条件极值的三种常用解法

王奕闰 张艳维

（西安交通工程学院 公共课部，陕西 西安 710300）

引言

多元函数z=f(x1,x2,…,xn)在m个 附 加 条 件 下ϕk(x1,x2,x3,…,xk)=0，（k= 1,2,3,…,m，m

多元函数条件极值是微分学的重要应用。在实际生活生产及经济管理中使用广泛。我们常遇到的最优化问题，比如圆内接矩形的最大面积；光线行进的最快路径；企业产品的最小投入、最高效益及最低亏损；市场商户的最低运营成本、最大利润等，都是通过建立（目标函数的）数学模型，求条件极值寻找目标函数最优化。

条件极值问题求解复杂，学生对极值是否存在不易理解；难以区分不同解法的适用差异；求解运算过程繁琐；对区分判定在可能的极值点取何种极值的方法，疑惑重重，诸如此类的问题困扰学生。

本文针对条件极值的三种常用解法：代入消元法，几何图形法，拉格朗日乘数法，加以分析探讨及示例，帮助学生消除疑虑，理清解题思路，选择适合解法，提升数学应用能力，树立数学学习信心，有切实意义。

一、条件极值的三种常用解法

（一）代入消元法

从约束方程中选择要消去的变量，代入目标函数消元，将条件极值转化为无条件极值，这种方法称作代入消元法。它是求解多元函数条件极值最常用的方法。

例如，求目标函数z=f(x,y)在约束方程ϕ(x,y)=0的条件极值，从ϕ(x,y)=0解出变量x=x(y)或y=y(x)，代入z=f(x,y)，把条件极值转化为无条件极值。

（二）几何图形法

运用多元函数的几何图形（几何含义）求解目标函数的条件极值称作几何图形法。

由于高等数学中学生所学的空间解析几何知识有限，所以几何图形法求条件极值，较多涉及那些常用多元函数的条件极值，比如空间平面、空间直线等，形象直观，运算简单，学生易于接受。

比如，求空间曲面Σ与空间平面ð之间的最近距离。

若空间曲面Σ：f(x,y,z)=0，其一阶偏导数连续且不同时为零。

空间平面ð：Ax+By+Cz+D=0。曲面Σ 与平面ð不相交。由于曲面的切平面 ð0一定与平面ð平行，曲面Σ 上距离平面最近的点P0一定在平面的某条法线上，这个点P0也是曲面与平面法线的交点。求出点P0坐标，它到平面ð的距离就是最近距离。

解得(x0,y0,z0)就是点P0的坐标[4]；

将该坐标代入点到平面距离公式，即得空间曲面Σ 与平面ð的最近距离

（三）拉格朗日乘数法

设二元函数z=f(x,y)和ϕ(x,y)存在连续偏导数。用拉格朗日乘数λ将f(x,y)与ϕ(x,y)捆绑，构建拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)，求z=f(x,y)在ϕ(x,y)=0约束下的条件极值。

可以证明，L(x,y,λ)的极值一定是z=f(x,y)在ϕ(x,y)=0约束下的极值。函数z=f(x,y)在ϕ(x,y)=0约束下的可能极值点(x0,y0)，一定在拉格朗日函数L(x,y,λ)的可能极值点(x0,y0,λ0)中[5]。

拉格朗日乘数法可以推广到两个以上自变量或一个以上约束条件的情形[6]，是求解多元函数条件极值通用解法，尤其对求解约束条件较多的极值，其解题能力无出其右。

使用拉格朗日乘数法，先构建拉格朗日函数：

求L(x,y,λ)一阶偏导数并令其为

零，联立方程组，

解得(x0,y0,λ0)为可能的极值点。

判断函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取何种极值，多数微积分教材一句带过：依据问题的实际意义确定[7]。运用经验判断最值，极易给人错觉：唯一驻点处必定都是最值点[8]。因为情况并非总是如此。

事实上，根据隐函数存在定理，判断函数z=f(x,y)在驻点(x0,y0)取何种极值，应该由拉格朗日函数

L在点(x0,y0,λ0)处的二阶微分d2L的正负确定：

若 d2L>0，函数f(x0,y0)取得极小值；反之，d2L<0，函数f(x0,y0)取得极小值[9]。

拉格朗日乘数法适用范围较广，对目标函数，条件函数的仅要求偏导数连续的即可。但在具体使用时，

学生对构建拉格朗日函数的数学思路不清晰，对引入拉格朗日乘数λ心生疑虑，加之运算过程较繁琐，因此在求解是感觉困难。

二、条件极值常用解法示例

（一）代入消元法的应用

例1 用薄铁皮做成体积为V的无盖长方体水箱，问长方体的三个棱边长各为多少时，用料最少？

解 设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z（单位为cm），（x>0、y>0、z>0）

根据题意，用料最少是指长方体的表面积最小。

（二）几何图形法的应用

根据实际意义，该距离就是空间曲面与空间平面的最短距离。本题中，若对多元函数几何意义不太清楚，很可能不会灵活使用几何法。若使用消元代入法和拉格朗日乘数法，运算较繁琐。

（三）拉格朗日乘数法的应用

根据实际意义（常识判断），函数L(x,y,z,λ)在点(3a,3a,3a,81a4)处必有极值，所以函数u=xyz极值点必定在唯一驻点处(3a,3a,3a)，因此有u=27a3。

例5 某企业计划生产甲、乙两种规格的半导体芯片，产量分别为x和y（单位：万件），共生产10万件。

设企业利润函数为L(x,y)=6x−x2+16y−4y2−2，（单位：万元），问这两种芯片各生产多少时利润最大？

解 根据题意，求利润函数L(x,y)=6x−x2+16y−4y2−2⑴

在x+y=10下的最大值。

利润函数L(x,y)=6x−x2+16y−4y2−2和条件函数ϕ(x,y)=x+y−10的偏导数连续。

构建拉格朗日函数F(x,y,λ)=6x−x2+16y−4y2−2+λ(x+y−10)

拉格朗日函数F(x,y,λ)取得极大值。对应地，利润函数L(x,y)在点(7,3)必定取得最大值，即甲乙两种芯片各生产7 万件和3 万件时，企业利润最大。

本题采用拉格朗日函数的二阶微分论证了最大利润存在，改变了以往用常识经验判断最值的做法。

三、结论

综上所述，多元函数条件极值在微积分学习和实际生产生活中使用广泛。三种常用解法各有所长。因为

拉格朗日乘数法由直接极值导出，其适用范围超出了代入消元法的适用范围[10]。比如求解函数u=f(x,y,z)在ϕ(x,y,z)=0约束下条件极值，只要u=f(x,y,z)和ϕ=ϕ(x,y,z)有连续偏导数且=0，即可用拉格朗日乘数法。对于代入消元法，若=0，不能使用代入法消去z变量[11]。几何图形法多用于常见多元函数图形，比如空间曲面、平面等内容优化求解。

判断驻点（可能极值点）取何种极值，虽然多凭直觉经验，但是拉格朗日乘数法中的二阶微分法，代入消元法的二阶导数法，都有相应的理论基础，学生应有所了解，具体问题具体分析，探索选择最适合的解题办法，提高解题效率，提升综合应用数学能力。