单元整体教学视角下的基本不等式教学设计

蔡晶晶

摘 要：通过具体教学案例，探讨单元整体教学设计的理念和策略，既关注知识目标和技能目标的达成，也关注数学思想、核心素养这些高层次目标的达成。

关键词：单元整体;教学设计;核心素养;基本不等式

《普通高中数学课程标准（2017年版）》突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，提倡单元整体教学设计。单元整体教学设计将各个相互联系、相互作用的若干环节有机融合成一个整体，以数学六大核心素养为纲领，整合优化教学内容体系，选择恰当的整体教学策略，使点状的知识得以结构化、整体化，让单一的数学思想方法和数学核心素养得到系统化建构和持续性培养。本文以人教A版《普通高中教科书·数学1（2019年版）》中的2.2“基本不等式”（2课时）的单元教学设计为例，进行整理与思考，与同行交流。

一、创设情境

在前面研究不等式性质中，我们发现：第24届国际数学家大会会标（根据中国古代数学家赵爽的弦图设计）抽象得出的图形中，四个小直角三角形的面积之和与大正方形ABCD的面积，大小关系如何？请用数学式子表示。

追问：a，b满足什么条件时等号成立？如何利用代数方法证明这个不等式？

[设计意图]：通过对两部分面积的比较，帮助学生从直观上理解基本不等式的一种变形形式，为接下来利用换元法推导出基本不等式作铺垫。最后利用完全平方公式证明上述不等式，体现了数学知识之间的联系。

探究一：令a，b>0，用和分别代替不等式里的a，b，可以得到什么结论？

[设计意图]：利用换元法，推导出基本不等式，把基本不等式与完全平方公式建立联系，并利用不等式性质进行证明，体现了化归与转化思想。

二、深化认识

探究二：我们还可以怎样证明基本不等式？

追问：分析法证明命题的思路是什么？格式是什么？

[设计意图]：利用分析法“执果索因”，让学生对基本不等式有更深刻认识，并通过典型案例理解分析法，为高中阶段的推理与证明提供更丰富策略。

三、理解升华

探究三：如上图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，。如何利用这个几何图形证明基本不等式？

[设计意图]：借助学生熟知的几何图形，引导学生将和与图中的几何线段联系起来，从而得到基本不等式的几何解释：圆的半径不小于半弦（即圆的直径是最长的弦），通过数形结合赋予基本不等式几何直观形象。同时借助信息技术，展示点C在直径AB上移动的过程，体会基本不等式中蕴含的“等式”与“不等式”的内在联系。

四、归纳提升

层次1：理解基本不等式的背景及其变式

（1）基本不等式的代数解释：我们把叫作两个正数a，b的算术平均数，叫作两个正数a，b的几何平均数，则基本不等式可表示为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（2）基本不等式的几何解释：令AC=a，BC=b，则CD≤OD，即（当且仅当a=b时等号成立）。

（3）基本不等式的变形形式：

引申结论：（当且仅当a=b时等号成立）。

层次2：注意基本不等式求最值的条件

学生在运用基本不等式求最值时，经常会忽略“一正、二定、三相等”这一前提条件，其中“一正”是指“正数”（a，b>0）;“二定”是指“定值”（若ab为定值，则有最小值;若为定值，则ab有最大值）;“三相等”是指“相等”（等号成立的条件是a=b）。

例1：已知x>0，求的最小值。

追问1：“求的最小值”的含义是什么？

追问2：所求代数式与基本不等式在形式上有何联系？如何求的最小值？

变式1：已知x>0，求的最小值。

变式2：已知x>1，求的最小值。

[设计意图]：利用基本不等式求最值问题，需要从所求代数式与基本不等式在形式上的联系入手，必要时还可对代数式进行适当变形，使之符合“一正、二定、三相等”的形式。

例2.已知a，b>0，且，求a+b的最小值。

追问1：请观察以下解法是否正确？并说明你的理由。

解：由（a，b>0）得：，又∴a+b的最小值为12。

错误原因：两个等号不能同时成立。

追问2：请观察已知等式与所求代数式的结构特征，思考本题正确解法。

法一（“1”的代换）：由a，b>0，且得：

（當且仅当即a=4，b=12时取到等号）。

法二（配凑法）：由得（a-1）（b-1）=9，又a，b>0∴0<<1，0<<1，即a>1，b>9∴a-1>0，b-9>0

（当且仅当a-1=b-9即a=4，b=12时取到等号）。

法三（消元法）：由（a，b>0）得：>0，a>1

（当且仅当即a=4，b=12时取到等号）。

变式：已知a，b>0，且a+b=4，求的最小值。

[设计意图]：本题解题方法多样，不过最常用的当属“1”的代换。有时和不一定为“1”，还需加以变形，利用化归思想，实现举一反三。

层次3：掌握基本不等式的运用技巧

例3：已知x，y>0，求证：

（1）如果积xy等于定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值;

（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值。

追问：利用基本不等式可以解决哪两类最值问题？

变式：已知0<x<1，求y=x（1-x）的最大值。

[设计意图]：让学生体会到利用基本不等式可以解决两类最值问题：“积定和最小，和定积最大”，为后续实际应用埋下伏笔。

层次4：掌握基本不等式的实际应用

例4：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围一个矩形菜园，当矩形的边长为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？

追问：如何把本例加以简化，转化为上述两种模型求解？

[设计意图]：可将例4简化为：（1）已知矩形的面积为定值，长与宽分别取何值时周长最短？（2）已知矩形的周长为定值，长与宽分别取何值时面积最大？从而转化为“积定和最小，和定积最大”进行求解，发展学生的数学建模能力，体会数学在生活中的应用价值。

例5：某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

追问1：如何求水池的总造价？（设池底相邻两边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元）

追问2：如何把本例转化为基本不等式运用的常见模型求解？

[设计意图]：本题背景更加复杂，要对实际问题加以提炼，转化为数学模型：“已知xy=1600，x，y取何值时，最小”，从而利用“积定和最小”求解，引导学生用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

变式：（P48练习第2题）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.当这个矩形的边长为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？

[总结提升]：

引导学生回顾本单元内容，回答下列问题：通过本节课，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？体会到哪些思想？

单元整体教学设计整合了教学内容，教学要素，教学目标，教学流程与教学评价和反思，是一个有机的整体。整体中的各部分，层层递进，相互作用，在具体实践中要从整体把握、整体优化、整体设计、整体推进四个方面展开。本节课正是从培养学生的抽象思维和逻辑思维入手，通过多层次、多角度挖掘内涵，达到对基本不等式的熟练掌握，有利于学生直观想象、抽象概括、逻辑推理、數学运算等核心素养的达成。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].人民教育出版社.2017

本文系福建省基础教育课程教学研究2019年度立项课题《素养导向的高中数学单元整体教学设计实践研究》（课题编号：MJYKT2019-083）的阶段性研究成果，也系福建省教育科学“十三五”规划2019年度立项课题《整体性数学思维培育下的教学案例研究》（课题编号：FJJKXB19-905）的阶段性研究成果