fortran程序对润滑方程进行数值求解，节点数目4225，X方向起始坐标X0为-2.5，终点坐标Xe为1.5.Y方向起始坐标Y0为-2.0,终点坐标Ye为2.0.膜厚Z方向网格分为5层，计算参数如下：润滑脂动力黏度η0为0.048 Pa/s;润滑脂最小剪切应力为τs为10 MPa；齿轮材料泊松比μ为0.30；齿轮材料密度ρ为7 800 kg/m3；齿轮材料弹性模量E为211 GPa.

5 结果分析及讨论

由图3分析知，膜厚的形状在空间中类似“马蹄状”并且在接近出口区出现了膜厚颈缩现象，从入口到出口膜厚的总体走势是下降的.

图3 膜厚空间分布图

从图4看出，压力由入口逐渐增大，在接近出口处出现了二次压力峰，在其作用下，膜厚出现了凹陷区域.二次压力峰和油膜“劲缩”现象是弹流润滑重要特征.

为清晰直观地表示膜厚和压力的变化范围及趋势，本文取Y=0截面处的数据进行分析讨论.

图4 压力空间分布图

5.1 不同模数对膜厚和压力的影响

由图5(a)分析可知，面齿轮模数增加时，膜厚和压力也相应增加.膜厚从0.95 μm增加到1.05μm；压力从1.35 GPa增加到1.41 GPa.通过编程计算，由表1中的数据可得，增加面齿轮的模数间接地提高了啮合面齿轮副之间的卷吸速度，从而带动更多的润滑脂进入啮合区域，使润滑区域的供油量更加充分，油膜厚度随之增加，这对于提高章动面齿轮传动的润滑是有利的.

图5(b)分析了模数不同时转动侧齿轮副的膜厚和压力的分布，对比图5发现转动侧膜厚总体小于固定侧膜厚.当固定侧与转动侧齿轮副取相同模数时，转动侧曲率半径大于固定侧半径，转动侧齿面较固定侧齿面更为平缓，两齿面间贴合程度更好，更多的润滑脂被挤出，致使转动侧齿面间膜厚低于固定侧膜厚.

(a) 固定侧

(b)转动侧图5 不同模数时膜厚和压力分布

5.2 不同章动角对膜厚和压力的影响

从图6(a)可以看出，啮合区域的膜厚和压力随着章动角的增大而略有增加.通过编程计算并对表2中的数据分析可知，增大章动角直接地减小了啮合区域的等效曲率半径，间接地增加了接触点的曲率，加大了齿面弯曲程度；此外，增大章动角，直接提高了润滑入口区的卷吸速度，带动更多的润滑脂流入啮合齿面间，使润滑区域的油膜厚度增加，这有利于提高章动面齿轮传动的润滑质量.

图6(b)分析了章动角不同时转动侧齿轮副的膜厚和压力分布，转动侧作为输出侧，转速低，扭矩大，啮合冲击小，从图也可以看出转动侧二次压力峰比固定侧二次压力峰稍微平缓一些.

(a) 固定侧

(b)转动侧图6 不同章动角时膜厚和压力分布

5.3 不同压力角对膜厚和压力的影响

膜厚和压力均随着刀具压力角增大而增大，增大压力角对提高章动面齿轮传动的润滑质量是有利的.

对图7(a)分析可知，当刀具压力角由20°增加到25°时，膜厚从0.64 μm提高到0.79 μm，增幅约为23%.

(a) 固定侧

(b)转动侧图7 不同压力角时膜厚和压力分布

通过分析图7(b)，将刀具压力角由20°增加到25°，转动侧膜厚增幅约为35%.对比图7(a)、(b)可知：当α=25°时，固定侧膜厚为0.79 μm，转动侧膜厚为0.52 μm，这是因为固定侧齿面曲率半径小，曲率大，润滑脂不易流失，因此固定侧膜厚大于转动侧膜厚.

5.4 不同齿数对膜厚和压力的影响

由图8分析知，增加面齿轮齿数，油膜厚度和压力均降低.

对图8(a)进行分析可知，齿数增加由组1到组2，膜厚降低0.10μm，压力降低0.05GPa.当齿数增加由组2到组3时，膜厚降低0.16μm，压力降低0.09 GPa.增加齿轮齿数，等效曲率半径增大，曲率却减小，齿面比较平缓，不利于润滑脂在齿面上粘附，膜厚降低.由此知，增加齿轮齿数对膜厚的影响很大. 在章动面齿轮传动的设计中，模数、压力角和章动角不变的条件下，过多的面齿轮齿数不利于齿轮的润滑.

(a) 固定侧

(b)转动侧图8 不同齿数时膜厚和压力分布

图8(b)分析了取不同齿数时膜厚和压力的分布，转动侧的膜厚与压力的变化规律除与固定侧膜厚和压力的变化趋势一致外，转动侧的二次压力峰更高，更尖锐.齿数增加对降低转侧膜厚和压力更为明显.这是因为转动侧作为章动面齿轮传动的输出侧，齿轮转速低，齿面间啮合冲击小的缘故.

6 结论

本文讨论了章动面齿轮基本设计参数模数、压力角、章动角和齿数对齿面啮合区域内的膜厚和压力分布规律的影响.分析可得如下结论：

(1)传动点接触脂润滑啮合区域内存在二次压力峰和油膜 “劲缩”现象，最大二次峰值达2.1GPa，最小膜厚为0.38 μm，出现在二次压力峰对应膜厚凹陷区域；

(2)增加模数、章动角和压力角，固定侧膜厚和转动侧膜厚均增加.在章动面齿轮传动的合理设计范围内，适当地提高齿轮模数，章动角和刀具压力角有利于增加啮合齿面间润滑脂的膜厚；

(3)齿数的变化对传动的润滑性能影响较大，当增加面齿轮齿数，固定侧膜厚和转动侧膜厚均降低，增加面齿轮的齿数不利于啮合齿面间膜厚的提高，因此在章动面齿轮传动基本参数合理的设计范围内，面齿轮齿数不宜选取过多.