基于多模态展开的黏弹性材料复纵波波速反演方法

党仁俊，王 斌，范 军

(上海交通大学高新船舶与深海开发装备协同创新中心，海洋工程国家重点实验室，上海200240)

0 引 言

声学覆盖层通常以橡胶等黏弹性阻尼材料作为基体，并在其中嵌入人工设计的特殊声学结构,如空腔等，以提升低频吸声性能或使材料具有宽带吸声性能[1]。试验测量[2]和数值模拟[3]在声学覆盖层的设计、评估和优化中均有着广泛应用。随着计算技术的飞速发展，数值模拟在效率和灵活性等方面的优势，使其在覆盖层的设计和优化阶段发挥着越来越重要的作用。作为关键输入参数，黏弹性材料动力学参数测量精度直接决定了声学覆盖层声学性能数值模拟结果的精度。

通常，测量黏弹性材料动力学参数的方法可以分为力学方法和声学方法。力学方法主要通过测量材料试样的振动特性得到参数，如载荷质量法[4-5]、振动梁法[6-7]和动态黏弹谱仪法[8-9]。载荷质量法和振动梁法必须根据测试频率来调节质量载荷或测试样品长度，测试工作量较大；而动态黏弹谱仪的工作频率在几百赫兹以下，测试范围有限。虽然一些改进或外推的方法可以帮助突破测试极限[10]，但对于泊松比趋于0.5的黏弹性材料，这些改进或外推的力学方法仍需要进一步的试验验证[11]。除此之外，在高静水压力的条件下力学方法的测量系统设计极为复杂。

相比之下，声学方法更适合在高静水压力下(例如在声管中)测量黏弹性材料的动力学参数。在过去的几十年中，随着柱形声管测量技术在水声领域中的发展，复反射系数的测量方法已经十分成熟，一些基于复反射系数的评估复纵波波速或波数的方法[12-13]逐渐涌现出来，它们共同之处在于均需使用复平面搜根求解复纵波波数超越方程。然而，复平面方程的多值性使得传统搜根方法面临两个主要障碍，即计算效率较低，且需要本征值初值的先验知识。总体而言，声管测量被认为是获得复纵波波速的有效解决方案，但如何快速、准确求解复纵波波速仍是一个待解决的问题。

针对这一问题，本文提出了一种基于多模态展开的复纵波波速反演方法，将测试样品内部声场多模态展开，推导出不同背衬条件下的展开系数系统矩阵，将复纵波波数复平面超越方程的搜根问题转化为展开系数系统矩阵特征值分解问题，实现了黏弹性材料的复纵波波速快速、准确求解。

1 黏弹性材料的纵振动模型

考虑如图1的声管模型，声学覆盖层基底材料通常被认为是各向同性的黏弹性材料，制备的测试样品放入声管中测量复反射系数时，由于入射声波可以近似为平面波垂直入射至样品表面，测试样品内仅有纵波传播[12]，满足波动方程

图1 声管模型Fig.1 Model of acoustic tube

2 多模态展开求解纵波波速

对于S-L问题，当函数满足一阶导数连续或者二阶导数分段连续时，它可以展开为绝对、一致收敛的广义傅里叶级数[18]。由于均匀测试样品内部位移处处连续、满足一阶导数连续条件，因此内部声场可以进行多模态正交展开，即

通过上述推导，将传统方法中复纵波波数超越方程的复平面搜根问题转化为求解展开系数矩阵特征值问题。对比超越方程复平面搜根，矩阵特征值分解计算效率更高、算法更成熟，例如 Matlab软件中的eig()函数。虽然无法避免 S-L边值问题固有的多值性，然而关于材料属性的真值只有一个，可以采取如下措施筛选：(1) 在真值范围已知、且特征值较为分散情况下，可以直接筛选出真值；(2) 在真值范围未知或特征值较为集中情况下，利用真值不随测试条件变化的性质，选择不同类型的背衬或者不同厚度样品测量反演对比筛选真值。

3 数值仿真验证

为了避免声管测量误差对可行性结论的判断，本节采用复反射系数或者表面导纳解析解对基于多模态展开的复纵波波速反演方法进行验证，其中三种背衬的均匀黏弹性材料表面导纳理论公式[19]为

泊松比σ和密度ρ分别设置为 0.49和1 140 kg·m-3。考虑在实际测量中，样品厚度一般不超过0.05 m，因此，在数值模拟中，分别计算厚度为0.01 m和0.05 m的样品的复反射系数，计算频率为 1～5 kHz，依据此结果对复纵波波速进行反演，截断阶次N均设置为500。

根据式(12a)计算自由背衬的表面导纳，代入式(11)计算得到复纵波波数，取倒数乘以角频率得到复纵波波速。图2给出了复纵波波速反演值以及理论值随频率变化规律，实线表示复纵波波速理论值，十字为厚度0.01 m的样品的复纵波波速反演值，圆圈则是厚度0.05 m样品的复纵波波速反演值。

图2 自由背衬不同厚度样品纵波波速反演结果Fig.2 Inversion results of longitudinal wave velocity of free-backed samples with different thickness

可以看到，根据两个厚度测试样品复反射系数反演得到的复纵波波速值与复反射系数仿真时设定的复纵波波速值吻合较好，尤其是较厚测试的样品。

类似的，根据式(12b)、(12c)分别计算刚性背衬、阻抗背衬情况下表面导纳，代入式(9)计算得到复纵波波数以及复纵波波速，分别见图3和图4。其中，阻抗背衬则采用 0.05 m厚的结构钢，密度ρ为7 850 kg·m-3、杨氏模量 E 为 2×1011Pa、泊松比σ为 0.3。值得注意的是，30～60 mm 厚的钢柱不能视为刚性背衬[20]，否则复纵波波速反演误差较大。

图3 刚性背衬不同厚度样品纵波波速反演结果Fig.3 Inversion results of longitudinal wave velocity of rigidbacked samples with different thickness

图4 阻抗背衬不同厚度样品纵波波速反演结果Fig.4 Inversion results of longitudinal wave velocity of impedance-backed samples with different thickness

通过对三种背衬情况下复反射系数仿真、复纵波波速反演发现，虽然不同厚度、背衬情况下测试样品的复反射系数不同，但复纵波波速反演结果表现出了趋同性，与理论解吻合较好，说明基于多模态展开的复纵波波速反演方法是有效的。

4 误差分析

作为一种基于多模态展开以及依赖试验测量结果的反演方法，正交函数基有限项截断误差以及复反射系数测量误差都会对复纵波波速反演精度产生影响，本节将对这两种因素进行探究。定义复纵波波速相对误差ε为

4.1 截断阶数N

图5给出了不同厚度、频率、背衬情况下复纵波波速反演相对误差随截断阶次变化规律，其中横坐标为截断阶次、纵坐标为相对误差对数值，即lgε，仿真参数与第3节相同。

可以看出，复纵波波速反演相对误差随截断阶次的增加而迅速降低，随着截断阶次N增大、衰减率趋近于O( N-1)。若考虑将反演误差控制在 1%以内，由图5可知，在图中所示的四种条件下，阻抗背衬和刚性背衬的截断阶次均取为100以上即可满足要求；自由背衬的取值条件则相对复杂，对于厚度为0.01 m的薄样品，N由低频时的大于1 000逐渐降至高频时的400左右，厚度为0.05 m的厚样品则也仅需100以上的截断阶次即可满足要求。

图5 不同厚度、频率、背衬情况下复纵波波速反演相对误差随截断阶次变化规律Fig.5 Relative error variation of velocity inversion with truncation order under different thicknesses,frequencies and backings

观察图 5，还可以发现，当样品较薄、频率较低时，刚性或阻抗背衬下复纵波波速反演相对误差显著小于自由背衬。这是由于：当趋近于0时，空气、阻抗以及刚性三种背衬情况下测试样品内部声场沿厚度方向变化率分别趋近于1、和0，内部声场沿厚度方向变化率越大、三角函数级数展开时需要的阶数越多，即相同截断阶次情况下误差更大。随着样品厚度、分析频率增加，截断阶次相同的情况下三种背衬复纵波波速反演相对误差此消彼长，取决于测试样品内部声场在湿表面的导数，最接近于0的背衬反演复纵波波速误差最小。

4.2 复反射系数R*

在实际测量中，由于测试样品制作工艺粗糙、加工不当或清洁不到位等导致样品表面光洁度不一；安装测试样品时出现倾斜或与管壁有较大缝隙等偏差；水听器安装位置不精确、测量相位不一致等因素，声管测量得到的复反射系数R*必然与真值存在一定误差[12,19]。将复反射系数测量值R*表示为

其中：R0、φ0分别代表复反射系数幅值与相位的真值；α为误差因子。需要注意的是，这里为了简化分析而将模值与相位以同一参数进行变化。在实际试验中，一般模值和相位会有着不同的测量误差。

图6给出不同背衬、厚度情况下复纵波波数反演相对误差随误差因子与频率的变化规律，采用等高线图进行表述，各等高线标记已标于图中。其中，横轴为计算频率，范围为1 000～5 000 Hz，步长为100 Hz；纵轴为误差因子α，范围为-0.1～0.1，步长为0.01，其余计算参数与第3节相同。

观察图6可以发现，自由背衬下的结果与刚性背衬和阻抗背衬有着明显区别，因此选择了不同的等高线划分进行描述。总体而言，随着复反射系数测量误差增加，复纵波波速反演误差呈现增大趋势；频率越高，复纵波波速反演误差对复反射系数测量误差越敏感。自由背衬情况下，复纵波波速反演精度随测试样品厚度很敏感，相比之下刚性、阻抗背衬情况下复纵波波速反演结果更为稳健。本算例中，材料的薄厚也对结果有着影响，厚度较薄的材料(图 6(b)和图 6(c))，其误差最大值仅有 0.08，即在复反射系数测量误差为10%时，反演复纵波波速相对理论值仅有8%的误差，但较厚材料(图6(e)和图6(f))的误差可以达到20%。

图6 不同背衬、厚度情况下复纵波波速反演相对误差随误差因子和频率的变化规律Fig.6 Variation of relative error of complex longitudinal wave velocity inversion with error factor and frequency under different backings and thicknesses

5 结 论

针对声管测量得到的复反射系数或表面导纳，本文提出了一种基于多模态展开的黏弹性材料复纵波波速反演方法。将测量样品内部声场多模态正交展开，推导出了三种背衬情况下关于展开系数的系统矩阵，以矩阵特征值分解代替复平面搜根，在计算效率上具有显著优势。复纵波波速反演相对误差随截断阶次增加而迅速减小，衰减率接近于O( N-1)。当测试样品远小于纵波波长时，自由背衬情况下复纵波波速反演误差远大于刚性或阻抗背衬。相对于自由背衬，刚性或阻抗背衬情况下复纵波波速反演结果更为稳健，对测量样品厚度以及复反射系数测量误差敏感度更低。

本文仅考虑了均匀黏弹性材料样品的模型，但是在实际工程中，声学覆盖层一般具有内部结构，包括各式空腔等，即使平面波入射，覆盖层内也存在横波。针对这一问题，需要对材料的复剪切波速做进行进一步的探究，并提出更为贴近实际工况的测量方法。

附录