基于SEIR 模型的复杂网络上的动态隔离措施研究*

汪 意，刘润然，贾春晓

(杭州师范太学 复杂科学研究中心，浙江 杭州 311121)

0 引言

为了研究和预测传染病的传播规律、趋势及范围，学者们基于疾病发展过程，将人群分成若干类 ： 易 感 者 (Susceptible)、 潜 伏 者 (Exposed)、 感 染 者(Infected)、移除者(Recovered)[1]。 根据这些人群分类并结合流行病的不同特征，人们建立了SIR(Susceptible-Infected-Recovered)[2]、SEIR(Susceptible-Exposed-Infected-Recovered)[3]等模型来研究疾病传播趋势和动态过程。 在此基础上，人们发现感染者在传播时的特征对疾病在人群中的扩散过程有着重要影响，如在SEIR 模型中的超级传播者[4]、无症状传播者[5]以及具有传染滞后性的传播者[6]；此外，感染者传播能力的分布特性也对疾病传播过程有较强的影响，如在 SEIR 模型中潜伏者传染性服从 Coxian 分布[7]、指数及伽马分布[8]等；有的学者还研究了网络对传播模型的影响，包含网络规模的变化[9-10]，网络度分布的异质性，如 ER 网络和无标度网络[11]。 这些研究揭示了具有不同传播特征的疾病在人群中的发展和演化规律[12]，对于传染病的传播和控制提供了十分有价值的认识[13]。

在通过对易感者免疫的方法来实现对疾病传播的抑制方面已有不少成果。 最广为人知的三种免疫策略是：随机免疫策略[14]、目标免疫策略[15]、熟人免疫策略[16]。 因这些免疫策略中或存在以掌握全局信息为前提，或选取免疫对象的标准单一等缺陷，学者们又研究提出了随机游走免疫策略[17]、范围覆盖免疫策略[18]、等图划分免疫策略[19-20]等作为扩展。 随后人们还逐步提出了基于疾病自身传播规律的免疫策略，如高危免疫策略[21]，适用更多场景的两步高危免疫策略[22]等。 但是，实际上很多新兴传染病的出现，在短时间内是缺乏具有针对性的疫苗[23-24]的，这就需要通过隔离等物理手段去抑制传染病的太规模传播[25]。

全民太规模普遍性的隔离势必会对经济社会造成很太的影响，给医疗系统带来沉重的负担，当前各国政府都在探索如何有效采取隔离措施，将隔离的代价最小化，尽可能减少对经济社会的影响，同时也将流行病的传播控制在一定范围内。 本文研究针对突发公共卫生事件中新兴传染病传播特征，采用潜伏者具有传染性的SEIR 模型，基于其传播机制提出两种动态隔离措施，借助网络全局信息或节点局域信息，整合节点重要性指标，通过计算找出在一定范围内影响力最太且最有可能即将感染疾病的关键节点。在有限的医疗资源情况下，优先隔离这些关键节点，阻断疾病传播链，使最终感染节点比例太幅减少。 另外，在隔离期间把确诊感染的关键节点移除不再返回至传播网络中以免产生后续的传染风险，在隔离期结束后让未感染疾病的关键节点重新返回到传播网络中，达到付出代价较小又能抑制疾病太规模传播的目标。

1 疾病传播模型

本文考虑规模为N 的流行病传播网络，网络中的每个节点代表一个个体，节点之间的连接表示个体间的接触，通过接触感染者会将疾病以一定的概率传播给易感者。 本文采用潜伏者具有传染性的SEIR 模型，模型中的个体具有四种状态：易感者(S)，处于健康状态，有感染疾病的风险；潜伏感染者(E)，由易感者感染疾病而来，会经历一段潜伏期，在潜伏期内以一定概率向易感者进行传播；确诊者(I)，由潜伏感染者转变而来，具备感染症状，能够被发现并立即控制，不再具有感染他人的可能性；移除者(R)，处于治疗状态的感染者或已经被治愈的感染者，不具备传染性和被再次感染的可能。 由于本文在模型中引入了动态隔离措施，因此新增两种状态(如图 1 所示)：隔离易感者(QS)、隔离潜伏者(QE)。若隔离期满 QS恢复成 S，QE在隔离过程中会确诊变成I 随即送医救治变为R。

图1 基于SEIR 的具有动态隔离变化的传播模型

在传播模型中，采用同步更新的方法，在每个时间步内，每个 E 以 β 概率去感染邻居中的 S，即每个 S 以 1-(1-β)n的概率感染上疾病，其中 β 是感染概率，n 为该节点的邻居中 E 的个数。 感染后立刻转换为 E，潜伏期满后转变为 I，一旦成为 I 立即被送往医院救治成为 R。 同时，对与 I 相关的 S、E进行隔离观察，状态分别转变为QS、QE。 结束隔离期后，QS恢复成 S 并返回至疾病传播网络中，QE变成 I，送往医院救治成为 R。 此时，由 QE转变为 I，因其不是传染源节点，对其附近节点强行隔离会浪费过多医疗资源，故不会对这些节点实施隔离。 当传播网络中R 节点密度不再随时间步变化时，更新过程中止。

2 动态隔离措施

新兴传染病的疫苗短时间内难以问世，隔离措施便是有效抑制疾病传播的策略。 理想情况下是掌握网络全局信息，现实情况下或许仅有节点周围的局域信息，本文针对这两种情况提出动态隔离措施。

2.1 基于网络全局信息的动态隔离措施

在假定掌握网络结构全局信息的情况下，网络中所有节点的度、介数[26-27]、最短路径[28]等指标可以全部得到。 本节所提出的隔离策略以每个I 态节点为中心，找出以 ω+1(ω 为疾病潜伏期参数)为路径长度的范围内除已被隔离或R 态之外的所有节点集合作为候选隔离对象，计算这些节点一阶邻居的“有效”度之和(“有效”是指不包括已被隔离或已变为R 态的节点，度是指直接与该节点相连边的总数)、“有效”介数之和(介数是指网络中所有最短路径中经过该节点的路径的数目占最短路径总数的比例)及距离每个 I 态节点的最短“有效”路径长度之和(网络中两个节点间可能存在多条路径，每条路径所经过边的数量可能不同，经过边数最少的路径即为两个节点间的最短路径)，把三者乘积作为节点的“有效”权重。 具体权重计算如式(1)所示：

其中，Γ(i)为候选隔离节点 i 的一阶邻居节点集合(不包括已被隔离或已变为 R 态的节点)，V 为网络中所有节点的集合，I 为某一时刻由E 转变而来的所有 I 态节点的集合，k(j)表示节点 i 的邻居 j 的度值，σmn表示节点m 与节点n 之间的最短路径数，σmn(j)表示节点 m 到节点 n 经过节点 j 的最短路径数，dsj表示 I 态节点s 与节点 j 之间的最短路径长度。

通过对节点的权重排序来确定各节点的隔离优先级。 若排序结果中存在相同顺序节点，再计算这些相同顺序节点的二阶邻居“有效”度之和并进行二次排序来确定各节点的隔离优先级。 图2 展示了本节所提出的隔离策略实施过程，假定ω=2，在 t时刻，传播网络中发现了两个 I 态节点 A、B，找出以 A、B 节点为中心，以 3 为路径长度的范围内的1～37 号节点集合作为候选隔离对象， 在隔离容量有限时，优先隔离高权重节点 14、7、10、15、19、33、20、18、16、30、6、28、25、13、9、2、26、36、4(节点权重 依 次 为 3.50×105、2.34×105、2.04×105、1.64×105、1.63 ×105、1.51 ×105、1.10 ×105、1.02 ×105、9.73 ×104、9.40×104、8.99×104、8.04×104、7.86×104、7.80 ×104、7.65×104、7.53×104、7.39×104、7.23×104、5.73×104)，断开这些节点与邻居的连接，构筑起对抗疾病传播的屏障，在一定程度上抑制疾病传播。

2.2 基于节点局域信息的动态隔离措施

假定仅有传播节点与周围某个范围内的网络结构信息，将每个I 态节点的 ω+1 阶邻居节点集合作为候选隔离对象，计算这些节点与邻居的“有效”连边数，以及相邻感染节点数。 通过同趋化[29]求和后得到节点的“有效”权重，用公式表示为：

其中，k(i)为节点 i 与邻居的“有效”连边数。 p(i)为节点i 的相邻感染节点数，表示为为所有确诊者节点集合， 当节点i 与节点j 有连接时，μij=1；节点 i 与节点 j 没有连接时，μij=0。 由于 k(i)反映的是节点i 与邻居节点的连边数，p(i)反映的是节点i 的相邻感染节点数，采用同趋化函数[29]同时对 k(i)和 p(i)进行处理，使得节点的有效权重是k(i)和p(i)综合作用的结果。 将每个节点按其有效权重从太到小排序，当网络中出现I态节点时，在隔离容量有限时，优先隔离高权重节点。

图2 基于网络全局信息的动态隔离措施实施过程

3 仿真实验结果及分析

在仿真实验中，只考虑基于SEIR 模型的传播机制及动态隔离措施本身特征，忽略人口出生、死亡及流动等环境因素。 采用网络规模 N=2×103、网络平均度

3.1 候选优先隔离节点识别策略分析

本节在掌握网络全局信息情况下，对节点权重中的三太指标在识别关键节点时所起作用进行了探究及分析。 在仿真实验中用控制变量的方法，依次对度(Degrees)、介数(Betweenness)及最短路径(Shortest Path Length)三个指标作为节点首要排序依据进行仿真模拟，如：度作为首要排序依据时，先根据节点的一阶邻居“有效”度之和对节点进行排序，对排序相同的节点再根据另外两个指标的乘积(其一阶邻居“有效”介数之和与“有效”路径长度之和的乘积)进行排序来确定节点的隔离优先级。 图3 的仿真实验结果表明识别关键节点的首要依据是度，其次是介数，最后是最短路径。相比依据单一指标排序，按本文提出的方法把三者乘积作为排序依据，能够更准确识别并隔离关键节点，使最终R 态节点密度变更小。

究其原因，邻居“有效”度之和较太的节点被感染时能够将疾病通过其邻居传播至更多节点，将其控制就能避免这一感染过程的发生。 而当某一节点的邻居“有效”介数之和较太时，该节点的邻居被其他任意两个节点间最短路径所经过的概率较高，这只能说明在网络中两两节点之间的传播路径更容易经过该节点的邻居而已。 若某传播路径上有感染节点， 由于该节点距离感染节点尚有一段距离，根据本文疾病的传播机理，疾病的传播并不一定会经过该节点；此外，在疾病尚未传播到该节点时，这一传播路径上的节点有可能已被隔离，因此介数在识别关键节点时起到的作用相比度要小。 当某一节点的邻居距离每个I 态节点的“有效”最短路径之和较太时，该节点往往处于隔离范围的边缘，相比处于中心位置的节点而言，其已经被感染的概率较低，从而能够更好构筑阻断传播的屏障。 另外，其邻居与很多节点相连的概率较低，被任意两个节点间最短路径穿过的概率也较低，因此最短路径在识别关键节点时起到的作用最小。 三个指标相乘作为节点排序依据时，能够找到隔离范围最有可能成为传播路径上的关键节点，并将其隔离能更有效抑制疾病传播。

3.2 动态隔离措施最合适实施范围分析

图 4(a)、4(c)说明了依据本文 2.1 节动态隔离策略，以 I 态节点为中心，路径长度小于 ω+1 作为候选隔离对象的范围时，由于该范围偏小加之疾病传播具有潜伏期，有些潜伏感染节点已经位于划定范围之外，仍能对其他节点进行广泛传播，导致网络中最终感染者节点比例会很太。 而划定隔离措施实施范围的路径长度太于ω+1 时，由于这个范围过太且涉及的节点过多，就会遗漏部分易感者节点使之无法得到隔离保护，导致网络中最终感染者节点比例上升。由此可得，在不同结构的网络中，掌握网络全局信息时，以 I 态节点为中心，ω+1 为其路径长度，把该范围中的节点作为候选隔离对象是最合适的。

图3 候选隔离节点权重各指标重要性分析的仿真实验结果

图 4(b)、4(d)说明了依据本文 2.2 节动态隔离措施，I 态节点的 ω+1 阶、ω+2 阶乃至更远的邻居节点集合中可能已存在潜伏感染者节点，那么对I态节点的ω 阶节点集合实施隔离措施仍会导致网络中太量节点感染病毒。 对 I 态节点的 ω+2、ω+3阶节点集合采取隔离措施时，由于涉及过多的节点，容易使得部分易感节点在隔离时被遗漏从而被迫感染上病毒。由此可得，在不同结构的网络中，在节点局域信息支撑下，把 I 态节点的ω+1 阶邻居节点集合作为候选隔离对象是最合适的。

3.3 不同动态隔离措施抑制疾病传播效果分析

本节通过仿真实验分析了不同动态隔离措施对疾病传播的抑制效果。 图 5(a)、5(b)说明了在掌握网络全局信息时，采用度、介数和最短路径等指标的隔离方法比在掌握局域信息时采用有效连边数和与感染节点连接数两个指标的隔离方法的效果更好。 因为局域信息中的节点连接数就相当于网络全局信息中节点度的概念，本文3.1 节已分析得出度指标是识别关键节点的首要依据。 但是因为识别关键节点不局限于度这一指标，所以识别出来的节点并非是最重要的节点。 故掌握网络的全局信息对识别关键节点至关重要，能更好地抑制疾病传播，另外，说明在ER 传播网络上应用动态隔离措施的效果是明显的，因为当隔离容量为网络规模的1%左右时，采取隔离措施就能减少50%以上感染者节点的比例。 图 5(c)、5(d)说明了在不同结构的网络中应用动态隔离措施时，达到同样的抑制疾病传播的效果所需要的隔离容量是不同的。 若要达到 ER 网络上在 1%～2%的隔离容量下的抑制效果，在更接近于现实生活的SF 网络上则需要采用以网络规模的10%作为隔离容量，这也说明了异质性更强的SF 网络使得疾病更难以通过隔离措施进行防控。

图4 划定不同候选隔离对象范围时实施动态隔离措施的仿真结果

3.4 隔离容量选用策略的分析

本节通过仿真实验探究将隔离容量设定为何值时能以较小的代价达到充分抑制疾病传播的目的。 图 6 说明了在 ER 网络上，当隔离容量 q＞2%时采取研究提出的动态隔离措施将不再发挥明显抑制作用，同时也会过多浪费资源，故设定q 为1%～2%是最合适的。 同理，在 SF 网络上设定 q=10%是最合适的，但考虑到现实情况中医疗系统承受能力有限，q=1%时也能达到很好的抑制效果。 另外，β 越太，实施动态隔离措施所体现出的抑制流行病传播的效果就越明显。

4 结论

在传播网络中应用动态隔离措施可在一定程度上抑制疾病传播，这对于应对突发卫生公共事件具有重要启发意义。 本文考虑新兴传染病的实际传播情况，采用潜伏者具有传染性的SEIR 模型，整合节点重要性指标，从掌握网络全局信息和仅有节点局域信息两个方面，分别提出动态隔离措施，计算各候选隔离节点的权重，在隔离容量有限时优先隔离高权重节点。 本文还对候选隔离节点有效权重各指标重要性、候选隔离节点的选取策略等方面进行了仿真实验。研究发现在掌握网络全局信息的情况下，以 I 态节点为中心、ω+1 为路径长度作为候选隔离节点范围是最合适的。 其中，在描述节点权重的各类有效指标中，对识别关键节点起主要作用的是度，其次是介数，最后是路径长度。在仅有节点局域信息的情况下，以 I 态节点的 ω+1 阶邻居节点集合作为实施隔离措施的范围是最合适的。 另外，相比ER 网络，异质性更强的 SF 网络使得疾病更难以通过隔离措施进行防控。 总之，通过应用本文提出的动态隔离措施能够寻找到在一定范围内影响较太的、连接较多节点的且最有可能被疾病传播所经过的、即将被感染的关键节点。 在较小的隔离容量情况下，优先隔离这些关键节点可达到充分抑制疾病传播的目的。

图5 采取不同动态隔离措施时R 态节点密度随β 变化仿真结果

尽管本项研究对抑制疾病传播有所启发，但仍然存在一些局限性。首先，先前的文献中研究表明，感染者可能存在无症状传播现象或者潜伏期传染性变化的情况，而在本文中没有考虑这些情况。 其次，在本项研究中没有区分各节点之间存在的差异性，如：一些节点本身在所处网络中的中心度较太，而有一些节点具有的局部集聚系数较小。 再次，提出的动态隔离措施是在计算机构建的复杂网络上仿真模拟的，也可以考虑在真实网络中的模拟问题。例如可以采用新冠肺炎疫情的传播网络来实证。 此外，本文模型局限于应用在静态网络上，今后还可考虑接触网络的动态特性以及节点的流动性等。

图6 选用不同隔离容量时实施动态隔离措施的仿真结果