预应力结构的最小挠度拓扑优化

李严，苏文政

(大连交通大学 土木工程学院，辽宁 大连 116028)*

大量工程实践中的预应力结构设计，一般都是设计人员凭借自身经年累月的从业经验进行分析设计或从已有的为数不多的设计方案中进行甄选.在预应力结构的众多设计指标之中，高强度、高刚度、轻量化是结构设计的重要原则[1-3].然而依靠设计人员主观选择的设计方案，往往只是适用于“某一类”的最佳设计，针对具体的工程个案还存在继续优化的空间.借助于拓扑优化方法，则可很好地解决这一难题，获得更为理性的设计方案.拓扑优化方法能够决定结构孔洞的有无，从而大幅度提高了优化设计效果，为实际工程提供更具参考价值的设计方案.

在预应力相关的常规拓扑结构设计中，设计者们通常先在不考虑预应力的情况下，通过拓扑设计得到实际工程所需的普通主体结构，然后通过现有的预应力施加方案，添加或替换预应力部件到主体结构中，以求用最轻、最省的结构实现最强、最刚的设计需求.这种做法，简单直观，然而得到的结构并不是真正的最优解.在已有结构中施加预应力，会导致结构出现内力重分布，因而存在继续优化的空间.

如果能将预应力和结构的拓扑两类不同类型的变量在拓扑设计阶段进行耦合，在包含预应力的内力体系上进行拓扑设计，则必然能实现结构承载性能的进一步提升.本文以结构特定位置的挠度响应作为目标函数评价结构的承载性能，以结构单元的密度作为拓扑设计变量，以预应力值作为附加变量,在此基础上建立优化模型，推导灵敏度计算方法，用移动渐近线法(MMA法)[4-5]对优化问题进行迭代求解.

1 优化模型

模型描述为，以给定用量的材料，通过设计材料的分布，以及合适的预应力大小，使指定节点的位移响应最小，以此获得预应力结构的最大刚度.优化模型的设计变量为结构单元的密度，通过变密度法(SIMP)[6-7]插值模描述密度变量对单元刚度的影响.SIMP法的思想为通过假设存在密度连续变化的材料，建立起本不存在中间密度单元，从而实现将离散变量的优化问题转化为连续变量的优化问题，并通过惩罚策略使连续优化问题的解逼近原始离散优化问题的解.由此，可将第i个单元刚度矩阵表示为

(1)

其中，xi为拓扑变量，表示第i个单元的密度(0

目标函数选为第m个自由度的位移(比如简支梁的跨中挠度)，即f0=um；约束条件为材料重量V*，对于平面结构表现为所用材料面积.于是拓扑优化的数学模型可描述为：

(2)

其中，fp是所设计的预应力大小，X代表所有单元密度的集合，xmin是一个很小的非0正数，作用是避免结构总刚度矩阵奇异.该优化模型采用MMA算法求解，设计流程如图1所示.

图1 设计流程图

2 预应力的设计

应用线弹性叠加原理，数学模型中的目标函数，第m个自由度的位移um，是外部荷载F0所引起的目标节点的位移um0和预应力荷载Fp引起的目标节点预位移ump的叠加.即：

um=um0+ump

(3)

改写成向量形式为：

QTU=QT(U0+Up)

(4)

2.1 由预应力所引起的结构位移

关于预应力引起的位移的求解，我们采用文献[8]提到的方法.以简支梁为例，由于位移具有正负性，这里规定向下向右为正方向.

如图2(a)所示简支梁结构下部装有预应力杆件(用黑粗线表示)，此时杆件内无预应力.若在预应力杆件两端外部施加大小为1的单位压力Fpp，则杆件内力为tPP，并且-1

KUPP=Fpp

(5)

(6)

这时若设定预应力杆件内的预应力为fp，则结构内预应力引起的形变位移为

(7)

2.2 最佳预应力值

目标函数对预应力值进行求导，可得

(8)

这里QTUpp表示2.1节中单位力引起的目标自由度的预位移.

预应力结构的基本原理是用预应力结构的预位移，来形成与结构工作状态相反的内力分布，部分地抵消工作荷载产生的内力，以此提高结构的承载能力.因此，合理有效的预应力加载方式，必须保证QTUpp与工作荷载产生的位移响应方向相反.考虑到目标函数QTU与fp成线性单调关系，可知，若预应力加载方式有效，预应力设计值fp越大，目标函数值越小.本文假定，所研究的问题中结构的预应力加载方式均是有效的.

实际工程中，受限于预应力材料的极限抗拉强度σ*，使得预应力杆件存在最大安全工作拉力

fpmax=σ·Aη

(9)

式中，系数η满足，且0<η<1.应用满应力准则设计理念，对于合理有效的预应力加载方式，最佳的预应力值需要满足在工作状态下的杆件达到许用最大拉力fmax.结构在极限荷载作用时预应力杆件内的预拉力达到fpmax，有

(10)

一般的，如果令t0表示只有工作载荷作用时的杆件拉力，最佳的预应力设计值为

fp=fpmax-t0

(11)

3 灵敏度分析

3.1 灵敏度推导

(12)

可以看出，上式灵敏度分为荷载和预应力两个部分，使用伴随法，引入伴随向量[9]，则第一部分求解如下：

(13)

同理可得：

(14)

对于式(12)中第二部分的灵敏度，同时应用式(13)、(14)

(15)

综合式(13)、(15)可知目标函数灵敏度为：

(16)

3.2 灵敏度验证

采用差分法对灵敏度进行正确性验证，设d表示差分法步长，易知：

(17)

利用对称性，取结构的右半部分为研究对象，将验证结构设为20×10的简支梁半结构，尺寸单位为cm，目标自由度定为结构左上角节点纵向位移，泊松比υ=0.3，矩形结构和预应力杆件的弹性模量均为E=200 GPa，作用位置见图3(a)，限制体分比为0.4，惩罚系数p=3，在左上角受到F1=2 kN的竖直向下的集中荷载，预应力杆件截面积A=1cm2，杆件的最大预应力容许值fmax=5 kN.差分法步长取0.000 1，取样设计变量位置如图3(b)所示：

(a)荷载作用位置

表1为取样点解析法与差分法计算的数据对比，表明解析法准确可靠.

表1 灵敏度误差

4 算例

本节针对上文中的计算方法，通过具体算例与传统的“先设计拓扑后预应力强化”法进行对比分析，来说明本文方法的优化效果.算例均为100×30网格结构，材料属性与3.2节相同.由于结构的预应力杆件始终存在，为非设计域，在拓扑图形中并未画出.

4.1 简支结构

图4为简支矩形半结构受到F=6 kN的集中荷载.所有荷载作用位置如图4(a)所示.预应力杆件布置在结构最下端，可承受的最大安全拉力fmax=5 kN.目标自由度定为结构跨中上侧节点的纵向位移，即总体结构跨中挠度.

(a)整体结构示意图

使用本文方法，在耦合预应力的前提下进行拓扑求解，得到骨架图形见图5，优化过程中目标函数的变化曲线见图6.图7为优化过程中预应力设计值的变化曲线.此时最佳预应力设计值为3.26 kN，最优的目标函数值为2.92 cm.

图5 简支预应力结构的1/2结构拓扑结果

图6 简支预应力结构目标函数位移变化

图7 简支结构预应力设计值的变化

传统的做法是先在无预应力状态下进行拓扑设计.此时的目标函数仅为QTU0，其他部分均与上文相同，容易求出目标函数为4.91 cm.若将fp=3.26 kN以预应力的形式添加到结构中，对结构进行加强.经有限元计算后，可以得到修正后的目标函数为3.45 cm.相比之下，使用本文方法优化比例达到15.36%，效果理想.

4.2 悬臂结构

图8所示悬臂结构，受到荷载F=3 kN的集中荷载.预应力杆件布置在结构最上端，可承受的最大安全拉力fmax=5 kN.目标自由度定为结构右上角节点的纵向位移，即结构自由端挠度，荷载作用位置如图8所示.

图8 预应力悬臂结构

使用本文方法，进行拓扑求解，拓扑结果见图9，优化过程中目标函数的变化曲线见图10.图11为优化过程中预应力设计值的变化曲线.此时最佳预应力设计值为3.35 kN，最优的目标函数值为2.85cm.

图9 预应力悬臂结构拓扑结果

图10 目标函数位移变化

图11 预应力设计值的变化

同简支结构一样，若采用传统的做法，即先在无预应力状态下进行拓扑设计，得到骨架图形，以及目标挠度为4.82cm，然后再添加3.35kN的预应力对杆件对结构进行加强、修正得到3.55 cm.相比之下，本文方法优化比例达19.71%，效果显著.

5 结论

本文充分考虑了预应力和结构拓扑的耦合影响，研究了预应力结构的拓扑优化设计方法.预应力值的确定参与到拓扑设计的每个循环计算之中，使结构材料的分布更加合理，更加有效.算例结果表明：本文方法与传统方法相比，在相同材料用量的前提下，实现了对目标结构的进一步优化，得到了令人满意的优化结果.