数理逻辑的创始人——弗雷格

杜瑞芝

L.G.弗雷格（L.G.Frege）是德国数学家、逻辑学家和哲学家.早年他在耶拿大学、弗雷格哥丁根大学学习数学、物理、化学和哲学，1873年获博士学位后在母校耶拿大学任教，直至退休.他是数理逻辑和分析哲学的奠基人，主要著作有《算术基础》《涵义与指称》《概念语言》《算术的基本规律》1～2卷（以下简称《基本规律》）等.

弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的.他在数学上的主要成就是使自C.F.高斯（C.F.Gauss）以来所建立的数学体系更加精确和完善，确立了算术演算的基本规则.他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论，并且首次提供了现代意义下的数理逻辑的一个体系，因而成为数理逻辑的奠基人.他还提出数学可以化归为逻辑的思想，成为逻辑主义的创始人.弗雷格还是一位杰出的哲学家.他的绝大部分著作都具有明显的哲学特征.弗雷格对哲学的重新规定，标志着当代西方分析哲学的开端.

一、建立了逻辑演算体系

弗雷格主要从事纯逻辑的研究.他用数学方法研究逻辑问题，其研究成果总结在1879年出版的《概念语言》中.18世纪德国哲学家A.特伦德伦堡（A.Trendelenburg）的著作对弗雷格有较大的影响.通过研究特伦德伦堡的工作，弗雷格了解到G.W.莱布尼茨（G.W.Leibniz）关于逻辑语言的观点，并追随特伦德伦堡，把他的逻辑符号系统称作“概念语言”.经过5年的精心研究，弗雷格完成了一部划时代的著作——《概念语言》.在这本书里，弗雷格把从R.H.洛采（R.H.Lotze）和特伦德伦堡，以及从莱布尼茨和I.康德（l.Kant）那里得到的观点，变成了一种全新的逻辑.这本不足80页的书是弗雷格的不朽之作.弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位，完成了始于几百年前G.伽利略（G.Galilei）破除亚里士多德物理学的进程.在《概念语言》中，弗雷格创造了一种表意的语言，即“纯粹思想的语言”.正如他在这本书的副标题中所说——它可以使我们完全精确地表达判断的概念内涵.他觉得日常语言是表达严密思想的障碍.当所表达的关系越复杂时，日常语言就越不能满足要求.因此他创造了这种概念语言.利用这种语言，弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系.

下面简要介绍一下弗雷格逻辑演算的内容.

1.弗雷格严格区别了命题的表达和断定.他引进断定符号“”.用“”表示“是被断定的”，将垂直短线“”称为判断短线、水平短线“”称为内容短线.“”是一个整体，它只表达可断定的内容，即命题的表达.而“”才表示命题的断定.如“”表示“不同的磁极相互吸引”这一断言，而“”只是表达了不同磁极相互吸引这一思想.

2.弗雷格明确提出真值蕴涵的思想，并指出它与日常语言的区别.他采用否定和蕴涵作为基本的逻辑联结词，用“”表示“非”.符号“△”表示“△蕴含”.他列举了和△的四种可能的真值组合：（1）    肯定，△肯定;（2）    肯定，△否定;（3）    否定，△肯定;（4）    否定，△否定.弗雷格说，当为真时，△蕴含常可被断定，在此情形下，△可以是任一命题，其具体内容完全无所谓.    和△不必有因果关系，与日常语言中的“如果……则”……不同.

3.弗雷格引进了一个内容同一的符号.设和△为任意名稱，即不一定是命题记号，他规定，“”的意思是“名称和名称△有相同的概念内容，使得总是能由△替换，反之亦然”.他还指出，由他的新符号所联结的名称不仅代表它们的内容而且代表名称自身.后来，他改用符号“=”，“=”不被看成两个名字之间的关系，而是看成名字的指称之间的关系.“=”用于专门的指称，相当于等词;用于命题的指称（真值），则相当于现在的等值符号.

4.弗雷格把数学中的函数概念引入逻辑演算，从而建立了量词的理论.他采用变目和函项两个术语，表示变目，记号表达变目的一个不确定的函项.记号表达按顺序所取的两个变目和△的一个函项.假定如下一种函项：当它由变目填满时，它表达可能的判断内容.于是，“”读作“有性质Φ”，“”读作“与△有关系Ψ”.弗雷格使用这种符号的主要优点是，它比普通语言所表达的更令人满意.在此基础上，弗雷格引进了全称量词和存在量词.

5.弗雷格建立了8条公理，用现代的符号表示为：

（1）    ;

（2）    ;

（3）    ;

（4）    ;

（5）    ;

（6）    ;

（7）    ;

（8）    .

弗雷格在上述公理的基础上，进行了大量的推演，成功地构造了一种基本自足的逻辑演算，从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统——现代的逻辑系统.它实质上包含了作为现代数理逻辑基础的两个演算系统——命题演算系统和一阶谓词演算系统.

不幸的是，弗雷格这本划时代的小册子被数学家和哲学家们忽视了.他在《概念语言》中建立的新逻辑没有马上被人理解.其中使用复杂而陌生的符号来表达新奇的概念，确使读者望而生畏.德国数学家E.施罗德（E.Schrder）发表了长篇文章，对该书进行全面批评.事实上，直到B.A.W.罗素（Russell）1901年开始发现弗雷格著作的价值之前，《概念语言》几乎没有读者.

《概念语言》出版之后，弗雷格开始形成逻辑主义的观点.在最初几年，他由于自己的著作没有受到重视而大受挫折，没有发表任何作品.但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲学和数学观点，并逐渐形成了他的数学哲学的三个主要原则：

第一，他反对在数学基础问题上的经验主义，否认数学来源的经验基础，强调数学真理的先天性;

第二，他认为数学真理是客观的，这种客观性基于数学的非经验的基础.在他看来，客观性是思想的必要条件;

第三，他主张一切数学最终都可化归为逻辑，数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念，数学公理可以从逻辑原则中得到证明.

这第三条原则后来被罗素作为逻辑主义的基本主张而广为传播，弗雷格因此成为逻辑主义的创始人之一.

二、将自然数的理论“逻辑化”

弗雷格发展了《概念语言》中关于数学序列的理论.在那里他用“遗传性”定义了“y属于从x开始的f-序列”和“y是x的f-后裔”，为自然数的定义和说明数学归纳法作了理论和技术上的准备.弗雷格给出的自然数定义的核心在于使用了，一一对应”的概念：属于两个概念F和G的对象借助于关系Φ一一对应，如果：（1）每一个属于概念F的对象对于属于概念G的一个对象，有关系Φ;（2）对于属于概念G的每一个对象，存在一个属于概念F并与前者有关系中的对象;（3）对所有x，y和z而言，如果x对y和z有关系中，那么y和z就是同样的;（4）对所有x，y和z而言，如果x和y对z有关系Φ，那么x和7就是同样的.

弗雷格在此基础上构造了以下三个定义：

（1）“概念F与概念G是等数的”与“存在一个关系Φ，使得属于概念F的对象与属于概念G的对象一一对应”其意义是相同的.

（2）属于概念F的数是“与概念F等数”这一概念的外延.

（3）“n是一个数”与“存在一个概念使得n是属于它的数”其意义是相同的.

接着他又定义了“n在自然数序列中是m的直接后继”：“存在一个概念F和一个归于它的对象x，使得属于概念F的数是n，属于概念‘归于F但不同于x’的数是m”.这实质上是后继函数的定义.

在这些工作的基础上，弗雷格取0作为数列的起点，提出了如下定义：

0是属于概念“不同于自身”的数;

1是属于概念“同于0”的数;

2是属于概念“同于0或同于1”的数;

3是属于概念“同于0或同于1或同于2”的数;

……

可见，1在自然数序列中是0的直接后继，2在自然数序列中是1的直接后继，等等.

事实上，弗雷格所用到的“一一对应”概念与康托尔所谓的集合的“等价”意义是一样的，弗雷格指出，他的数与康托尔理论中集合的“势”或“基数”是相同的.两个概念同数，就是两个集合等价.概念“与概念F等数”的外延，就是与集合F等价的一切集合构成的集合.所以弗雷格实际上是把数定义为集合的集合，或类的类.利用康托尔的语言概括弗雷格关于数的定义：

（1）一个集合的基数是所有等价于它的集合的集合.

（2）0=df·{^}（空集合的单元集）

1=df·{0}，

2=df·{0，1}，

3=df·{0，1，2}.

弗雷格的后续函数的定义实际上是说：后续函数把等价集合的集合m映射到一个新的集合的集合Φ（m）（即n），Φ（m）中的每一个集合是由在m中的某一个集合加上一个新分子而得到.

由此可见，自然序列中的每一个数，有一个直接后继的数.这样，自然数就由0和后继函数而确定下来.

康托尔在1884年也给出数的定义，但弗雷格的定义比康托尔的更为精确.

弗雷格从逻辑角度出发定义了数和自然数，他对自然数的归纳定义也是对数学归纳法的最好说明.他认为，借助于上述定义，自然数的概念就被化归成了逻辑的概念;自然数的理论则可以借助于上述定义和逻辑得到建立，这样，算术理论就被“逻辑化”了.

三、进一步完善逻辑演算系统

《基本规律》是弗雷格的另一部著作.弗雷格认为，逻辑的原则是完全可靠的，一旦完成了上述工作，数学“就被固定在一个永恒的基础上了.”

1893年，他出版了《基本规律》第一卷，它是《算术的基础》的理论的严谨发展，书中改进了《概念语言》符号系统，提出了不同的公理，阐述了高阶谓词演算.从《概念语言》到《基本规律》，弗雷格的逻辑发生了三个主要变化：（1）他在自己的系统中加上了函项的值域这一概念;（2）区分了意义的两个方面，即“所指”和“意义”;（3）更为严格地规定了与对象相对的函项的性质，明确提出了“第一层函项”和“第二层函项”的区别.第一层函项就是以前所定义的函项，其变目是对象，第二层函项就是函项的函项，其变目是函项，例如在Mβ（F（β））中，Mβ就是第二层函项，其变目是F.弗雷格还把概念分为第一层概念和第二层概念.这些逻辑上的变化在《基本规律》第一卷之前的5篇文章中就已经提出并作了解释.

弗雷格在《基本规律》第一卷中建立了另一个逻辑系统——二阶谓词演算，并提出了新的公理.他用‘xF（x）代表F（x）的值域，例如，若F（x）表达“x是人”，则它的值域‘xF（x）就表达“人类”.他还引进代表定冠词的函项符号＼x.如＼xF（x），读为“那个具有性质F的x”.

在这个新系统中，除分离规则和代入规则之外，弗雷格还把原来系统的一些公理和定理作为新的推理规则.在这一系统中处理了命题演算、谓词演算、类理论和关系理论，更重要的是进行了推导算术的工作.

《基本规律》第一卷出版后，再次受到冷遇.然而，弗雷格并没有放弃自己的目标，他继续撰写《基本规律》第二卷，其中主要论述实数的理论，并用较多的篇幅批评当时流行的观点.但是，弗雷格并没有完成他的计划.因为要理解数学科学的性质，除了算术以外，还必须考虑无穷集合的理论——集合论.弗雷格没有深入研究集合论，没有接触到关于无穷集合的各种问题，特别是悖论问题.

弗雷格在极度消沉中度过了长达十几年的时间.最初，他相信能有补救的办法使他的系统避免矛盾.他首先提出一种设想：可能有一些概念没有相应的类.然后他用修改第V公理的办法来阻止罗素悖论的衍生.但是，后来逻辑学家的工作证明，他所做的努力并不足以使他的系统避免不一致.他还打算论述集合论的逻辑悖论（1906）.经过几年的努力之后，弗雷格似乎不那么相信能够找到解决矛盾的办法.虽然他没有公开放弃自己的主张，但也不再做进一步的努力.直到1918年，弗雷格才彻底放弃把算术化归为逻辑的一切希望，放弃了《基本规律》第三卷的寫作计划.

从此以后，他的研究兴趣仍在数学基础上，并很自然地转向几何学，提出了几何学是整个数学的基础的主张.弗雷格在1903年以后就很少再发表论著了.

虽然弗雷格的逻辑主义纲领没有实现，但是他的独创性工作对数学和哲学的发展都产生了重要影响.他的成就在有生之年没有得到广泛的承认，在通过少数几位有洞察力的人的努力下，他的思想才逐渐得到理解，并最终得到了发展.