2021年高考数学模拟试题

雷小华

本卷满分150分，考试用时120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|xy=1}，则A∩B（ ）

A. {1}B. {（ ，  ）}C. {（1， 1）}D. ？覬

2. 复平面内复数 z= （1+ai） （i为虚数单位）对应的点在以坐标原点为圆心的单位圆上，则实数a=（ ）

A. 1 B. 0 C. -1 D. ±1

3. 设等比数列{an}满足a1=1， a1-a5=-3， 则a21=（ ）

A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024

4. 如图1，某山峰峰顶觇标点A与大地水准面高程为HA（单位：米），在大地高为HB（单位：米）的观测点B处测得AB距离为s（单位：米），仰角为？琢（单位：弧度）. 下列关系正确的是（ ）

A. HA=HB+s·sin？琢 B. HA=HB+

C. HA=HB+s·cos？琢 D. HA=HB+

5. 设向量  =（1， ）， =（-m， m），实数m=-1是

< ，  - >=30°的（ ）

A. 充要条件 B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件

6. 如图2，“天圆如张盖，地方如棋局”，传说为伏羲所创的盖天说，最早在中国第一部数学专著《周髀算经》中对此进行了追述. 现从图中标有英文字母的10个点中任取3个，则能构成三角形的概率为（ ）

A.  B.  C.  D.

7. 设a=ln2，则（ ）

A. ae<2a

8. 函数f（x）= ，x∈[-2， 2]的大致图像为（ ）

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 若x4的系数是（1+x）n的二项展开式中唯一的最大值，且各项系数和为？赘，则（ ）

A. n=7 B. n=8 C. ？贅=27 D. ？赘=28

10. 直线l ∶  x=ky与圆C ∶  x2-2x+y2-1=0交于A、B两点，则？驻ABC的面积可以为（ ）

A. 0 B. 1 C.   D.

11. 如图3，平面上点P与边长为2的正方形ABCD各顶点的距离的平方和等于12，则下列结论正确的是（ ）

A. （ · ）+（ · ）=-2

B. （ · ）-（ · ）=0

C. （ · ）（ · ）=1

D. （ · ）（ · ）=1

12. 如图4，边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，以下是过AE的平面截正方体所得截面中的五种情形，则下列结论正确的是（ ）

A. M、H、K为棱的中点

B. 若N、G为棱的中点，则P、F为棱的四等分点

C. 这五种情形中所得的截面有3个梯形、1个平行四边形、1个矩形

D. 这五种情形中所得的截面面积相等

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设双曲线C ∶  x2- =1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C的右支交于点A，若AF2⊥F1F2，则三角形AF1F2的周长为______.

14. 若f（x）=k（x+1）， x<0 + + + + + ， x≥0单调递增，则k的最大值为______.

15. 某地区在防疫工作中，要把五名志愿者分配到A、B、C三个社区参加义务活动. 若每个社区至少分配一名志愿者，且志愿者甲、乙必须分配在一起，则共有_____种不同的分配方案.

16. 函数f（x）= ex+ln -2（a>0），若f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为_____.

四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分10分）在？驻ABC中，asinB=bcos2A，∠B = ，再从条件①、条件②中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a2+b2-c2的值;（Ⅱ）？驻ABC的面积.（条件①：a= ;条件②：b+c=3+ . 注：若①②都选并分别解答，则按第一个解答计分）

18.（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，正项数列{bn}的前n项和为Tn. 已知a1=1，S10=100，4Tn=bn（bn+2）.

（Ⅰ）求an;

（Ⅱ）令Wn= ，证明： Wi > .

19.（本小题满分12分）在边长为2的等边三角形ABE与矩形ABCD中，F、G分别为其中心，且EG= ，FG= ，如图5.

（Ⅰ）证明：直线FG⊥平面ABE;

（Ⅱ）求二面角D-BE-A的余弦值.

20.（本小题满分12分）如图6，木陀螺是一种少年儿童玩具. 其玩法是：先要用绳子卷起来用力一拉，置于平地让其转起来;然后使劲的抽打它，令其急速旋转. 假设每次抽打它时，打中陀螺的上、中、下三部位的概率分别为0.2，0.5，0.2，每次抽打相互独立.

（Ⅰ）求三次抽打中，两次打中陀螺的中部、一次没打中陀螺的概率;

（Ⅱ）在三次抽打中，记打中陀螺中部的次数为X，求X的分布列及数学期望.

21.（本小题满分12分）已知椭圆C ∶   + =1（a>b>0）的左顶点 A（-2， 0），右焦点F（1， 0），O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）点G、E分别是直线x=4与椭圆上的点，满足AE∥OG. 设椭圆的右顶点为B，BE与FG相交于点H，证明：点H的轨迹为定圆.

22.（本小题满分12分）已知函数f（x）=esinx-sinx-1（0

（Ⅰ）求f（x） 的最大值及其图象的对称轴方程;

（Ⅱ）设g（x）= x-sinx，证明：在（0， ]上，g（x）

参考答案

一、单项选择题

1.【答案】选C. A∩B={（1， 1）}，故选答案C.

2.【答案】选B.  （1+ai）=a-i，由复数对应的点在以坐标原点为圆心的单位圆上，故a=0，故选答案B.

3.【答案】选D. 由a1=1，a1-a5=-3得a5=1·q4=4，所以a21=a1q20 =45 =1024，故选答案D.

4.【答案】選A. 角？琢所对的直角边长为h=s·sin？琢，故HA=HB +s·sin？琢，故选答案A.

5.【答案】选B. 设向量 =（-1， ），则 =m· . 由向量 =（1， ）与向量 的位置关系可知，若要 < ， - >=30°，则m=-1或m= ，选答案B.

6.【答案】选D. 从图中标有英文字母的10个点中任取3点，其中有四种情形不能构成三角形，所以P= = ，故选答案D.

7.【答案】选A. 首先a=ln2∈（0， 1），ae<1，ea>1，2a>1，∵ e>2，∴ ea>2a，故ae<2a

8.【答案】选B. 函数f（x）为奇函数，排除CD，又x∈[0， 2] 上有5个零点，故选答案B.

二、多项选择题

9.【答案】选BD. 因为（1+x）n的二项展开式中的系数即是二项式系数，又最大值是x4项的系数，且唯一，故n=8. 所以各项系数和？赘=（1+1）8 = 28，故选答案BD.

10.【答案】选BC. 由圆C ∶ x2-2x+y2-1=0得C ∶ （1，0），r= ，当动直线l ∶ x=ky中仅k=0与圆交于A、B两点时？驻ABC的面积最大为1，因动直线不过圆心，故没有最小值. 所以？驻ABC的面积的取值范围是（0，1]，故选答案BC.

11.【答案】选ABD. 建立平面直角坐标系，如图8，由平面上点P与边长为2的正方形ABCD各顶点的距离的平方和等于12这一条件可知，动点P的轨迹是该正方形的内切圆. 可设点P的坐标为P（cos？兹，sin？兹），经计算可得ABD正确，故选答案ABD.

12.【答案】选ABC.

对于答案A，可根据面面平推出线线平得出M、H、K为棱的中点，故答案A正确;

对于答案B，道理同答案A，得出P、F为棱的四等分点，故答案B正确;

对于答案C，图中第1、2、5的截面为梯形，第3的截面为平行四边形，第4的截面为矩形，故答案C正确

对于答案D，可计算第3、4这两个截面面积，由于不相等，故答案D错误.

故选答案ABC.

三、填空题

13. 12; 14. 7; 15. 36; 16. [e，+∞）.

13. 由双曲线C ∶  x2- =1可知a=1，b= ，c=2，在三角形AF1F2中，|F1F2|=4，|AF2|=3，∴ |AF1|=5，故三角形AF1F2的周长为12.

14. 由f（x）=k（x+1）， x<0 + + + + + ， x≥0为单调递增函数可得k>0;当 x≥0时，x仅取0、1、2，且f（0）=6，f（1）=27，f（2）=  =56，故k的最大值为6.

15. 分两類，①仅志愿者甲、乙分配在一起，这时方案数有：   =18（种）;②志愿者甲、乙在一起，再加某一名志愿者，这时方案数有：   =18（种）. 故共有36种不同的分配方案.

16. 由f（x）= ex+ln -2≥0得ex+lna-2+lna-2≥lnx，即ex+lna-2+x+lna-2≥x+lnx，即ex+lna-2+（x+lna-2）≥elnx+lnx，∵ y=ex+x单调递增，∴x+lna-2≥lnx，即∴lna≥2-x+lnx，令g（x）=2-x+lnx，则g′（x）= ，由g（x）max=g（1）=1得lna≥1，故a≥e.

四、解答题

17. 解：选择条件①a= .

（Ⅰ）由asinB=bcos2A得sinAsinB=sinBcos2A，……1分

∵ sinB≠0，∴ sinA=cos2A，

即sinA=1-2sin2A，……3分

即2sin2A+sinA-1=0，

即sinA= ，或sinA=-1（不合，舍去），

∵∠B= ，根据三角形内角和定理知∠A= ，

故∠C=π-A-B= ，即∠C=105°. ……5分

在？驻ABC中，由正弦定理 = 得：b= = =2. ……6分

根据余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC……7分

=2× ×2·cos105°

=-4 ·cos75°

=2-2 . ……8分

（Ⅱ）？驻ABC的面积S？驻ABC= absinC= × ×2·sin105°= . ……10分

选择条件② b+c=3+ .（评分细则与上类同）

（Ⅰ）同上可得：∠A= ，∠C= .

在？驻ABC中，由正弦定理 = 得：c= = = b.

根据已知b+c=3+ 得b+ b=3+ ，得到b=2.

在？驻ABC中，由正弦定理 = 得：a= = .

后面同选择①.

18. 解：（Ⅰ）由a1=1，S10=10a1+ d=100得：d=2.……2分

故an=1+（n-1）·2=2n-1. ……3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Sn=n+ ·2=n2. ……4分

根据已知4Tn=bn（bn+2） ①

得： 4Tn-1=bn-1（bn-1+2）（n≥2） ②……5分

①-②得：4bn=bn（bn+2）-bn-1（bn-1+2）

整理得： （bn）2-2bn-（bn-1）2-2bn-1=0

即 （bn+bn-1）（bn-bn-1）-2（bn+bn-1）=0

即 （bn+bn-1）（bn-bn-1-2）=0……7分

因为数列{bn}为正项数列，所以bn+bn-1≠0，

故bn-bn-1=2，即数列 {bn} 是以2为公差的等差数列.

当n=1时，b1=2，

故bn=2+（n-1）·2=2n，Tn=2n+ ·2=n2+n. ……9分

所以Wn= = > = = - ……11分

故 Wi =W1+W2+…+Wn > - + - +…+ -

= - > - = ……12分

19.【解析】（Ⅰ）证明：连接EF并延长交AB于H，连接GH.

∵三角形ABE是等边三角形，四边形ABCD为矩形，F、G分别为其中心，

∴ H为AB的中点，AB⊥EH，AB⊥GH ……1分

∵ EH∩GH=H，EH？奂平面EHG，GH？奂平面EHG，

∴ AB⊥平面EHG……2分

∵ GF？奂平面EHG

∴ AB⊥FG……3分

∵ AB=2，F为中心，

∴ EF=  ，……4分

在三角形EFG中，由EF 2+FG2=（  ）2+（ ）2=2=EG2得：

EF⊥FG……5分

∵ EF∩AB=H，EF ？奂平面ABE，AB？奂 平面ABE，

∴ FG⊥平面ABE……6分

（Ⅱ）【方法一】连接DB、DE，

由（Ⅰ）知，HG= =1，

∵ HG2+EG2=12+（ ）2=3=EH2，

∴ EG⊥HG.

結合（Ⅰ）得：EG⊥平面ABCD ……7分

以G为原点，以BC中点、AD中点所在的直线为x轴，以HG、GE所在的直线为y、z轴，建立空间直角坐标系，如图10. ……7分

A（-1， -1， 0），B（1，-1，0），E（0，0， ），D（-1，1，0），F（0， - ， ），

故 =（-2， 2， 0）， =（-1， 1，  ），

设平面BDE的法向量为  =（x， y， z），则 · =0， · =0，即（x，y，z）·（-2，2，0）=0，（x，y，z）·（-1，1， ）=0，即x=y，-x+y+ z=0，令x=-1，则y=-1，z=0，

故  =（-1，-1，0）. ……10分

由（Ⅰ）知，平面ABE的法向量为 =（0，- ， ），设所求二面角D-BE-A的大小为？兹，则？兹=< ， >，

故cos？兹= = = ，二面角D-BE-A的余弦值为 ……12分

【方法二】同前，易知平面BDE的法向量为 =（-1，-1，0），后同.

【方法三】连接AF并延长交BE于I，连接IG，则∠AIG即为所求的平面角，设为？兹.

在Rt？驻FIG中，IF= ，IG= ED=1，

∴ cos？兹= = = .

20.【解析】（Ⅰ）设打中陀螺的上、中、下三个部位的事件分别为A，B，C，没打中陀螺的事件D;三次抽打中两次打中陀螺的中部、一次没打中陀螺的事件为E. ……1分

由题意可知：

P（A）=0.2，P（B）=0.5，P（C）=0.2，P（D）=0.1，E=（BBD）∪（BDB）∪（DBB）. ……3分

由于每次抽打相互独立，故P（E）= P 2（B）P（D）= 0.520.1=0.075. ……5分

（Ⅱ）由题意可知X的取值为0，1，2，3. ……6分

且P（X=0）=[1-P（B）]3=（1-0.5）3=0.125，

P（X=1）= P（B）[1-P（B）]2=3×0.53=0.375，

P（X=2）= P 2（B）[1-P（B）]=3×0.53=0.375，

P（X=3）=P 3（B）=0.53=0.125. ……9分

故X的分布列为：

……10分

其数学期望E（X）=0.125×0+0.375×1+0.375×2+0.125×3=1.5. ……12分

（由题意可知X～B（3， 0.5），E（X）=3×0.5=1.5）

21.【解析】（Ⅰ）由已知得：a=2，c=1，所以b= = . ……2分

故椭圆C的方程为 + =1. ……3分

（Ⅱ）设G（4， t）， E（x0， y0）. 则3 +4 -12=0，……4分

=（x0，y0）-（-2，0）=（x0+2， y0），  =（4，t）. ……5分

由AE∥OG得：4y0=t（x0+2），即t= . ……7分

又  =（x0-2， y0）， =（3，t），

且 · =（x0-2，y0）·（3，t）=3（x0-2）+ty0=3（x0-2）+ = =0. ……10分

故 ⊥ ，即BE⊥FG，即FH⊥BH，说明交点H在以FB为直径的圆上，其轨迹是以FB的中点（ ， 0）为圆心，以 |FB|= 的长为半径的一个定圆. ……12分

22. 【解析】（Ⅰ）f ′（x）=cosx（esinx-1），……1分

∵ 0

令f ′（x）=0，则cosx=0，故x=  ……2分

x∈（0， π），f（x）、f ′（x）变化如下：

故f（x）最大值=f（ ）=e-2，……4分

又f（ +x）-f（ -x）= -sin（ +x）-1-

-sin（ -x）-1=（ecosx-cosx-1）-（ecosx-cosx-1）=0.

故f（ +x）=f（ -x），即f（x）图像的对称轴方程为x= . ……6分

（Ⅱ）要证g（x）< f（x），即证1+ x-esinx<0在（0，  ] 上成立. ……7分

【方法一】令h（x）=1+ x-esinx，x∈（0， ]. h′（x）= -cosx·esinx≤ -cos ·esinx= （1-esinx）< （1-esin0）=0，……10分

故h（x）=1+ x-esinx在 （0， ] 上单调递减，h（x）

故在 （0， ] 上，g（x）< f（x）. ……12分

【方法二】只需证esinx>1+ x在（0， ] 上成立，……7分

因为et≥1+t恒成立，即esinx≥1+sinx恒成立，……9分

故需证1+sinx>1+ x上成立，即证2sinx-x>0在（0， ]上成立. ……10分

令h（x）=2sinx-x，x∈（0， ]，h′（x）=2cosx-1≥0，…11分

故h（x）在（0，  ] 上單调递增，所以h（x）>h（0）=0，

即在 （0，  ] 上，g（x）< f（x）. ……12分

责任编辑 徐国坚